[
{"date":{"0":{"date":"2021-04-18","date_type":"registration"}},"nti":{"0":{"nti_code":"27.37.15","nti_udk":"517.972\/.974","nti_name":"Варіаційне обчислення"},"1":{"nti_code":"27.47.19","nti_udk":"519.8","nti_name":"Дослідження операцій"}},"addons":{"0":{"value":"0119U101608","key":"rk"}},"registration_number":"0221U101230","author":{"person_names":{"0":{"name_language":"en","name_first":"Ivan","name_co":"V.","name_full":"Sergienko Ivan V.","name_last":"Sergienko"},"1":{"name_language":"ua","name_first":"Іван","name_co":"Васильович","name_full":"Сергієнко Іван Васильович","name_last":"Сергієнко"}},"person_type":"head_work","statuses":{"0":{"status_code":"д. ф.-м. н.","status_type":"degree","status_name":"Доктор фізико-математичних наук"},"1":{"status_code":"01.05.03","status_type":"specialty","status_name":"Математичне та програмне забезпечення обчислювальних машин і систем"}},"person_id":5317},"description":{"0":{"description_type":"title","description_text":"New methods for wellposedness investigation and solving of discrete optimization problems, variational inequalities and their applications","description_language":"en"},"1":{"description_type":"title","description_text":"Нові методи дослідження коректності та розв’язання задач дискретної оптимізації, варіаційних нерівностей та їх застосування","description_language":"ua"},"2":{"description_type":"referat","description_text":" Additive algorithm for solving of vector discrete optimization problems with Boole variables has been developed and was grounded. Method of solving of the optimistic version of two-level problems of discrete optimization with integer variables in lower-level problems is built and explored. A new proximal-gradient method is proposed for the two-level convex minimization problem in Hilbert space. New methods for solving two-level equilibrium problems in Hadamard spaces are proposed. The convergence theorems are proved. A new primal-dual algorithm for two-level convex programming problems with quadratic functions in internal problems is proposed. The algorithm of optimization of fluid flow in porous environment is built.","description_language":"en"},"3":{"description_type":"referat","description_text":" Розроблено та обґрунтовано адитивний алгоритм розв’язання векторних задач дискретної оптимізації з булевими змінними. Побудовано та досліджено метод розв’язання оптимістичної постановки дворівневої задачі дискретної оптимізації, що містить лінійну задачу цілочислової оптимізації нижнього рівня. Для дворівневої опуклої задачі мінімізації у гільбертовому просторі запропоновано новий проксимально-градієнтний метод. Запропоновано нові методи для розв’язання дворівневих задач про рівновагу у просторах Адамара. Доведено теореми збіжності. Запропоновано новий прямо-двоїстий алгоритм для дворівневих задач опуклого програмування з квадратичними функціями у внутрішніх задачах. Розроблено алгоритм оптимізації руху рідини у пористому середовищі.","description_language":"ua"},"4":{"description_type":"ntp_description","description_text":"","description_language":"ua"}},"record_type":2,"persons":{"0":{"person_names":{"0":{"name_language":"en","name_first":"Ivan","name_co":"V.","name_full":"Sergienko Ivan V.","name_last":"Sergienko"},"1":{"name_language":"ua","name_first":"Іван","name_co":"Васильович","name_full":"Сергієнко Іван Васильович","name_last":"Сергієнко"}},"person_type":"head_work","statuses":{"0":{"status_code":"д. ф.-м. н.","status_type":"degree","status_name":"Доктор фізико-математичних наук"},"1":{"status_code":"01.05.03","status_type":"specialty","status_name":"Математичне та програмне забезпечення обчислювальних машин і систем"}},"person_id":5317},"1":{"person_names":{"0":{"name_language":"en","name_first":"Anatolii","name_co":"M.","name_full":"Pohorilyi Anatolii M.","name_last":"Pohorilyi"},"1":{"name_language":"ua","name_first":"Анатолій","name_co":"Миколайович","name_full":"Погорілий Анатолій Миколайович","name_last":"Погорілий"}},"person_type":"head_firm","statuses":{"0":{"status_code":"д. ф.-м. н.","status_type":"degree","status_name":"Доктор фізико-математичних наук"}},"person_id":12623},"2":{"person_names":{"0":{"name_language":"en","name_first":"Dmitro","name_co":"A.","name_full":"Klyushyn Dmitro A.","name_last":"Klyushyn"},"1":{"name_language":"ua","name_first":"Дмитро","name_co":"Анатолійвич","name_full":"Клюшин Дмитро Анатолійвич","name_last":"Клюшин"}},"person_type":"workers","statuses":{"0":{"status_code":"д. ф.-м. н.","status_type":"degree","status_name":"Доктор фізико-математичних наук"},"1":{"status_code":"01.05.02","status_type":"specialty","status_name":"Математичне моделювання та обчислювальні методи"}},"person_id":1325481},"3":{"person_names":{"0":{"name_language":"en","name_first":"Tatyana","name_co":"T.","name_full":"Lebedeva Tatyana T.","name_last":"Lebedeva"},"1":{"name_language":"ua","name_first":"Титяна","name_co":"Тарасівна","name_full":"Лебедєва  Титяна Тарасівна","name_last":"Лебедєва"}},"person_type":"workers","statuses":{"0":{"status_code":"к. ф.-м. н.","status_type":"degree","status_name":"Кандидат фізико-математичних наук"}},"person_id":1443397},"4":{"person_names":{"0":{"name_language":"en","name_first":"Sergei","name_co":"I.","name_full":"Lyashko Sergei I.","name_last":"Lyashko"},"1":{"name_language":"ua","name_first":"Сергій","name_co":"Іванович","name_full":"Ляшко Сергій Іванович","name_last":"Ляшко"}},"person_type":"workers","statuses":{"0":{"status_code":"д. ф.-м. н.","status_type":"degree","status_name":"Доктор фізико-математичних наук"},"1":{"status_code":"01.05.02","status_type":"specialty","status_name":"Математичне моделювання та обчислювальні методи"}},"person_id":19442},"5":{"person_names":{"0":{"name_language":"en","name_first":"Darya","name_co":"O.","name_full":"Manovitska Darya O.","name_last":"Manovitska"},"1":{"name_language":"ua","name_first":"Дарья","name_co":"Олександрівна","name_full":"Мановіцька Дарья Олександрівна","name_last":"Мановіцька"}},"person_type":"workers","statuses":{"0":{"status_code":"к. ф.-м. н.","status_type":"degree","status_name":"Кандидат фізико-математичних наук"},"1":{"status_code":"01.05.01","status_type":"specialty","status_name":"Теоретичні основи інформатики та кібернетики"}},"person_id":1247321},"6":{"person_names":{"0":{"name_language":"en","name_first":"Volodimir","name_co":"B","name_full":"Semenov Volodimir B","name_last":"Semenov"},"1":{"name_language":"ua","name_first":"Володимир","name_co":"Борисович","name_full":"Семенов Володимир Борисович","name_last":"Семенов"}},"person_type":"workers","statuses":{"0":{"status_code":"к. ф.-м. н.","status_type":"degree","status_name":"Кандидат фізико-математичних наук"}},"person_id":558596},"7":{"person_names":{"0":{"name_language":"en","name_first":"Natakya","name_co":"V.","name_full":"Semenova Natakya V.","name_last":"Semenova"},"1":{"name_language":"ua","name_first":"Наталя","name_co":"Володимирівна","name_full":"Семенова Наталя Володимирівна","name_last":"Семенова"}},"person_type":"workers","statuses":{"0":{"status_code":"к. ф.-м. н.","status_type":"degree","status_name":"Кандидат фізико-математичних наук"}},"person_id":743405}},"date_number":"2021-04-19T04:07:10Z","registration_date":"2021-04-18","firms":{"0":{"firm_name":{"0":{"firm_name":"Державна організація \"Відділення цільової підготовки Київського національного університету імені Тараса Шевченка при Національній академії наук України\"","firm_language":"ua"},"1":{"firm_name":"Department for special training National academy of science of Ukraine at Kiev University","firm_language":"en"}},"firm_type":"contractor","firm_edrpou":"16463392","firm_id":20236,"firm_jurisdiction":"Національна академія наук України"},"1":{"firm_name":{"0":{"firm_name":"Національна академія наук України","firm_language":"ua"},"1":{"firm_name":"National Academy of Sciences of Ukraine","firm_language":"en"}},"firm_type":"customers","firm_edrpou":"00019270","firm_id":2848,"firm_jurisdiction":"Кабінет Міністрів України"}},"id":157952,"has_texts":true,"full_text":{"0":{"filename":"2-1М-виконавці.pdf","text":" \f\f"},"1":{"filename":"2-1М-тит.лист.pdf","text":" \f"},"2":{"filename":"2-Звіт 1M.pdf","text":" 1  УДК 519.8 УККП 72.1 № держреєстрації 0119U101608 Інв. №_____________ Державна організація «Відділення цільової підготовки Київського національного університету імені Тараса Шевченка при Національній академії наук України» (ДО «ВЦП КНУ ім. Тараса Шевченка при НАН України») 01030, м. Київ, вулиця Володимирська, 54, тел. (044) 424-72-41 ЗАТВЕРДЖУЮ Директор ДО «ВЦП КНУ ім. Т. Шевченка при НАН України», академік НАН України ____________ А.Г. Загородній «____»___________2020 р. ЗВІТ ПРО НАУКОВО-ДОСЛІДНУ РОБОТУ НОВІ МЕТОДИ ДОСЛІДЖЕННЯ КОРЕКТНОСТІ ТА РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАДАЧ ДИСКРЕТНОЇ ОПТИМІЗАЦІЇ, ВАРІАЦІЙНИХ НЕРІВНОСТЕЙ ТА ЇХ ЗАСТОСУВАННЯ (остаточний) Науковий керівник НДР  академік НАН України Сергієнко І.В. «17» грудня 2020 р.  від НАН України Науковий керівник НДР  член-кореспондент НАН України Ляшко С.І. «17» грудня 2020 р.  від КНУ  КИЇВ 2020 Рукопис закінчено «10» грудня 2020 Результати роботи розглянуто Вченою радою ДО «ВЦП КНУ імені Тараса Шевченка при НАН України», протокол від «__» ________2020 р. № _____  \f2  СПИСОК АВТОРІВ  Науковий керівник НДР від НАН України директор Інституту кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, докт. фіз.-мат. наук, професор, академік НАН України  Сергієнко І.В. «17» грудня 2020 р. (вступ; розділи 5, 6, висновки)  Науковий керівник НДР від КНУ докт. фіз.-мат. наук, професор, член-кореспондент НАН України  Ляшко С.І. (вступ; підрозділи 1.4, 4.2, висновки) «17» грудня 2020 р.  Виконавці від НАН України: Провідний наук. співробітик, докт. фіз.-мат. наук, ст. наук. співр. Старший наук. співр., канд. екон. наук, ст. наук. співр. Старший наук. співр., канд. фіз.мат. наук, ст. наук. співр.  «17» грудня 2020 р.  Семенова Н.В. (розділ 5,6)  «17» грудня 2020 р.  Лебєдєва Т.Т. (розділ 5)  «17» грудня 2020 р.  Сергієнко Т.І. (розділ 5)  «17» грудня 2020 р.  Семенов Вік.В. (розділ 6)  «17» грудня 2020 р.  Мановицька Д.О. (розділ 6.1-6.3)  Молодший наук. співробітник  Провідний інженер-програміст Провідний інженер-програміст  Чайка Д.О. «17» грудня 2020 р. (розділ 6.3)  Провідний інженер  Волков Н.В. «17» грудня 2020 р.  Провідний інженер.  Духота Л.І. «17» грудня 2020 р.  Учений секретар канд. фіз.-мат. наук  Шарай І.В.  \f3  Виконавці від КНУ: Професор, докт. фіз.-мат. наук, професор  «17» грудня 2020 р.  Семенов В.В. (розділ 1,2)  Професор докт. фіз.-мат. наук, професор  «17» грудня 2020 р.  Клюшин Д.А. (розділ 3,4)  «17» грудня 2020 р.  Ведель Я.І. (підрозділи 1.3, 2.4)  Аспірант Мол. наук. співр., аспірант «17» грудня 2020 р.  Тимошенко А.А. (підрозділи 3.2, 3.3, 4.5)  \f4  РЕФЕРАТ Звіт про НДР: 204 с., 8 рис., 188 джерел. ПРОКСИМАЛЬНИЙ АЛГОРИТМ, ЕКСТРАГРАДІЄНТНИЙ АЛГОРИТМ, ПРОСТІР  АДАМАРА,  ВАРІАЦІЙНА  НЕРІВНІСТЬ,  ДВОРІВНЕВА  ЗАДАЧА, МАСОПЕРЕНОС, ІДЕНТИФІКАЦІЯ, ТОЧКОВЕ ДЖЕРЕЛО, РІВНЯННЯ РИЧАРДА-КЛЮТА, МЕТОД ЛІНЕАРИЗАЦІЇ, ВЕКТОРНИЙ КРИТЕРІЙ,  РОЗВ’ЯЗУВАНІСТЬ,  СТІЙКІСТЬ,  ПАРЕТО-ОПТИМАЛЬНІ  РОЗВ’ЯЗКИ, БУЛЕВІ ЗМІННІ, АДИТИВНИЙ АЛГОРИТМ. Об’єкт  дослідження:  алгоритми  для  варіаційних  нерівностей,  дворівневі задачі, задачі оптимізації масопереносу в пористому середовищі з точковими джерелами, умови існування та оптимальності розв’язків векторних задач оптимізації з різними функціями критеріїв, обмежень та принципами оптимальності за умов можливих збурень вхідних даних, методи розв’язання векторних та дворівневих задач дискретної оптимізації. Мета роботи: розробити та теоретично обґрунтувати нові методи для варіаційних нерівностей, дворівневих задач, векторних задач дискретної оптимізації з булевими змінними та задач моделювання й оптимізації масопереносу в пористому середовищі з точковим джерелом, встановити умови оптимальності, стійкої та нестійкої розв’язуваності векторних задач оптимізації з різними принципами оптимальності. Методи дослідження: функціональний аналіз, теорія різницевих схем, методи теорій оптимізації та варіаційних нерівностей, точково-множинних відображень, дискретної та векторної оптимізації. Запропоновано  нові  двоетапні  методи  розв’язання  варіаційних  нерівностей з псевдомонотонними та ліпшицевими операторами, що діють в скінченномірному лінійному нормованому просторі. Запропоновано нові методи  розв’язання  дворівневих  задач  опуклого  програмування  та  \f5  дворівневих варіаційних нерівностей, що діють в гільбертовому просторі. Запропоновано  нові  адаптивні  двоетапні  проксимальні  алгоритми  розв’язання задач про рівновагу в метричних просторах Адамара. Отримано теореми збіжності методів. Розроблено  варіаційний  алгоритм  ідентифікації  оптимальної  потужності точкових джерел, що дозволяє розв’язувати квазілінійні задачі вологоперенесення в ненасиченому пористому середовищі за допомогою їхньої лінеаризації на основі перетворення Кірхгофа при реалістичних припущеннях. Для задач оптимізації руху рідини у пористому середовищі доведено збіжність та стійкість варіантів методу лінеаризації при різних припущеннях про поведінку похибок розв’язання ітераційних підзадач. Встановлено умови існування, оптимальності, стійкої та нестійкої розв’язуваності векторних задач оптимізації з різними функціями критеріїв та принципами оптимальності за умов можливих збурень вхідних даних. Розроблено та обґрунтовано адитивний алгоритм розв’язання векторних задач дискретної оптимізації з булевими змінними. Побудовано та досліджено метод розв’язання оптимістичної постановки дворівневої задачі дискретної  оптимізації.  Метод  застосовано  до  розв’язання  задачі  оптимального розподілу трансфертів при заданих бюджетних обмеженнях. Результати виконаних робіт сприятимуть розв’язанню важливих проблем з різних сфер науки, економіки та суспільного життя України, пов’язаних з моделюванням та розв’язанням складних оптимізаційних задач, задач математичної фізики, оптимального керування, обчислювальної математики. На основі результатів підготолено ряд курсів магістерської програми «Прикладна математика» та теми дисертаційних досліджень, що дозволить створити в Україні платформу для підготовки фахівців даної актуальної галузі. Результати НДР впроваджено в навчальний процес факультету комп’ютерних наук та кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка.  \f6  ЗМІСТ  Вступ………………………………………………………………………………9  1  Брегманівські алгоритми для варіаційних нерівностей………………….15  1.1 Постановка задачі та допоміжні відомості …………………………..…..15 1.2 Двоетапний алгоритм ………………………………………………………18 1.3 Дзеркально-проксимальний алгоритм з адаптивним кроком …………..26 1.4 Двоетапний «оптимістичний» алгоритм………………………………….28  2  Побудова та дослідження алгоритмів для багаторівневих задач опуклого програмування………………………………………………..…31  2.1 Проксимальні та проксимально-градієнтні алгоритми для дворівневих задач опуклого програмування …………………………….31 2.2 Прямо-двоїстий децентралізований алгоритм для дворівневих задач опуклого програмування …………………………………………..42 2.3 Алгоритми для дворівневих варіаційних нерівностей ………………….46 2.4 Адаптивні алгоритми для задач про рівновагу в просторах Адамара….56  3  Нові алгоритми для моделювання й оптимізації масопереносу в пористому середовищі з точковим джерелом…………………………….66  3.1 Постановка задачі………………………………….……………………….66 3.2 Коректність моделі……………………………………..…………………..69 3.3 Алгоритм …………………………………….……………………………..78 3.4 Результати……………………………………………………………..……79  4  Алгоритми розв’язання задач оптимізації руху рідини у пористому середовищі………………………………………………………………….86  \f7  4.1 Постановка задачі ………………………………………………………….86 4.2 Апріорні оцінки …………………………………………………………….92 4.3 Теореми існування………………………………………………………….98 4.4 Постановка задачі оптимізації …………………………………………...102 4.5 Варіант методу лінеаризації………………………………………………107  5  Векторні задачі оптимізації: проблема існування розв’язків…………..118  5.1 Постановка задачі. Основні означення………………………………….119 5.2 Дослідження існування Парето-оптимальних розв’язків……………… 0 5.3 Існування строго ефективних та напівефективних розв’язків та рівність множин різних ефективних розв’язків…………………….. 6 5.4 Дослідження розв’язуваності векторних задач оптимізації з необмеженою допустимою областю………………………….………….131 5.5 Умови оптимальності в задачах векторної оптимізації з опуклою допустимою множиною…………………………………………………..137 5.6 Розв’язуваність задач векторної оптимізації за умов можливих збурень вхідних даних векторного критерію……………………………143 5.7 Оптимальність розв’язків векторних задач дискретної оптимізації з псевдоопуклими функціями обмежень…………………………………148 5.8 Постановка задачі, основні визначення та допоміжні відомості……….149 5.9 Умови оптимальності розв’язків векторної задачі з псевдоопуклими функціями обмежень………………………………………………………150 5.10 Багатокритеріальні задачі лексикографічної оптимізації………..……..151 5.11 Існування лексикографічно оптимальних розв'язків…………………...154  6  Методи розв’язання векторних та дворівневих задач дискретної оптимізації…………………………………….………………………….158  6.1 Векторні задачі лінійної оптимізації з булевими змінними……………158 6.2 Адитивний алгоритм розв’язання векторної задачі з  \f8  булевими змінними……………………………………………………….160 6.3 Застосування алгоритму до задачі вибору заходів модернізації джерел теплогенерації та систем теплопостачання з регіональних програм модернізації комунальної теплоенергетики…………………..167 6.4 Методи розв’язання оптимістичної постановки дворівневої задачі дискретної оптимізації…………………………………………….171 6.5 Алгоритм розв’язання задачі Pt i ( F ) ………………………………………175 Висновки…………………………..……………………………………………179 Перелік джерел посилання…………………………………………………….183  \f9  ВСТУП  У звіті наведено огляд результатів досліджень, що виконувались у 2019-2020 роках у рамках проекту, що підтриманий Відділенням цільової підготовки Київського національного університету імені Тараса Шевченка при Національній академії наук України. Перший розділ присвячено розробці нових алгоритмів для розв’язання варіаційних нерівностей. Багато цікавих і актуальних задач дослідження операцій і математичної фізики можуть бути записані у формі варіаційних нерівностей. Розв'язання останніх є напрямком прикладного нелінійного аналізу, що активно розвивається. Ми зосередились на варіаційних нерівностях з псевдомонотонними та ліпшицевими операторами, що діють в скінченномірному лінійному нормованому просторі, та алгоритмах з використанням відстані Брегмана замість евклідової. У другому розділі розглянуто питання розв'язання дворівневої опуклої задачі мінімізації у гільбертовому просторі. Дворівнева задача опуклої оптимізації полягає у мінімізації першої опуклої функції на множині мінімумів другої опуклої функції. Ця постановка має багато застосувань, але неявні обмеження, що породжені внутрішньою задачею ускладнюють отримання умов оптимальності та побудову методів. Подібним чином формулюються й багаторівневі задачі, джерелом яких стали питання дослідження операцій (оптимізація за послідовно заданими критеріями або лексикографічна оптимізація). Ми зосередили увагу на розв’язанні задач за допомогою двох методів проксимального типу та одного проксимальноградієнтного методу. Основні теоретичні результати – теореми про характер збіжності методів у різних ситуаціях. Представлено новий прямо-двоїстий алгоритм для дворівневих задач опуклого програмування з квадратичними функціями у внутрішніх задачах. Запропонований метод має розподілений  \f10  характер та дозволяє реалізацію у децентралізованому розподіленому обчислювальному середовищі. Останнє робить метод цікавим для сучасної статистики та машинного навчання, оскільки часто великі дані про задачу не має можливості зберігати на одному комп’ютері. Розглянуто нові методи екстраградієнтного типу для розв’язання дворівневих варіаційних нерівностей з монотонними операторами, які діють у гільбертовому просторі. Дворівневі варіаційні нерівності виникли як природне  узагальнення  задач  лексикографічної  оптимізації  з  двома  критеріями, а також при аналізі звичайних оптимізаційних задач з обмеженнями у формі варіаційної нерівності. Як самостійний об'єкт, дворівневі варіаційні нерівності почали розглядати В.В. Калашников та Н.І. Калашникова у 1990-х. Запропоновані нами методи мають явний характер, тобто на ітераційному кроці обчислюються лише значення операторів та здійснюється проектування на допустиму множину. Запропоновано нові адаптивні двоетапні проксимальні алгоритми для розв’язання задач про рівновагу в метричних просторах Адамара. На відміну від правил вибору величини кроку, що застосовувалися раніше, в цих алгоритмах не проводиться обчислень значень біфункції в додаткових точках та не потрібно знання інформації про величину ліпшицевих констант біфункції. Для псевдомонотонних біфункцій ліпшицевого типу, слабко напівнеперервних зверху по першій змінній, опуклих та напівнеперервних знизу по другій змінній, доведено теореми про слабку збіжність породжених алгоритмами послідовностей. Третій  розділ  присвячено  дослідженню  масоперенесення  у  ненасиченому пористому середовищі із точковими й лінійними джерелами. Ці процеси залишаються предметом численних сучасних досліджень, які можна розділити на дві великі групи залежно від використовуваного математичного апарата. До першої групи належать роботи, у яких отримані аналітичні розв’язки, а в другу входять роботи, присвячені комп'ютерному  \f11  моделюванню. Аналітичні методи розв’язування таких задач передували появі комп'ютерних методів і спиралися на ідеалізовані припущення про геометричну форму джерела (сферична, напівсферична, циліндрична) і властивості  пористого  середовища  (необмежена  область  розв’язків,  однорідність). І все ж таки ці методи не вийшли із уживання завдяки простоті обчислення отриманих розв’язків і легкості їх інтерпретації [63-67]. З іншого боку, комп'ютерне моделювання перенесення вологи дозволяє враховувати реальні властивості пористих середовищ на основі рівняння Ричардса-Клюта в обмежених областях складної форми й структури. Ці роботи стали предметом аналізу у великих оглядах [68-70]. Вивчивши велику кількість робіт, опублікованих за останні десятиліття, автори цих оглядів дійшли висновку, що чисельний розв’язок рівняння Ричардса-Клюта усе ще залишається дуже складним з обчислювальної точки зору, а в деяких випадках являє собою нестійкий процес. Це пояснюється тим, що процес вологоперенесення, описуваний цим рівнянням, характеризується більшою різноманітністю параметрів і тому, наприклад, методи розв’язування задач вологоперенесення в частково зволоженім пористим середовищем можуть не підходити для розв’язування задачі зрошення цілком сухого ґрунту [71]. Дослідження з комп'ютерного моделювання вологоперенесення в пористому середовищі можна класифікувати по застосовуваних методах, зокрема, одні дослідники віддають перевагу методу скінченних різниць [72-77], а інші застосовують метод скінченних елементів [78-82]. Діапазон умов, що враховуються в цих моделях, значно ширше, у порівнянні з аналітичними методами, але водночас відбувається різке підвищення обчислювальної складності розв’язування. Для зниження цієї складності ряд авторів [83-85] запропонували застосувати підхід, який широко використовувався в роботах, присвячених аналітичним розв’язкам задачі вологоперенесення, заснований на перетворенні Кірхгофа, що дозволяє звести квазілінійну задачу до лінійної. Це значно підвищило швидкодію запропонованих алгоритмів.  \f   Проте,  незважаючи  вологоперенесення  на в  велику  кількість  ненасиченому  робіт  пористому  з  моделювання  середовищі,  задача  оптимального керування квазілінійним рівнянням Ричарда-Клюта досліджена дуже мало [86-88], до того ж головним об'єктом уваги в цих задачах є властивості ґрунту, а не параметри джерел зволоження. При розв’язанні лінійних задач оптимального керування підземним массоперенесенням із точкових  джерел  часто  використовується  варіаційний  алгоритм  із  використанням спряженого оператора [89-91]. У зв'язку із цим доцільно досліджувати чисельний підхід до розв’язання рівняння Ричарда-Клюта, заснований на лінеаризації. Для побудови системи рівнянь у нашому випадку використовується метод скінчених різниць. Для дослідження коректності побудованої моделі використовується метод, викладений у роботах [92-95]. Таким чином, мета третього розділу – розробка варіаційного алгоритму ідентифікації оптимальної потужності точкових джерел, що дозволяє розв’язувати  квазілінійні  задачі  вологоперенесення  в  ненасиченому  пористому середовищі за допомогою їх лінеаризації на основі перетворення Кірхгофа при реалістичних припущеннях і довести його ефективність. У четвертому розділі увагу приділено обґрунтуванню чисельних методів  оптимізації  лінійних  розподілених  систем  з  узагальненим  керуванням, що описуються різними рівняннями руху рідини у пористому середовищі. Ми припускали, що оператор, який описує модель, задовольняє апріорні оцінки в негативних нормах. Досліджено гладкість функціоналу якості задач узагальненої оптимізації лінійних систем з розподіленими параметрами. Для задач керування доведено доведено збіжність та стійкість варіантів методу лінеаризації при різних припущеннях про поведінку похибок розв’язання ітераційних підзадач. Розв’язання складних задач цілочислової оптимізації у наш час важливе й актуальне. На сьогоднішній день багатокритеріальні, в тому числі дворівневі задачі дискретної оптимізації, широко використовуються як  \f13  математичні моделі формування і прийняття рішень в багатьох прикладних галузях, тому такі задачі актуальні і вимагають подальшого вивчення. Це приводить до необхідності побудови ефективних методів та програмноалгоритмічних засобів розв’язання задач дискретного програмування, які характеризуються  багатокритеріальністю,  неповнотою  і  можливими  збуреннями вхідної інформації. Наявність таких характеристик ускладнює пошук оптимальних розв’язків задач, у зв’язку з чим виникає нагальна потреба у вдосконалення існуючих, створенні нових і модифікації відомих підходів до їх розв’язання. Пятий розділ присвячено проблемі існування різних видів оптимальних розв’язків  задач  векторної  оптимізації  з  необмеженою  допустимою  множиною, в тому числі за умов можливих збурень вхідних даних. Встановлено умови існування та оптимальності строго ефективних, Паретооптимальних, слабо ефективних, лексикографічно оптимальних розв’язків векторних задач лінійної, опуклої та псевдоопуклої оптимізації. На основі проведеного  аналізу  задач  з  використанням  властивостей  конусів  перспективних напрямків, рецесивних напрямків та локальних шатрів в граничних точках допустимої множини встановлено необхідні та достатні умови розв’язуваності та оптимальності розв’язків таких задач. На підґрунті введеної  класифікації  векторних  задач  оптимізації  стосовно  їх  розв’язуваності при збуренні коефіцієнтів лінійного критерію та функцій обмежень одержано достатні умови їх стійкої та нестійкої розв’язуваності й нерозв’язуваності. Ці результати є інструментом для аналізу й послаблення впливу невизначеності у вхідних даних на розв’язки зазначених задач. Шостий розділ присвячено методам розв’язання багатокритеріальних та дворівневих складних задач дискретної оптимізації, які широко використовуються як математичні моделі формування і прийняття рішень в багатьох прикладних галузях. Розроблено та обґрунтовано адитивний алгоритм розв’язання векторних задач дискретної оптимізації з булевими  \f14  змінними. Побудовано та досліджено метод розв’язання оптимістичної постановки дворівневої задачі дискретної оптимізації, що містить задачі цілочислової оптимізації нижнього рівня, оптимальні розв'язки яких використовуються при завданні області допустимих розв'язків задачі верхнього рівня. Запропонований підхід до розв'язання оптимістичної постановки дворівневої задачі дозволяє одержувати наближені розв'язки дворівневих дискретних задач із використанням ефективних алгоритмів локального пошуку.  .  \f15  1 БРЕГМАНІВСЬКІ АЛГОРИТМИ ДЛЯ ВАРІАЦІЙНИХ НЕРІВНОСТЕЙ  1.1 Постановка задачі та допоміжні відомості Усюди далі ми працюємо в скінченновимірному дійсному лінійному просторі, який позначений літерою E . Цей простір забезпечимо нормою  (не обов'язково евклідовою). Двоїстий простір позначимо E * . Для a  E * і b  E будемо позначати   a, b   − значення лінійної функції a в точці b .  Двоїсту норму  * на E * визначаємо стандартним способом: a *  max  a, b  : b  1 ,  що забезпечує виконання нерівності Шварца:  a, b   a b  E . Найбільш важливим є випадок E  E  *  *  b для всіх a  E * , m  m  з  a , b    ai bi , a , b   m  .  i 1  Нехай C – непорожня підмножина простору E , A – оператор, що діє з  E в E * . Розглянемо варіаційну нерівність: знайти x  C :   Ax, y  x   0 y  C ,  (1.1)  множину розв'язків якого позначимо S . Припустимо, що виконані наступні умови:  множина C  E – опукла і замкнена;  оператор A : E  E * – псевдомонотонний і ліпшицевий з константою L  0 на C ;   множина S не порожня. Зауваження 1.1. Нагадаємо, що псевдомонотонність оператора A на множині C полягає в тому, що для всіх x , y  C з   Ax, y  x   0  випливає  \f16   Ay, y  x   0    [1]. У випадку f :  це означає просто, що якщо f  x   0  для деякої точки x  , то f  y   0 при y  x та f  y   0 при y  x . Розглянемо, так звану, дуальну варіаційну нерівність [1]:   Ay, y  x   0 y  C .  знайти x  C :  (1.2)  Множину розв'язків (1.2) позначимо S d . Нерівність (1.2) іноді називають слабкою або дуальною постановкою (1.1), а розв'язки (1.2) – слабкими розв'язками (1.1) [1]. Дійсно, при псевдомонотонності A маємо S  S d . У наших умовах – S d  S . Зокрема, множина S опукла і замкнена [1]. Уведемо необхідні для формулювання алгоритму конструкції. Нехай функція  : E     –    задовольняє умові [2]:    неперервна  й  опукла  на  C.  Зокрема,  множина  C o  x  C :   x    не порожня;    – регулярна на C o , тобто у субдиференціала  на множині C o є неперервний селектор  ;  функція  сильно опукла щодо обраної норми  з константою сильної опуклості   0 :    a     b      b  , a  b   2 a  b  2  a  C , b  C o .  Зауваження 1.2. Такі функції прийнято називати «distance generating functions» [2]. Задача   a, y     y   min yC , a  E * , має єдиний розв'язок ya , що лежить в C o , причому   a    y  , y  y   0 a  a  y  C .  Відповідна  відстань Брегмана на множині C задається формулою  \f17  d  a, b     a     b      b  , a  b  a  C , b  C o .  Розглянемо два основні приклади. При       2 , де  2 – евклідова 2  норма, маємо d  x, y     x  y 2 . 2  Для стандартного симплекса  Sm   x    m  : xi  0,  m  x i 1  i    1  m  і негативної ентропії Больцмана-Шеннона   x    xi ln xi (вона сильно i 1  опукла відносно  1  -норми на S m ) отримуємо відстань Кульбака-Лейблера m  d  x, y    xi ln i 1  xi , x  Sm , y  ri  Sm  . yi  Має місце корисна 3-точкова тотожність [3]: d  a, c   d  a, b   d  b, c      b     c  , a  b  .  (1.3)  Із сильної опуклості  випливає оцінка d  a , b   2 a  b  2  a  C , b  C 0 .  (1.4)  Припустимо, що в нас є можливість ефективно розв'язувати сильно опуклі задачі мінімізації виду   x  a   arg min yC   a, y  x   d ( y, x ) a  E * , x  C o . Точка   x a   в евклідовому випадку збігається з евклідовою  метричною проекцією PC  x  a   arg min yC y   x  a  2 .  Для випадку симплекса S m і відстані Кульбака-Лейблера маємо [3]  x1ea1 x2 ea2   x a   , ,   m x j ea j  m x j ea j j 1  j 1   ,a , m aj  j1 x j e  xm eam  m  , x  ri  Sm  .  \f18  Зауваження 1.3. У роботах [4, 5] для  x  a  прийняте позначення Mirrx  a  . А оператор  x : E *  C o називають прокс-відображенням [6].  1.2 Двоетапний алгоритм Опишемо варіант методу дзеркального спуску для задачі (1.1). __________________________________________________________________ Алгоритм 1.1. Починаючи з x1  C o , y1  C , генеруємо послідовність елементів xn , yn за допомогою ітераційної схеми xn1   xn   Ayn  ,  yn1   xn1   Ayn  ,  де   0 . __________________________________________________________________ Правило вибору параметра регуляризації  вкажемо нижче. Зауваження 1.4. Якщо       2 , то алгоритм 1.1 приймає вигляд [7-9]: 2    xn1  PC  xn   Ayn  ,    yn1  PC  xn 1   Ayn  .  Зауважимо, що при виконанні для деякої n   рівності  xn1  xn  yn  (1.5)  має місце включення y n  S і умова стаціонарності xk  yk  yn для k  n . Дійсно, рівність xn1   xn   Ayn  означає   Ayn , y  xn1   З (1.5) випливає     x     x  , y  x   0 n 1  n     Ayn , y  yn   0 y  C ,  n 1  y  C .  \f19  тобто y n  S . Враховуючи це міркування, практичному варіанту алгоритму 1.1 можна надати наступний вигляд. __________________________________________________________________ Алгоритм 1.2. Крок 0. Задаємо x1  C o , y1  C ,   0 і   0 . Крок 1. Для xn і yn обчислюємо  xn1   xn   Ayn   arg min yC   Ayn , y  xn   d  y, xn  ; Крок 2. Якщо max  xn1  xn , xn  yn    , то СТОП, інакше – обчислюємо  yn1   xn1   Ayn   arg min yC   Ayn , y  xn1   d  y, xn1  ; Крок 3. Вважаємо що n  n  1 і переходимо на крок 1. __________________________________________________________________ Зауваження  1.5.  Природно,  що  можна  використати  умову  max d  xn1 , xn  , d  yn , xn    .  Далі будемо припускати, що для всіх номерів n   умова (1.5) не має  місця й перейдемо до обґрунтування збіжності алгоритму 1. Для доведення збіжності методу нам буде потрібна елементарна Лема 1.1. Нехай ( an ) , ( bn ) – послідовності невід’ємних чисел, що задовольняють нерівності an 1  an  bn для всіх n  . Тоді існує границя   lim an і n   b n 1  n    .  Доведемо важливу оцінку, що зв'язує відстані Брегмана між породженою алгоритмом точкою xn і довільним елементом множини S . Лема 1.2. Для послідовностей  xn  ,  yn  , породжених алгоритмом, має місце нерівність  \f20  L   d  z, xn 1   d  z, xn    1  1  2  d  y n , xn           L  L   1  2  d x , y   d  xn , yn 1  ,   n 1 n      (1.6)  де z  S . Доведення. Маємо (двічі застосували тотожність (1.3)) d  z, xn1   d  z, xn   d  xn1 , xn      xn1     xn  , xn1  z    d  z, xn   d  xn1 , yn   d  yn , xn      yn     xn  , xn 1  yn       xn1     xn  , xn1  z  .  (1.7)  З визначення точок xn 1 і yn випливає    Ayn , z  xn1      xn1     xn  , z  xn1   0 ,  (1.8)    Ayn1 , xn1  yn      yn     xn  , xn1  yn   0 .  (1.9)  Використовуючи нерівності (1.8), (1.9) для оцінки скалярних добутків у (1.7), одержуємо d  z, xn1   d  z, xn   d  xn 1 , yn   d  yn , xn      Ayn1 , xn1  yn    Ayn , z  xn1    d  z, xn   d  xn1 , yn   d  yn , xn      Ayn1  Ayn , xn1  yn    Ayn , z  yn  .  (1.10)  Із псевдомонотонності A випливає, що  Ayn , z  yn   0 . Таким чином, d  z, xn1   d  z, xn   d  xn 1 , yn   d  yn , xn     Ayn 1  Ayn , xn 1  yn  .  (1.11)  Тепер оцінимо доданок   Ayn1  Ayn , xn 1  yn  . Маємо    Ayn1  Ayn , xn1  yn    Ayn1  Ayn  *  xn1  yn   L yn1  yn xn1  yn   \f21   1  L  yn1  yn 2 2      2  L 2  L 2  2 yn1  xn  yn1  xn  2   L  2  2  1 2 xn 1  yn   2          2  2 xn  yn  1 2 xn  y n 2  2    2     L2 x  L 2  n 1   yn  2    xn 1  yn . 2  (1. )  Тут ми скористалися елементарними нерівностями      ab  2 a 2  21 2 b2 ,  a  b   2a 2  2  2 b2 . 2  2  Оцінивши норми в (1. ) за допомогою нерівності (1.4), одержимо    Ayn1  Ayn , xn1  yn     L d  xn , yn 1     L L 1  2 d  y n , xn   2d  xn 1 , yn  .        (1.13)  Застосувавши (1.13) в (1.11), одержимо d  z, xn1   d  z, xn   d  xn 1 , yn   d  yn , xn      L L L d  xn , yn1   1  2 d  y n , xn   2d  xn1 , yn            L   d  z , xn    1  2  d  xn 1 , yn       L  L   1  1  2  d  y n , xn   d  xn , yn 1  ,          що і було потрібно довести. Тепер сформулюємо основний результат. Теорема 1.1. Нехай множина C  E – опукла і замкнута, оператор A : E  E * – псевдомонотонний і ліпшицевий з константою L  0 , S   і       0,     L  . Тоді послідовності  x  і  y  , породжені алгоритмом 1,  2 1  збігаються до деякої точки z  S .  n  n  \f22  Доведення. Нехай z  S . Покладемо a n  d  z , xn    L d  xn , yn 1  ,    L  bn   1  1  2   d  yn , xn   d  xn 1 , yn   .         Нерівність (1.5) набува вигляду an 1  an  bn . Тоді з леми 1.1 можемо зробити висновок, що існує межа  L   lim  d  z, xn   d  xn , yn 1   n       L    1   1  n 1  і     2   d  yn , xn   d  xn 1 , yn     .   Звідки одержуємо lim d  yn , xn   lim d  xn1 , yn   0 n  (1.14)  n  і збіжність числової послідовності  d  z, xn   для всіх z  S . З (1.14) випливає lim yn  xn  lim xn1  yn  0  (1.15)  lim xn1  xn  0 .  (1.16)  n  n  і природно n  З  нерівності  d  z , xn   2 z  xn  2  і  (1.16)  випливає  обмеженість  послідовностей  xn  ,  yn  .     Розглянемо підпослідовність xnk , що збігається до деякої точки z  C . Тоді з (1.15) випливає, що ynk  z і xnk 1  z . Покажемо, що z  S . Маємо   Ay  nk             , y  xnk 1  1  xnk 1   xnk , y  xnk 1  0 y  C .  (1.17)  Зробивши в (1.17) граничний перехід з урахуванням (1.15), (1.16), одержимо   Az , y  z   0 y  C , тобто, z  C .  \f23  xn  yn  0 буде випливати, що і  Покажемо, що xn  z (тоді з yn  z ). Відомо, що існує границя      lim d  z , xn   lim   z     xn      xn  , z  xn  . n  n      Оскільки lim d z , xnk  0 , то і lim d  z , xn   0 . Звідки xn  z  0 . n  n  Зауваження 1.6. Асимптотики (1.14) і (1.15) можна уточнити до наступних:  lim n  d  yn , xn   lim n  d  xn1 , yn   0 ,  (1.18)  lim n yn  xn  lim n xn 1  yn  0 .  (1.19)  n  n  n   n   Дійсно, якщо (1.18) не виконується, то d  yn , xn   d  xn1 , yn   n 1 для   0  деякого  d  y , x   d  x n  n  і n 1  всіх  досить  великих  номерів  n.  Отже,  ряд  , yn   розбігається. Одержали протиріччя. А (1.19)  n  безпосередньо випливає з (1.18). Зауваження 1.7. Якщо   1 , то можна використати схему:  xn1   xn   31L Ayn  ,  1  yn 1   xn 1   3 L Ayn  .  Наведемо наприкінці кілька конкретних версій алгоритму 1.1. Розглянемо варіаційну нерівність на стандартному симплексі:   Ax, y  x   0  знайти x  Sm :  y  Sm .  Вибираючи відстань Кульбака-Лейблера, одержуємо наступну версію алгоритму: n 1 i  x    xin exp    Ayn i  m  x j 1  n j    exp   Ayn  j    , i  1,  ,m,  \f24  y  n 1 i    xin 1 exp    Ayn i  m  x j 1  де  Ayn i   n 1 j    exp   Ayn  j  – i -я координата вектора Ayn   m    , i  1,  ,m,  ,   0.  У транспортних застосуваннях [10], машинному навчанні та теорії ігор доводиться працювати з варіаційними нерівностями на прямих добутках масштабованих симплексів p  C   rk Smk    k 1mk , p  k 1  де rk Smk    x    mk   x  r  i k  , rk  0 , тобто із задачами: i 1  mk  : xi  0,  p  p  k 1  k 1  знайти x   rk Smk :  Ax, y  x   0 y   rk S mk ,  (1.20)  за сепарабельною функцією p  p  mk    x    k  xk    k 1  де  x   x1 ,   , x p    x1,1 , x1,2 ,   x1   xk ,i rk  k 1 i 1  x1,m1 ,  ln  xk ,i rk  ,   p m x p ,m p    k 1 k ,     , x p ,1 , x p ,2 , xp  побудуємо  p  відстань Брегмана на  r S k 1  k  mk  : p  mk  p  d  x, y    d k  xk , yk    k 1  k 1 i 1  xk ,i rk  ln  xk ,i yk ,i  .  Алгоритм 1.1 для нерівності (1.20) з таким вибором відстані приймає вигляд: x  n 1 k ,i   rk    xkn,i exp  rk  Ayn k ,i mk  x j 1  n k, j      exp  rk  Ayn k , j    , k  1,  , p , i  1,  , mk ,  \f25  y  n 1 k ,i   rk    xkn,i 1 exp  rk  Ayn k ,i mk  x  n 1 k, j  j 1  де  Ayn k ,i –        exp  rk  Ayn k , j    , k  1,    , p , i  1,  , mk ,  m  t 1 mt  i -я координата вектора Ayn  k 1 k ,   0 . k 1  p  Розглянемо гладку задачу опуклої мінімізації f  x   min , x  C , g k  x   0 , k  1,  ,p,  де C  E – опукла замкнена множина, f , g k – опуклі диференційовні p  функції.  Введемо  функцію  Лагранжа  L  x, y   f  x    yk g k  x   і  k 1  розглянемо сідлову задачу: знайти x   C y    p   : L  x, y   L  x , y   L  x , y  x  C y   p   . (1.21)  Задача (1.21) рівносильна варіаційній нерівності p   p      f x  y  g x , x  x     k k     g k  x   yk  yk   0 x  C y  k 1   k 1  p   . (1.22)  Для розв'язання (1.22) можна виписати ітераційний процес: p     n x      f x    n   y k g k  x n    ,  n 1 xn  k 1      y   y   g  x  , n   n 1  n  p  x       f x  y n g x   ,   n   k k  n   xn 1   n 1 k 1      yn 1   yn 1   g  xn   ,    де g  x    g1  x  , g2  x  , ортант  p   , g p  x   ,  – евклідова проекція на невід’ємний  ,  x : E *  C o – прокс-відображення, побудоване по певній  брегмановській відстані d на C .  \f26  1.3 Дзеркально-проксимальний алгоритм з адаптивним кроком Розглянемо  новий  варіант  екстраградіентного  (дзеркально-  проксимального) методу [2, 11] для наближеного розв’язання варіаційних нерівностей з псевдомонотонними та ліпшицевими операторами. У методі використовується відстань (дивергенція, розбіжність) Брегмана замість евклідової відстані та нове регулювання величини кроку, що не вимагає знання константи Ліпшиця оператора. На відміну від правил вибору величини кроку, що застосовувалися раніше, в пропонованому методі не проводиться  додаткових  обчислень  значень  оператора  та  прокс-  відображення. Запропонований дзеркально-проксимальний алгоритм з адаптивним кроком для розв’язання варіаційної нерівності (1.1) має такий вигляд. __________________________________________________________________ Алгоритм 1.3. Обираємо елемент x1  C o ,    0,   та додатнє число 1 . Покладаємо n  1. Крок 1. Обчислюємо yn   xn  n Axn  .  Крок 2. Якщо yn  xn , то СТОП, інакше обчислюємо xn1   xn  n Ayn  ,  Крок 3. Обчислюємо   2 V  yn , xn    min n ,  , якщо Axn  Ayn , n1    Ay  Ax n n *    інакше. n ,  Покладаємо n : n  1 та переходимо на крок 1. __________________________________________________________________  \f27  Зауваження 1.8. На відміну від правил вибору n з попередніх работ в алгоритмі 1.3 не виконується додаткових обчислень значень A та проксвідображення  xn . Зауваження 1.9. Послідовність   n   неспадна та обмежена знизу    числом min 1 ,  . Отже, існує lim n  0 . n   L  Якщо для деякого n   в алгоритме 1.3 маємо yn  xn , то xn  S .  Дійсно, тоді yn   xn  n Axn  . Це означає   Axn , y  xn       x     x  , y  x   n  n  n  n   Axn , y  xn   0  y  C ,  тобто, xn  S . Припустимо, що для всіх n   умова зупинки на кроці 2 не  виконується. Тоді збіжність алгоритму 1.3 випливає з наступної нерівності. Лема 1.3. Для послідовностей  xn  ,  yn  , породжених алгоритмом 1.3, має  місце  нерівність        d  z, xn 1   d  z , xn    1  n   d  yn , xn    1  n   d  xn 1 , yn  ,        де z  S , n    n n1  . Сформулюємо один з основних результатів. Теорема 1.2. Нехай множина C  E – опукла та замкнена, оператор A : E  E * – псевдомонотонний та ліпшицевий з константою L  0 , S   .  Тоді послідовності  xn  та   yn  ,  породжені алгоритмом 1.3, збігаються до  деякої точки z  S . Зауваження 1.10. В одній з найближчих робіт планується розглянути рандомізовану версію алгоритму 1.3 та провести аналіз збіжності. Це допоможе просунутися в напрямку використання методу для розв’язання  \f28  варіаційних нерівностей великого розміру та для навчання генеруючих змагальних нейронних мереж (GAN). 1.4 Двоетапний «оптимістичний» алгоритм Запропоновано новий двоетапний метод для наближеного розв’язання варіаційних нерівностей з псевдомонотонними та ліпшицевими операторами, що діють в скінченномірному лінійному нормованому просторі. Даний метод є модифікацією декількох раніше досліджених двоетапних алгоритмів [8, 9] з використанням відстані Брегмана замість евклідової. Як  і  інші  схеми,  що  використовують  відстань  Брегмана,  запропонований метод іноді дозволяє ефективно врахувати структуру допустимої множини задачі. Доведено теорему збіжності методу та для випадку монотонного оператора та опуклої компактної допустимої множини отримані неасимптотичні оцінки ефективності методу. Опишемо алгоритм. __________________________________________________________________ Алгоритм 1.4. Обираємо елементи x0 , y0  C та додатнє число  . Покладаємо n  1. Крок 0. Обчислюємо x1   x0   Ay0  , y1   x1   Ay0  . Крок 1. Обчислюємо xn1   xTnn   Ayn  , yn1   xn1   Ayn  , де   xT  a   arg min yT   a, y  x   d ( y, x ), n  n    n    Tn  z  E :    xn    Ayn1    yn  , z  yn   0 .  Крок 2. Якщо xn 1  xn , yn 1  yn  yn1 , то СТОП та y n  S , інакше покласти n : n  1 та перейти на крок 1. __________________________________________________________________  \f29  Зауваження 1.11. Маємо C  Tn . Дійсно, ясно припустити існування точки w  C \\ Tn , то нерівність    xn    Ayn1    yn  , w  yn   0 суперечить рівності yn  PxCn   Ayn1  . Зауваження 1. . Якщо       2 , то алгоритм 1.4 приймає вигляд 2  методу, запропонованого та дослідженого в [8]: Tn  z  H :  xn   Ayn1  yn , z  yn   0,   xn1  PTn  xn   Ayn  ,   yn1  PC  xn1   Ayn  .  Лема 1.4. Якщо для деякого n   в алгоритмі 1.4 маємо xn 1  xn і  yn 1  yn  yn 1 , то y n  S .  Припустимо, що для всіх n   умова зупинки на кроці 2 алгоритму 1.4  не виконується. Тоді збіжність алгоритму 1.4 випливає з наступної нерівності. Лема 1.5. Для послідовностей  xn  ,  yn  , породжених алгоритмом 1.4, має місце нерівність  L   d  z, xn 1   d  z , xn    1  1  2 d  y n , xn           L  L   1  2 d  xn , yn 1  , де z  S .  d  xn 1 , yn       Теорема 1.3. Нехай множина C  E – опукла та замкнена, оператор A : E  E * – псевдомонотонний та ліпшицевий з константою L  0 , S   та       0,     L  . Тоді послідовності  x  та  y  , породжені алгоритмом  2 1  n  n  1.4, збігаються до деякої точки z  S . Розглянемо варіаційну нерівність (1.1) з монотонним ліпшицевим оператором A і опуклою компактною множиною C . Отримаємо для цього випадку неасимптотичні оцінки ефективності алгоритму 1.4.  \f30  Нагадаємо одне важливе поняття. Функцією розриву (gap function) називають функцію виду G  x   max  Ay , x  y  ,  x  C . Функція розриву  yC  опукла, невід’ємна та приймає нульове значення в точці x  C тоді і тільки тоді, коли ця точка належить множині S [1]. Функція розриву часто застосовується для оцінки якості наближеного розв’язку  варіаційної  нерівності (1.1) [1, 2,  ]. Справедлива наступна Теорема 1.4. Нехай множина C  E – опукла та компактна, оператор A : E  E*       0,    –  монотонний  та  ліпшицевий  L  0,   L  . Тоді має місце нерівність 1    RC  x1   L V  x1 , y0   yC  zN  константою  2 1  G  z N   max  Ay , z N  y   де  з     N n 1  yn  N  –  усереднений  результат  N роботи  ,  алгоритму  1.4,  RC  x1   max V  y , x1  . yC  З теореми 1.4 випливає Наслідок 1.1. Нехай необхідно розв’язати задачу (1.1) за допомогою алгоритму 1.4 з      1 L  3RC  x1   V  x1 , y0    та   0 . Тоді після N    3L     ітерацій має місце така оцінка G  z N   max  Ay , z N  y    , yC  де z N     N n 1  N  yn  – усереднений результат роботи алгоритму 1.4 за N ітерацій.  Основні результати опубліковано в [13-16].  \f31  2  ПОБУДОВА  ТА  ДОСЛІДЖЕННЯ  АЛГОРИТМІВ  ДЛЯ  БАГАТОРІВНЕВИХ ЗАДАЧ ОПУКЛОГО ПРОГРАМУВАННЯ  2.1 Проксимальні та проксимально-градієнтні алгоритми для дворівневих задач опуклого програмування  В оптимізації та теорії некоректних задач є популярним такий підхід до розв'язання задач з неєдиним розв'язком [17, 18]. Розглядають певну родину збурених задач, однозначно та коректно розв'язних. Частинний розв'язок вихідної задачі одержують як границю розв'язків збурених задач при зменшенні збурень. Знайдені так частинні розв'язки задовольняють певним додатковим умовам, наприклад, мінімальність норми нормального розв'язку оптимізаційної задачі. Іншим джерелом задач вигляду  f2 ( x)  min, x  argmin f1 є метод штрафів та задачі оптимізації за послідовно заданними критеріями (лексикографічна, послідовна або багаторівнева оптимізація) [19, 20]. Останнім часом з'явились роботи по більш загальним задачам: послідовним варіаційним нерівностям [21-24] та послідовним задачам про нерухомі точки [25].  Для  цих  задач  розроблено  варіанти  методів  Гальперна  та  Красносельського-Манна. Але умови на дані задач є занадто сильними, щоб застосувати відомі результати до багатьох важливих багаторівневих задач. У роботі розглядається дворівнева задача опуклої оптимізації в гільбертовому просторі. Ефективні методи розв'язання таких задач у скінченновимірній постановці запропоновані в [26, 27].  \f.  32  Нехай H – дійсний простір Гільберта зі скалярним добутком  ,   та нормою  . Нехай f1 , f 2 : H    {} – власні опуклі напівнеперервні  знизу функціонали. Припустимо, що arg min f1   та min f1 = 0 . Множина arg min f1 – замкнена та опукла. Розглянемо задачу f 2  min, x  arg min f1.  (2.1)  Припустимо, що 0  int  dom f 2  arg min f1  . Тоді задача (2.1) еквівалентна включенню знайти x  H :  0 f 2 ( x)  N argminf x , 1  де N M x – нормальный конус замкненої опуклої множини M  H в точці x  H , тобто  z  H : ( z, y  x)  0 y  M  , якщо x  M , NM x =  інакше. , :   z ,    H  =     M  N  x  Позначимо C множину arg min f1 , а S множину розв'язків задачі (2.1). Нагадаємо декілька відомих та потрібних нам фактів. Нехай  g:H    {} – власний опуклий напівнеперервний знизу функціонал.  Проксимальним оператором, асоційованим з g , називають оператор 1 2  prox g x = arg min yH  g ( y )  y  x  . 2    Hx  Для доведення збіжності алгоритму будемо використовувати наступні леми про числові послідовності та послідовності елементів гільбертових просторів. Лема 2.1. Нехай обмежена знизу послідовність ( an ) та послідовності невід'ємних чисел ( bn ) і ( cn ) такі, що an1  an  bn  cn , існує limn an   і     n =1  bn <  .     n =1  cn <  . Тоді  \f33  Лема 2.2 [28]. Нехай H – гільбертів простір; F  H – непорожня множина; ( xn ) – послідовність точок H . Припустимо, що: усі слабкі часткові границі  послідовності  lim n xn  y   ( xn )  належать  F;  для  yF  всіх  існує  . Тоді ( xn ) слабко збігається до деякої точки x  F .  Лема 2.3 ([29]). Нехай H – гільбертів простір; F  H – непорожня   x =   n  множина; ( xn ) – послідовність точок H і xn  k =1 k n  k  , де   n   –  k =1 k  послідовність додатніх чисел, така, що     n =1  n =  . Припустимо, що: усі  слабкі часткові границі послідовності ( xn ) належать F ; для всіх y  F існує lim n xn  y   . Тоді ( xn ) слабко збігається до деякої точки x  F .  Зауваження 2.1. Леми 2.2 та 2.3 дозволяють доводити слабку збіжність послідовностей без апріорного знання границі. Нашою метою є дослідження збіжності схем вигляду 1 2  xn 1 = arg min yH n f 2 ( y )  n n f1 ( y )  y  xn  . 2    При  n  0 маємо звичайний проксимальний метод для задачі f 2  min , збіжності різних варіантів якого присвячено багато робіт [30-32]. У роботі [33] доведено сильну збіжність методу  1 2 2 xn1 = arg min yH  n y  f1 ( y )  y  xn  2n    до нормального розв’язку задачі f1  min . Нехай ( n ) , ( n ) – послідовності додатніх чисел. __________________________________________________________________ Алгоритм 2.1. Ініціалізація. Задаємо x1  H . Ітераційний крок.  \f34  Для xn  H обчислюємо  xn1 = prox  n ( f 2 nn f1) xn .  _______________________________________________________________ Зауваження 2.2. При n  1 маємо класичний проксимальний метод для задачі f1  f 2  min . Подальший план такий. Спочатку наводиться теорема про сильну збіжність алгоритму 2.1 для сильно опуклого функціоналу f 2 . Далі вводиться певна метрична умова на функціонал f1 (умова (A1)) та при її виконанні одержуються дві теореми про слабку збіжність. Також наводиться теорема про слабку збіжність за Чезаро породжених алгоритмом 2.1 послідовностей. У випадку сильної опуклості f 2 алгоритм 2.1 cильно збігається до єдиного розв'язку задачі (2.1). Наступна теорема отримана за допомогою незначної модифікації міркувань роботи [34]. Теорема 2.1. Нехай функціонал f 2 сильно опуклий. Припустимо, що    n 1  n    , lim n  0 , lim  n   , lim  n n  0 . n   n   n  Тоді породжена алгоритмом 2.1 послідовність   xn   cильно збігається до  єдиного розв'язку задачі (2.1). Перейдемо до вивчення поведінки алгоритму 2.1 у ситуації, коли функціонал f 2 не є сильно опуклим. Припустимо, що (A1) k  0 : f1  x   k dC2  x   k min yC x  y  2  x  H .  З міркувань теорії двоїстості опуклих функціоналів випливає Лема 2.4. Нехай для f1 виконується припущення (A1). Тоді для z  C і w  N C z має місце нерівність   w, x   f1  x    w, z    1 w 4k  2  x  H .  \f35  Зауваження 2.3. Якщо припустити існування k  0 , p  1 , таких, що f1  x   k dCp  x   k min yC x  y  p  x  H ,  то для z  C і w  N C z можна довести оцінку   w, x   f1  x    w, z   дe q  1 та  1 q  pk   q1  w  q  x  H ,  1 1  1. p q  Мають місце Лема 2.5. Нехай для f1 виконується припущення (A1). Нехай z  C , v f 2  x   N C x , а точка w  N C z , така, що v  w f 2  x  . Тоді виконується  нерівність xn 1  z  xn  z  xn 1  xn 2  2  2   n n f1  xn 1   2n  v, z  xn 1    n 1 2 w . n k  Лема 2.6. Нехай S   , виконується умова (A1). Припустимо, що   n   n 1    . Тоді  n  1) z  S  lim n xn  z  ;     2)  xn 1  xn  n 1  2    ;       f  x    .  3)  n  n 1  n 1  n 1  Доведемо слабку збіжність послідовності ( xn ) до розв'язку задачі (2.1). В силу леми 2.2 та твердження 1) леми 2.6 для цього достатньо показати, що всі слабкі часткові границі послідовності ( xn ) належать множині S . Оскільки функціонали f1 та f 2 cлабко напівнеперервні знизу, то останнє випливатиме з наступної асимптотичної поведінки числових послідовностей  f1  xn   0,  f  x   : lim n 2  n  lim f 2  xn   f 2  z  z  S . n   f  x  , 1  n  \f36  Теорема 2.2. Нехай S   , виконується умова (A1). Припустимо, що   n   n 1    , lim n  0 . n   n  Тоді породжена алгоритмом 2.1 послідовність ( xn ) cлабко збігається до розв'язку задачі (2.1). Зауваження 2.4. Умовам теореми 2.2 задовольняє варіант алгоритму 2.1 з n  1 ,  n  n 2 : 1 2  xn 1 = arg min yH  f 2 ( y )  n 2 f1 ( y )  y  xn  . 2    Теорема 2.3. Нехай S   , виконується умова (A1). Припустимо, що  n   ,   n 1 n      n 1  n    , lim  n   , n    M  0 : n1  n  M nn .  Тоді породжена алгоритмом 2.1 послідовність ( xn ) cлабко збігається до розв'язку задачі (2.1). Зауваження 2.5. Умовам теореми 2.3 задовольняє варіант алгоритму 2.1 з n   1 , n  n2 : n 1 2 1 xn 1 = arg min yH  f 2 ( y )  nf1 ( y )  y  xn  . 2 n   (2.2)  З теореми 2.2 не випливає збіжність схеми (2.2). Використовуючи техніку, розвинуту в [29], покажемо, що розв'язність задачі (2.1) рівносильна слабкій збіжності послідовності середніх за Чезаро елементів xn , породжених алгоритмом 2.1. Лема 2.7. Для точок z , v , w з леми 2.5 та породженої алгоритмом 2.1 послідовності ( xn ) виконується нерівність x1  z  2   n i  1 2    v, z  xn 1   n w , де xn =   n 2 i 1 i  i1 i  i1 i  2k 1   x   n 1  k =1 k n 1  k 1  k =1 k  .  \f37  Сформулюємо один з основних результатів розділу. Теорема 2.4. Нехай виконуються умова (A1). Припустимо, що  n   ,   n 1 n      n 1  n    .  Тоді справедливі твердження: якщо S   , то послідовність чезарівських середніх   xn   слабко збігається до точки з множини S ; якщо S   , то  xn   .  Зауваження 2.6. Якщо замість умови (A1) функціонал f1 задовольняє   умову росту зауваження 2.3, то замінивши  n   на умову n 1  n   дe q  1 та    n   n 1  q 1 n    ,  1 1   1 , одержуємо аналогічні результати про збіжність p q  алгоритму 2.1. Розглянемо тепер схеми вигляду 1  2   yn = arg min yH n f 2 ( y )  2 y  xn  ,      x = arg min   f ( y )  1 y  y 2  . yH n n 1 n  n1 2    При n =1 маємо альтернуючий метод проксимальної декомпозиції [35] для задачі f1  f 2  min . Основний результат такий: для опуклих напівнеперервних знизу функціоналів f 2 та опуклих напівнеперервних знизу функціоналів f1 , що задовольняють деякій метричній умові, доведено теореми збіжності (сильної та слабкої) наведеної схеми. Нехай ( n ) , ( n ) – послідовності додатніх чисел. __________________________________________________________________ Алгоритм 2.2. Ініціалізація. Задаємо x1  H .  \f38  Ітераційний крок. Для xn  H обчислюємо yn = prox  n f 2 xn ,  xn1 = prox  nn f1 yn .  __________________________________________________________________ Для породжених алгоритмом 2.2 послідовностей   xn   та   yn   мають  місце наступні твердження. Лема 2.8. Нехай z  C , v  f 2 ( z )  N C z , а точки w* f 2 ( z ) , w**  N C z , такі, що v = w*  w** . Тоді виконується нерівність  xn1  z  xn  z  xn  yn  2  2  2  1 2 xn1  yn  2   n n f1 ( xn 1 )  2n ( v, z  xn 1 )   2 n 1 ** 2 w  2n2 w* . n k  Лема 2.9. Для точок z , v , w* та w** з леми 2.8 виконується нерівність    x1  z  2  n  2i   n i 1 ** 2 n 2 * 2  w  i w   i =1  i 2k i =1  ,  ( v, z  xn1 )  n    i  i =1   x =    i =1  n 1  де xn  i =1 i i 1 n 1  .  i =1 i  Лема 2.10. Нехай функціонал f 2 сильно опуклий з сталою c > 0 . Тоді для єдиного розв'язку задачі (2.1) z  H виконоується нерівність 2  1  2 2 2 2cn xn1  z  xn  z  xn1  z   n  2n2  w* ,  n k   де w*  f 2 ( z ) N C z . Стосовно послідовностей  n  та  n  зробимо такі припущення:  n   ,  n 1  n      n 1  n    ,     n 1  2 n    .  \f39  Зауваження 2.7. Наприклад, n = Якщо    n 1  2 n  c1   n   n  c2  n  1 , 1\/ 2 < p  1 ,  n = n q , q >1  p . p n   , де c1 , c2 > 0 , то умова  n   n 1    рівносильна умові  n    .  Лема 2.11. Нехай S   , виконується умова (A1) та  n   ,  n 1  n      n   , n 1     n 1  2 n    . Тоді  1) z  S  lim n xn  z  ;   2)   n 1   3)   n 1  xn  y n  2  xn 1  yn    ; 2    ;    4)     f  x    . n  n 1  n 1  n 1  У випадку сильної опуклості f 2 алгоритм 2.2 cильно збігається до єдиного розв'язку задачі (2.1). Теорема 2.5. Нехай функціонал f 2 сильно опуклий, виконується умова  n   ,   n 1 n   (A1) та     n   , n 1     n 1  2 n    . Тоді породжена алгоритмом 2.2  послідовність ( xn ) cильно збігається до єдиного розв'язку задачі (2.1). Для не сильно опуклих функціоналів f 2 встановлено факт слабкої збіжності алгоритму 2.2.  n   ,  n 1  n   Теорема 2.6. Нехай виконується умова (A1) та    n 1  2 n    . Тоді справедливі твердження:     n 1  n    ,  якщо S   , то послідовність  \f40  чезарівських середніх  xn  слабко збігається до точки з множини S ; якщо S   , то xn   .  Більш тонкий аналіз дозволяє довести слабку збіжність послідовності ( xn ) . Для цього достатньо показати, що всі слабкі часткові границі  послідовності ( xn ) належать множині S . Оскільки функціонали f1 та f 2 cлабко напівнеперервні знизу, lim n xn1  yn = 0 , то останнє випливатиме з наступної асимптотичної поведінки числових послідовностей ( f1 ( xn )) , ( f 2 ( yn )) : lim f1  xn   0, lim f 2  yn   f 2  z  z  S . n  n  Має місце Теорема 2.7. Нехай S   , виконується умова (A1) та  n   ,   n 1 n      n   , n 1     n 1  2 n    , lim  n n  0 . n  Тоді породжена алгоритмом 2.2 послідовність ( xn ) cлабко збігається до розв'язку задачі (2.1). Нехай H – дійсний гільбертовий простір. Розглянемо задачу:  де g1 , g 2 : H  f2 : H   h2  x   f 2  x   g 2  x   min ,  (2.3)  x  arg min h1  arg min  f1  g1  ,  (2.4)    – власні опуклі напівнеперервні знизу функції, f1 ,  – опуклі диференційовні функції з ліпшицевими градієнтами.  Позначимо через L1 , L2 константи Ліпшиця градієнтів f1 ,  f 2 . Для розв’язання дворівневої задачі мінімізації (2.3), (2.4) пропонуємо такий ітераційний проксимально-градієнтний алгоритм, описаний у сумісній роботі [36] з студенткою факультету комп’ютерних наук та кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка Анастасією Лютою.  \f41  Алгоритм 2.3. Ініціалізація. Задаємо додатні параметри, 1   0,1 ,  ,  , і елемент x1  y1  H . Ітераційний крок. Обчислити zn   n xn  1   n  yn ,      x    f x   f z       , n 2 n 1 n      g 2  g1   n   n    xn1  prox   yn1   n xn 1  1   n  yn ,   n1    n4  4 n2   n2 2  .  __________________________________________________________________ Параметри  та  можна обирати за правилом:   L2   L1  1 . Наприклад,    (2.5)  1 1 ,  , де k , l 2,3,... . kL2 lL1  Зауваження 2.8. Алгоритм 2.3 є результатом адаптації для дворівневих задач однієї з прямо-двоїстих проксимально-градієнтних схем Tseng’а для розв’язання опуклих задач вигляду min  f  g  [37]. А саме такої: zn   2 n xn  yn , n2 n2  n2   xn1  prox n2  xn  f  z n   , g 2L  2L   yn 1   2 n xn 1  yn , n2 n2  де L – константа Ліпшиця f .  \f42  Позначимо S1 множину розв’язків внутрішньої задачі, тобто arg min h1 , а S2 множину розв’язків зовнішньої задачі. Відносно збіжності алгоритму 2.3 з правилом (2.5) відомо наступне. Якщо S 2   , то f1  yn   g1  yn   min  f1  g1   O  n1  при n   .  Якщо додатково множина S1 обмежена, то f1  yn   g1  yn   min  f1  g1   o  n1  при n   ,  f 2  yn   g2  yn   min S1  f 2  g2  , всі послідовність  yn  обмежена та всі її часткові слабкі границі належать S2 . Попередні результати свідчать про перспективність методу. Але є ряд цікавих відкритих питань. Окреслимо декілька з них. Якщо константи Ліпшиця градієнтів f1 ,  f 2 не відомі, то виникає питання підбору параметрів  та  . Скоріше за все це можна зробити за допомогою певних Арміхо-подібних правил. Цікавим є варіант використання адаптивних правил (як у відомих методах Adagrad, Adam).  2.2 Прямо-двоїстий децентралізований алгоритм для дворівневих задач опуклого програмування  Нехай  A  mn  f  n      – власна замкнена та опукла функція,  – матриця розмірності m  n , b   m  . Розглянемо дворівневу задачу  опуклого програмування з квадратичною функцією у внутрішній задачі f  x   min ,  x  arg min g  arg min y  (2.6) 1 2  Ay  b . 2  (2.7)  \f43  Позначимо через S множину розв'язків задачі (2.6), (2.7). Дворівнева задача (2.6), (2.7) узагальнює більш відому задачу опуклого програмування з лінійними обмеженнями f  x   min ,  (2.8)  Ax  b  0 .  (2.9)  Якщо b  R  A  , то наведені задачі мають однакові оптимальні розв’язки. Але у випадку b  R  A  друга задача має несумісні обмеження. Природньо дивитись на (2.6), (2.7) як на узагальнену постановку (2.8), (2.9). Зауваження 2.9. Задачі (2.6), (2.7) можна надати форму задачі опуклого програмування з лінійними обмеженнями f  x   min ,  A* Ax  A*b  0 .  Але це вимагатиме від на нас при застосуванні відомих алгоритмів обчислень значень лінійного оператора A* A . А цього краще уникати. Припустимо, що задача (2.6), (2.7) має наступну структуру  де fi   ni    f  x   f1  x1   f 2  x2   ...  f p  x p  ,  (2.10)  A   A1 , A2 ,..., Ap  ,  (2.11)    – власна замкнена та опукла функція, Ai   матриця розмірності m  ni , n1  n2  ...  n p  n , xi   ni  mni  –  .  Одним з популярних алгоритмів для задачі (2.8), (2.9) є прямо-двоїстий метод Chambolle–Pock [38, 39], що генерує пару послідовностей xk 1  prox f  xk   A* yk  , yk 1  yk +  A  2 xk 1  xk   b  ,  ,   0 .  Будемо відштовхуватись від цієї схеми.  \f44  Зауваження 2.10. Якщо застосувати згаданий метод Chambolle–Pock до постановки з попереднього зауваження прийдемо до схеми xk 1  prox f  xk   AA* yk  , yk 1  yk +  AA*  2 xk 1  xk   A*b  .  Для розв’язання дворівневої задачі опуклого програмування (2.6), (2.7) з використанням структури (2.10), (2.11) пропонується такий прямо-двоїстий метод. __________________________________________________________________ Алгоритм 2.4. Ініціалізація. Задаємо числові параметри   0 ,    1 , 2 ,..., p   x0   x01 , x02 ,..., x0p    n  p   та елементи  ,  y0  u0  x0    Ax0  b    m  .  Ітераційний крок. Обираємо індекс i 1, 2,..., p випадково та рівномірно. Обчислюємо    xki 1  prox  i  xki  i Ai* yk  , fi p  p   (2. )  ti  xki 1  xki , yk 1  yk  uk    p  1 Ai ti ,  uk 1  uk   At i i.  __________________________________________________________________ Зауваження 2.11. У випадку p  1 алгоритм 2.4 співпадає з прямодвоїстим алгоритмом Chambolle–Pock [38, 39]. У цьому випадку маємо uk    Axk  b  , yk 1  yk +  A  2 xk 1  xk   b  .  Зауваження 2. . Параметри слід обирати таким чином  \f45   i Ai  2   1 для всіх i 1, 2,..., p .  Алгоритм 2.4 має розподілений характер та може бути реалізований у такий спосіб. Введемо мережу з   p  1 -го  агента (вузла, процесора).  Призначимо i -му агенту ( i 1, 2,..., p ) блок x i змінної x   x1 , x 2 ,..., x p  , підматрицю Ai   mni  та функцію fi     ni   . Останній   p  1 -й  агент займається обробкою двоїстої змінної y та вектора u . Робота мережі відбувається наступним чином. На кожному такті випадково активується i -й агент ( i 1, 2,..., p ). Він отримує від   p  1 -го  агента поточне значення  двоїстої змінної, здійснює крок локального проксимального методу (2. ) та відправляє  p  1 -му агенту вектор Ai ti . Далі  p  1 -й агент оновлює двоїсту змінну y та вектор u . Попередні  результати  свідчать  про  перспективність  методу.  Практичний виграш досягається за рахунок більш інтелектуального оновлення на ітераційному кроці вектора xk . В класичних градієнтних методах він оновлюється повністю з використанням повної інформації 1-го порядку про цільові функції. В методах стохастичного програмування вже використовується часткова інформація про цільові функції, але вектор xk оновлюється повністю [3]. У блочних алгоритмах вектор xk оновлюється за блоками, але з використанням повної інформації про цільові функції задачі. У запропонованому алгоритмі відбувається блочне оновлення прямої змінної з використанням лише часткової інформації. Можна розглянути більш складну дворівневу опуклу задачу з гладким доданком у цільовій функції другого рівня: f  x   h  x   min ,  x  arg min g  arg min y  Тут h :  n    (2.13) 1 2  Ay  b . 2  (2.14)  – опукла диференційовна функція з ліпшицевим градієнтом.  \f46  Побудова та теоретичне дослідження аналогічного алгоритму 2.4 методу для задачі (2.13), (2.14) буде предметом подальших досліджень.  2.3 Алгоритми для дворівневих варіаційних нерівностей Нехай H – дійсний гільбертовий простір із заданим скалярним добутком   ,   та нормою  , що породжена цим скалярним добутком.  Сильну збіжність будемо позначати символом  , а слабку ¶ . Для оператора A  H  H та множини M  H позначимо VI ( A M )  x  M  ( Ax y  x )  0  y  M   Нехай: А1) C  H – замкнена опукла множина; А2) A1  H  H – монотонний та L1 –ліпшицевий оператор; А3) VI ( A1 C )   ; А4) A2  H  H – l2 –сильно монотонний та L2 –ліпшицевий оператор. Зауваження 2.13. Множина VI ( A1 C ) – замкнена та опукла. Розглянемо задачу: знайти x VI ( A2 VI ( A1 C ))  (2.15)  Зауваження 2.14. Розв’язок задачі (1.1) існує та єдиний. Нагадаємо декілька відомих та потрібних нам фактів. Нехай PC – оператор метричного проектування на замкнену опуклу підмножину C  H , тобто PC x – єдиний елемент C , що володіє властивістю PC x  x  min z  x . zC  Елемент PC x можна охарактеризувати таким чином [40]: y  PC x    y  C та   y  x, z  y   0  z  C .  (2.16)  Із нерівності (1.2) випливає, що x VI  A, C  тоді і тільки тоді, коли  \f47  x  PC  x   Ax  ,  де   0 [1]. Має місце Лема 2.  ([40]). Якщо оператор  A: H  H  – монотонний та  неперервний, а множина C  H – опукла та замкнена, то x VI  A, C  тоді і тільки тоді, коли x  C та  Ay , y  x   0 для всіх y  C . Зокрема, множина VI  A, C  опукла та замкнена.  При  доведенні  слабкої  збіжності  послідовностей  елементів  гільбертового простору будемо використовувати відому лему Оп’яла. Лема 2.13 ([28]). Нехай послідовність   xn   елементів гільбертового  простору H слабко збігається до елемента x  H . Тоді для всіх y  H \\ x маємо lim xn  x  lim xn  y . n  n  Оператор T : H  H називають нерозтягуючим, якщо Tx  Ty  x  y для всіх x, y  H .  Оператор проектування PC – нерозтягуючий. Оператор T : H  H називають квазінерозтягуючим (фейєрівським), якщо F T   x  H : Tx  x    та Tx  y  x  y для всіх x  H , y  F  T  .  Відомо, що множина нерухомих точок F T  квазінерозтягуючого оператора замкнена та опукла [41, 42]. Квазінерозтягуючі  (фейєрівські)  оператори  та  породжені  ними  ітераційні процеси мають велике значення в оптимізаційній алгоритмиці. В багатьох інших областях обчислювальної математики ці плідні конструкції не достатньо відомі. Книга [41] – одне з найкращих джерел по ітераційним  \f48  алгоритмам  з  фейєрівською  властивістю  для  розв’язання  рівнянь,  нерівностей та задач оптимізації. Нагадаємо, що оператор S : C  H називають демізамкненим в точці  y  H якщо для послідовності точок xn  C із xn ¶ x і Sxn  y випливає Sx  y . Відомо, що для нерозтягуючого оператора T : C  H оператор I  T демізамкнений в нулі [42]. Наступні факти також відіграють важливу роль у доведеннях основних результатів цього та наступних розділів. Лема 2.14 ([17]). Нехай  an  – послідовність невід’ємних чисел, що задовольняють  an 1  1   n  an   n  n  нерівність  для  всіх  n ,  де  послідовності  n  і   n  володіють властивостями:   n   0,1 ,     n 1   n   , lim  n  0 . n  Тоді lim an  0 . n   Лема  2.15  підпослідовність  Нехай  ([43]).  a  , nk  числова  послідовність   an   має  яка володіє властивістю ank  ank 1 для всіх k  .  Тоді існує така неспадна послідовність   mk   натуральних чисел, що  mk   і amk  amk 1 , ak  amk 1 для всіх k  n1 .  Зауваження 2.15. Лема 2.15 є ефективним інструментом дослідження збіжності ітераційних процесів, що не володіють фейєрівською властивістю відносно множини розв’язків. Відомий та надзвичайно популярний екстраградієнтний алгоритм Корпелевич [11] для розв’язання варіаційної нерівності з ліпшицевим оператором A має вигляд:  x0  H ,   yn  PC  xn   Axn  ,   xn 1  PC  xn   Ayn  ,  \f49  де    0,1 L  – стала Ліпшиця оператора A . Узагальненню і дослідженню цього алгоритму присвячена велика кількість публікацій. Зокрема, для дворівневої задачі (2.15) в роботі [44] запропоновано метод:  x0  H ,   yn  PC  xn  n A1 xn  ,   zn  PC  xn  n A1 yn  , x  z  A z ,  n 1 n n 2 n  де  n  [01) , lim n  n  0 ,    n   n   , 0     n      1 L1  .  Зауваження 2.16. Для задачі обчислення метричної проекції PVI ( A1 C ) a ( a  H ) алгоритм з роботи [44] має вигляд  yn  PC  xn  n A1 xn  ,   zn  PC  xn  n A1 yn  ,  x   a  (1   ) z , n n n  n1  де x0  H ,  n  [01) , lim n  n  0 ,    n   n   , 0     n      1 L1  .  Нещодавно [45, 46] для варіаційних нерівностей та задач рівноважного програмування була запропонована модифікація алгоритму Корпелевич з одним метричним проектуванням на допустиму множину – так званий, субградієнтний екстраградієнтний алгоритм, що має вигляд:  x0  H ,   yn  PC  xn   Axn  ,  Tn  z  H :  xn   Axn  yn , z  yn   0,  x  P  x   Ay  , Tn n n  n1  де    0,1 L  – стала Ліпшиця оператора A . В роботах [45, 46] доведена слабка збіжність породжених цим алгоритмом послідовностей  xn  і  yn  до деякого розв’язку варіаційної нерівності. В роботах [ , 47] запропоновано та досліджено  варіант  субградієнтного  дивиргенцією Брегмана.  екстраградієнтного  алгоритму  з  \f50  Очевидним недоліком субградієнтного екстраградієнтного алгоритму, що ускладнює його широке застосування, є припущення про те, що стала Ліпшиця монотонного оператора A відома або допускає просту оцінку. В наших роботах [48, 49] запропоновано модифікації субградієнтного екстраградієнтного алгоритму з динамічним регулюванням вибору величини кроку для варіаційних нерівностей з монотонним неліпшицевим оператором і доведемо їх збіжність. Спираючись на результати [48, 49] для розв’язання дворівневої задачі (2.15) пропонуємо такий алгоритм. __________________________________________________________________ Алгоритм 2.5. Ініціалізація. Задаємо числові параметри   0 ,    0,1 ,    0,1 , елемент x1  H і послідовність  n    0,1 , таку, що lim  n  0 , n      n 1  n    .  Ітераційний крок. Для xn  H обчислюємо yn  PC  xn  n A1 xn  ,  де n отримуємо із умови       j  n   min j  0 :  j A P  x   j A x   A x   P  x   j A x   x , 1 C n 1 n 1 n C n 1 n n   j n   n   .  (2.17) Обчислюємо  zn  PTn  xn  n A1 yn  , де Tn  z  H :  xn  n A1 xn  yn , z  yn   0 .  Обчислюємо  \f51  xn 1  zn   n A2 zn .  __________________________________________________________________ Перейдемо до доведення сильної збіжності алгоритму 2.5. Перш за все зауважимо, що процедура (2.17) вибору параметра n завжди закінчується за скінченну кількість кроків, тобто j  n    . Має місце Лема 2.16 ([48]). Для послідовностей  xn  ,  yn  та  zn  , що породжені алгоритмом 2.5, має місце нерівність zn  z  xn  z  1    xn  yn 2  2  2   1    zn  yn , 2  де z VI ( A1  C ) . Лема 2.17. Для породжених алгоритмом 2.5 послідовностей  xn  ,  yn  та  zn  має місце нерівність xn 1  z  xn  z  xn 1  zn 2  2  2   1    xn  yn  2   1    zn  yn  2     2 n  A2 z, xn1  z  .  де z VI ( A1  C ) . Має місце Лемма 2.18. Породжені алгоритмом 2.5 послідовності  xn  ,  yn  і  zn  – обмежені. Має місце наступна теорема. Теорема 2.8. Нехай виконуються умови A1) – A4). Тоді породжені алгоритмом 1.1 послідовності ( xn ) , ( y n ) та ( zn ) сильно збігаються до єдиного розв’язку задачі (2.15). Тепер розглянемо модифікацію субградієнтного екстраградієнтного алгоритму для розв’язання дворівневої варіаційної нерівності (2.15) з новим монотонним регулюванням величини кроку, яке на відміну від правила (2.17) не вимагає проведення додаткових обчислень значень оператора A1 .  \f52  __________________________________________________________________ Алгоритм 2.6. Ініціалізація. Задаємо параметри    0,1 , 1  0 , елемент x1  H і послідовність    n  0 ,   n   .  n    0,1 , таку, що lim n  n 1  Ітераційний крок. Для xn  H обчислюємо yn  PC  xn  n A1 xn  ,  zn  PTn  xn  n A1 yn  , де Tn  z  H :  xn  n A1 xn  yn , z  yn   0 .  Обчислюємо xn 1  zn   n A2 zn .  Обчислюємо  xn  yn    min n ,  , якщо A1 xn  A1 yn , n1   A x  A y  1 n 1 n    інакше. n ,  (2.18)  __________________________________________________________________ Зауваження 2.17. Послідовність   n   незростаюча та обмежена знизу    числом min 1 ,  . Отже, існує границя lim n  0 . n   L  Має місце Лема 2.19. Для послідовностей   xn  ,  yn   та   zn  ,  що породжені  алгоритмом 2.6, має місце нерівність    2 2 z n  z  xn  z   1   n  x n  y n n1    2     2   1   n  zn  y n , n1    \f53  де z VI ( A1  C ) . Лема 2.20. Для породжених алгоритмом 2.6 послідовностей  xn  ,  yn  та  zn  має місце нерівність xn 1  z  xn  z  xn 1  zn 2  2  2         1   n  xn  y n n1    2       1   n  zn  y n n1    2     2 n  A2 z, xn1  z  .  де z VI ( A1  C ) . Тепер сформулюємо один з основних результатів розділу. Теорема 2.9. Нехай виконуються умови A1) – A4). Тоді породжені алгоритмом 2.6 послідовності ( xn ) , ( y n ) та ( zn ) сильно збігаються до єдиного розв’язку дворівневої задачі (2.15). Перейдемо до розгляду варіанту модифікованого субградієнтного екстраградієнтного методу для пошуку розв’язку варіаційної нерівності на множині, що є перетином множини розв’язків заданої варіаційної нерівності та множини нерухомих точок квазінерозтягуючого оператора. Включення до множини нерухомих точок трактується як певна апріорна інформація про допустимі розв’язки внутрішньої задачі. Нехай  S:H H  – квазінерозтягуючий оператор з множиною  нерухомих точок F  S   x  H : Sx  x .  Припустимо, що оператор I  S – демізамкнений в нулі. Крім того, нехай має місце: А5) VI ( A1 , C )  F  S    . Зауваження 2.18. Нехай g : H   – опукла диференційовна функція.  Якщо множина D  x  H : g  x   0  \f54  непорожня, то її можна трактувати як множину нерухомих точок квазінерозтягуючого оператора g  x  x  g  x  , якщо x  D,  2 Sx   g  x   x, якщо x  D,   де g  x   H – похідна g в точці x  H [41]. Для демізамкненості в нулі оператора I  S достатньо обмеженості g на будь-якій обмеженій множині [3, 4]. Для розв’язання дворівневої задачі знайти x VI ( A2 VI ( A1, C)  F ( S ))  (2.19)  розглянемо наступний алгоритм, який отриманий з екстраградієнтного алгоритму роботи [48] шляхом додавання кроку класичного ітераційного методу Красносельського–Манна для квазінерозтягуючого оператора S , «градієнтного» кроку для сильно монотонного оператора A2 та монотонного правила регулювання величини n . __________________________________________________________________ Алгоритм 2.7. Ініціалізація. Задаємо параметри    0,1 , 1  0 , елемент x1  H , послідовність   n    a, b   0,1    n 1  n  і послідовність  n    0,1 , таку, що lim  n  0 , n     .  Ітераційний крок. Для xn  H обчислюємо yn  PC  xn  n A1 xn  ,  zn  PTn  xn  n A1 yn  , де  \f55  Tn  z  H :  xn  n A1 xn  yn , z  yn   0 .  Обчислюємо un   n xn  1   n  Szn .  Обчислюємо xn1  un  n A2un .  Обчислюємо   xn  y n  min n , n1   A1 xn  A1 yn   n ,    , якщо A1 xn  A1 yn ,  інакше.  __________________________________________________________________ Має місце така теорема. Теорема 2.10. Нехай виконуються умови A1) – A5). Тоді послідовності   xn  ,  yn   і  zn  , породжені алгоритмом 2.7, сильно збігаються до єдиного  розв’язку дворівневої задачі (2.19). Розглянемо тепер варіаційну нерівність на множині нулів деякого монотонного та ліпшицевого оператора A1 , які додатково є нерухомими точками заданого квазінерозтягуючого оператора T : H  H : знайти  x VI ( A2  A11 0  F (T )) .  (2.20)  Зауваження 2.19. Окремі задачі такого типу та алгоритми їх розв’язання розглядали у відомій роботі [41]. Але у згаданій роботі накладались більш сильні умови на оператор A1 . Модифікований екстраградієнтний алгоритм 2.7 для задачі (2.20) набуде такого вигляду. __________________________________________________________________ Алгоритм 2.8. Ініціалізація.  \f56  Задаємо параметри    0,1 , 1  0 , елемент x1  H , послідовність   n    a, b   0,1    n 1  n  і послідовність  n    0,1 , таку, що lim  n  0 , n     .  Ітераційний крок. Для xn  H обчислюємо yn  xn  n A1 xn , zn  xn  n A1 yn . Обчислюємо: un   n xn  1   n  Tzn .  xn1  un  n A2un .   xn  y n min  n , n1   A1 xn  A1 yn   n ,    , якщо A1 xn  A1 yn ,  інакше.  __________________________________________________________________ Частковим випадком теореми 2.10 є наступний результат. Теорема 2.11. Нехай оператор A1 : H  H –– монотонний та L1 – ліпшицевий, оператор T : H  H – квазінерозтягуючий, причому оператор  I  T демізамкнений в нулі, оператор A2  H  H – l2 –сильно монотонний та L2 –ліпшицевий. Припустимо, що A11  F T    . Тоді послідовності   yn   і   zn  ,   xn  ,  породжені алгоритмом 2.8, сильно збігаються до єдиного  розв’язку дворівневої задачі (2.20).  2.4 Адаптивні алгоритми для задач про рівновагу в просторах Адамара Актуальним напрямом сучасного прикладного нелінійного аналізу є дослідження задач про рівновагу виду [50-54]: знайти x  С : F  x, y   0  y  С ,  (2.21)  \f57  де С – непорожня підмножина гільбертового простору H , F : C  C   –  функція, така, що F  x, x   0  x  С (біфункція). Класичне формулювання задачі про рівновагу вперше з’явилось в роботах Х. Нікайдо та К. Ісоди, а перші загальні алгоритми проксимального типу для розв’язання задач про рівновагу запропонував А. С. Антіпін. У вигляді (1) можна сформулювати задачі математичного програмування та багато ігрових задач. Наприклад, якщо F  x, y    Ax, y  x  , де  A : C  H , то задача (1) зводиться до  класичної варіаційної нерівності: знайти x  С :   Ax, y  x   0   y С .  (2.22)  Алгоритмам розв’язання рівноважних та близьких задач присвячено багато робіт. Зазначимо, що з появою генеруючих змагальних нейронних мереж (generative adversarial network, GAN) зацікавленість до цих алгоритмів виникла в середовищі спеціалістів з машинного навчання. Для  варіаційних  нерівностей  Г.М.  Корпелевич  запропонувала  екстраградієнтний метод [11]. Аналогу екстраградієнтного методу для задач про  рівновагу  присвячено  роботу  [55],  де  досліджено  метод  екстрапроксимального виду  yn  prox n F  xn , xn ,   xn1  prox n F  yn , xn ,  де n   0,   , prox  – проксимальний оператор функції  . У 1980 Л.Д. Попов [7] запропонував для пошуку сідлових точок опукло-угнутих функцій цікаву модифікацію методу Ерроу-Гурвіца. В статті [54] для задач про рівновагу в гільбертовому просторі був запропонований двоетапний проксимальний алгоритм виду  yn  prox n F  yn 1 , xn ,   xn1  prox n F  yn , xn ,  \f58  де n   0,   , який є адаптацією методу Л. Д. Попова до загальних задач рівноважного програмування (див. також [56]). Останнім часом виник обумовлений проблемами математичної біології та машинного навчання інтерес до побудови теорії та алгоритмів розв’язання задач математичного програмування в метричних просторах Адамара [57]. Ще однією сильною мотивацією для дослідження даних задач є можливість записати деякі неопуклі задачі у вигляді геодезично опуклих у просторі з спеціально підібраною метрикою [57, 58]. Деякі автори почали вивчати задачі про рівновагу в просторах Адамара [58-61]. У роботі [58] отримані теореми існування для задач про рівновагу на многовидах Адамара. В [59] для більш загальних задач з псевдомонотонними біфункціями в просторах Адамара отримано теореми існування, запропоновано проксимальний алгоритм та доведена його збіжність. Більш конструктивному підходу присвячено роботу [60], автори якої, відштовчуючись від результатів [55], запропонували для псевдомонотонних задач про рівновагу в просторах Адамара аналог екстраградієнтного методу. А в роботі [61] досліджено аналог двоетапного проксимального алгоритму [54]. В даній роботі пропонуються нові адаптивні двоетапні проксимальні алгоритми для розв’язання задач про рівновагу в метричних просторах Адамара. На відміну від правил вибору величини кроку, що застосовувалися раніше, в цих алгоритмах не проводиться обчислень значень біфункції в додаткових точках та не потрібно знання інформації про величину ліпшицевих  констант  біфункції.  Для  псевдомонотонних  біфункцій  ліпшицевого типу, слабко напівнеперервних зверху по першій змінній, опуклих та напівнеперервних знизу по другій змінній, доведено теореми про слабку збіжність породжених алгоритмами послідовностей. Результати було вперше представлено на 9-ї Міжнародної наукової конференції «Сучасні проблеми математичного моделювання, прогнозування та оптимізації» (Кам’янець-Подільський, 14-15 травня 2020 року) [62].  \f59  Наведемо декілька фундаментальних понять та фактів, що пов’язані з метричними просторами Адамара. З деталями можна ознайомитись в книзі [57]. Нехай   X ,d   метричний простір та x , y  X . Геодезичним шляхом,  що з’єднує точки x та y , називають ізометрію  : 0, d  x, y   X , таку, що    0   x ,   d  x, y    y . Множину   0, d  x, y    X позначають  x, y  та називають геодезичним сегментом з кінцями  y  x,  (геодезичною).  Метричний простір  X , d  називають геодезичним простором, якщо довільні дві точки X можна з’єднати геодезичною, та однозначно геодезичним простором, якщо для довільних двох точок X існує єдина геодезична, що їх з’єднує. Геодезичний простір  X , d  називають CAT  0  простором, якщо для довільної трійки 1 2  y0 ,  y1 ,  y2  X , таких, що  d 2  y1 , y0   d 2  y2 , y0    d 2  y1 , y2  , виконується нерівність  d 2  x, y0    1 2 1 1 d  x, y1   d 2  x, y2   d 2  y1 , y2  2 2 4  x  X .  (2.23)  Нерівність (2.23) називають CN нерівністю [57] (в евклідовому просторі (2.23) перетворюється на тотожність), а точку y0 – серединою між точками y1 та y2 (вона завжди існує в геодезичному просторі). Відомо, що CAT  0   простір є однозначно геодезичним [57]. Прикладами CAT  0  просторів є евклідові простори,  -дерева, многовиди Адамара (повні зв’язні ріманові  многовиди недодатньої кривизни) та гільбертова куля з гіперболічною метрикою [57]. Для двох точок x і y CAT  0  простору позначати  tx  1  t  y  d  z, x   1  t  d  x, y  ,  таку  єдину  точку  d  z, y   td  x, y  .   X ,d  z  та t  0,1 будемо  сегмента  Множину  CX   x, y  ,  що  називають  \f60  опуклою (геодезично опуклою) якщо для всіх x , y  C і t  0,1 виконується tx  1  t  y  C .  Повний CAT  0  простір називають простором Адамара. Нехай  X , d  – метричний простір та  xn  – обмежена послідовність елементів X . Нехай r  x,  xn    lim d  x, xn  . Число r   xn    inf xX r  x,  xn   n  називають  асимптотичним    радіусом    A   xn    x  X : r  x,  xn    r   xn    –   xn  ,  асимптотичним  а  множину   xn  .  центром  Відомо, що в просторі Адамара A   xn   складається з однієї точки [57]. Послідовність   xn   елементів простору Адамара   X ,d   слабко  збігається (або, як іноді говорять,  -збігається [57]) до точки x  X , якщо     x  A xnk  для довільної підпослідовності  x  . nk  Відомо, що довільна  послідовність елементів обмеженої, замкненої та опуклої підмножини K простору Адамара має підпослідовність, що слабко збігається до елемента з  K [57]. Нехай   X ,d   простір Адамара. Функцію  :X        називають опуклою (геодезично опуклою), якщо для всіх x , y  X і t  0,1 виконується   tx  1  t  y   t  x   1  t    y  . Наприклад, в просторі Адамара функції y  d  y , x  опуклі. Якщо ж існує така константа   0 , що  для всіх x , y  X і t  0,1 виконується    tx  1  t  y   t  x   1  t   y   t 1  t  d 2  x, y  , то функцію  називають сильно опуклою. Відомо, що для опуклих функцій напівнеперервність знизу та слабка напівнеперервність знизу еквівалентні [57, p. 64], а сильно опукла напівнеперервна знизу функція досягає минимуму в єдиній точці. Для опуклої, власної та напівнеперервної знизу  \f61  функції  : X       проксимальний оператор визначається таким  чином [57] prox x  arg min yX   y     d 2  y, x   .  Оскільки функції     d 2 , x  сильно опуклі, то означення проксимального оператора коректне, тобто для кожного x  X  існує єдиний елемент  prox x  X .  Нехай  X , d  – простір Адамара. Для непорожньої опуклої замкненої множини С  X та біфункції F : C  C   розглянемо задачу про рівновагу:  знайти x  С : F  x, y   0  y  С .  (2.24)  Припустимо, що виконані умови: 1) F  x, x   0 для всіх x  С ; 2) функції F  x,  : C   опуклі та напівнеперервні знизу для всіх x  C ;  3) функції F , y  : C   слабко напівнеперервні зверху для всіх y  C ;  4) біфункція F : C  C   псевдомонотонна, тобто  для всіх x , y  C з F  x, y   0 випливає F  y , x   0 . 5) біфункція F : C  C   ліпшицевого типу, тобто існують дві константи  a  0 , b  0 , такі, що  F  x, y   F  x, z   F  z, y   ad 2  x, z   bd 2  z, y   x, y, z  C .  (2.25)  Зауважимо, що умова 5) типу ліпшицевості в евклідовому просторі введена G. Mastroeni [52]. Розглянемо дуальну задачу про рівновагу: знайти x  С : F  y , x   0  y  С .  (2.26)  Множини розв’язків задач (2.24) та (2.26) позначимо S та S * . При виконанні умов 1)–4) маємо S  S * [29]. Крім того, множина S * опукла та замкнена. Далі будемо припускати, що S   .  \f62  У недавній статті [61] для задачі (2.24) був запропонований такий алгоритм        yn  prox  F  y , xn  arg min yC F  yn1 , y   21 d 2  y , xn  , n  n n 1  2 1   xn1  prox n F  yn , xn  arg min yC F  yn , y   2 n d  y , xn  ,    (2.27)      де n  0 задавались виходячи з вимоги inf n n ,sup n n   0, 2 2 a1b  . Тобто, явно використовувалась інформація про константи умови типу ліпшицевості біфункції F . Відштовхуючись від схемы (2.27) та роботи [15], побудуємо двоетапний проксимальний алгоритм з адаптивним вибором величини n . __________________________________________________________________ Алгоритм 2.9. Ініціалізація. Обираємо x1 , y0  C ,    0, 13  , 1   0,   . Покладемо n  1. Крок 1.  Обчислюємо          yn  prox n F  yn1 , xn  arg min yC F  yn1 , y   21n d 2  y, xn  .  Крок 2.  Обчислюємо xn1  prox n F  yn , xn  arg min yC F  yn , y   21n d 2  y, xn  .  Якщо xn1  xn  yn , то зупинити, xn  S . Інакше перейти на крок 3. Крок 3.  Обчислюємо  якщо F  yn1 , xn1   F  yn1 , yn   F  yn , xn 1   0, n ,     n1   d 2  yn1 , yn   d 2  xn 1 , yn  min  ,   , інакше. n  2 F y , x  F y , y  F y , x         n  1 n  1 n  1 n n n  1     Покласти n : n  1 та перейти на крок 1. __________________________________________________________________ На кожній ітерації алгоритму 2.9 маємо розв’язати дві задачі мінімізації з  сильно опуклими функціями. Припустимо можливість зробити це  \f63  ефективно. Параметр n 1 залежить лише від розташування точок y n 1 , yn , xn 1 , значень F  yn 1 , xn 1  , F  yn1 , yn  та F  yn , xn1  . Ніяка інформація про  константи a та b з нерівності (2.25) не використовується. Ясно, що послідовність   n        min 1 , . 2 max a , b        неспадна. Також вона обмежена знизу числом Для  послідовностей   xn  ,   yn  ,  породжених  алгоритмом 2.9, має місце нерівність F  yn , xn 1   F  yn , y    1 d 2  y , xn   d 2  xn , xn 1   d 2  xn 1 , y   y  С .(2.28)  2n  Нерівність (2.28) дає обґрунтування правила зупинки. Дійсно, якщо xn1  xn  yn , то з (2.28) випливає  F  yn , y   0  Крім  алгоритму  2.9,  розглянено  y  С , тобто, xn  yn  S . ще  адаптивний  варіант  екстрапроксимального алгоритму [60]. __________________________________________________________________ Алгоритм 2.10. Ініціалізація. Обираємо x1  С ,    0,1 , 1   0,   . Покладемо n  1. Крок 1.  Обчислюємо      yn  prox n F  xn , xn  arg min yC F  xn , y   21n d 2  y, xn  .  Якщо xn  yn , то зупинити та xn  S . Інакше перейти на крок 2. Крок 2.  Обчислюємо      xn1  prox n F  yn , xn  arg min yC F  yn , y   21n d 2  y, xn  .  Крок 3.  Обчислюємо  якщо F  xn , xn 1   F  xn , yn   F  yn , xn 1   0, n ,     n1   d 2  xn , yn   d 2  xn1 , yn  min  ,  n  , інакше.  2 F x , x  F x , y  F y , x         n n 1 n n n n 1     Покласти n : n  1 та перейти на крок 1.  \f64  __________________________________________________________________ Для варіаційних нерівностей (2.22) в гільбертовому просторі алгоритм 2.10 приймає такий вигляд. __________________________________________________________________ Алгоритм 2.11. Ініціалізація. Обираємо x1  С ,    0,1 , 1   0,   . Покласти n  1. Крок 1.  Обчислюємо yn  PC  xn  n Axn  . Якщо xn  yn , то зупинити та xn – розв’язок. Інакше на крок 2.  Крок 2.  Обчислюємо xn 1  PC  xn  n Ayn  .  Крок 3.  Обчислюємо якщо  Axn  Ayn , xn 1  yn   0, n ,    xn  yn 2  xn 1  yn 2  n1    min n , 2 Ax  Ay , x  y  , інакше.  n n n 1 n      Покласти n : n  1 та перейти на крок 1. __________________________________________________________________ Сформулюємо отримані для описаних алгоритмів основні результати. Лема 2.21. Для послідовностей  xn  ,  yn  , породжених алгоритмом 2.9, має місце нерівність    d 2  xn1 , z   d 2  xn , z    1   n  d 2  xn1 , yn   n1         1  2 n  d 2  yn , xn   2 n d 2  xn , yn1  , n1  n1   де z  S . Теорема 2. . Нехай   X ,d   – простір Адамара, C  X – непорожня  опукла замкнена множина, для біфункції F : C  C   виконані умови 1 – 5  та S   . Тоді породжені алгоритмом 2.9 послідовності  xn  ,   yn   слабко  \f65  збіжні  до  розв’язку  zS  задачі  про  рівновагу  (2.24),  причому  lim d  yn , xn   lim d  yn , xn1   0 . n  n  Аналогічна теорема має місце і для екстрапроксимального алгоритму 2.10. Її доведення ґрунтується на настуний оцінці. Лема 2.22. Для послідовностей   xn  ,  yn  ,  породжених алгоритмом  2.10, має місце нерівність       d 2  xn1 , z   d 2  xn , z    1   n  d 2  xn1 , yn    1   n  d 2  yn , xn  , n1  n1     де z  S . Для варіаційних нерівностей має місце такий результат. Теорема 2.13. Нехай H – гільбертовий простір, C  X – непорожня опукла  замкнена  множина,  оператор  A: C  H  псевдомонотонний,  ліпшицевий, секвенційно слабко неперервний та існують розв’язки (2.22). Тоді породжені алгоритмом 2.11 послідовності  xn  ,  yn  слабко збігаються до розв’язку (2.22), причому lim yn  xn  lim yn  xn1  0 . n  n  \f66  3 НОВІ АЛГОРИТМИ ДЛЯ МОДЕЛЮВАННЯ Й ОПТИМІЗАЦІЇ МАСОПЕРЕНОСУ В ПОРИСТОМУ СЕРЕДОВИЩІ З ТОЧКОВИМ ДЖЕРЕЛОМ  3.1 Постановка задачі Розглянемо  двовимірну  задачу  зволоження  обмеженої  області  пористого середовища з відомими початковими умовами, фіксованою вологістю на нижній межі й заданою цільовою вологістю в кінцевий момент часу. Рівняння, що описує процес, має вигляд:    H    H    K x ( )   K y ( )   t x  x  y  y  N    Q j (t ) ( x  x j )   ( y  y j )  I (, x, y , t ),  (3.1)  j 1  ( x, y, t )  (0, T ),   x0 = 0;  x  L = 0;  (3.2)  1    y 0  = 0;   y  L2  = 0;  ( x, y,0) = 0, ( x, y ) . Тут I означає інтенсивність поглинання вологи коріннями рослин,  H = ()  y – напір, D y ( ) = K y ( )  d – коефіцієнт дифузивності уздовж d  осі y, 0 = ( x, y ) : 0 < x  L1 , 0  y < L2  , y = y0 – рівень поверхні ґрунту (вісь  Oy спрямована знизу нагору). Будемо припускати, що, K x ( ) = k1k ( ), K y ( ) = k2 k ( ) , де k1 , k2 – коефіцієнти фільтрації уздовж осей Ox, Oy , k () – вологопровідність ґрунту. Для простоти покладемо k1 = k2 , L1  L2  1 . Для того щоб виконати перехід до  \f67  безрозмірного  лінійного  рівняння,  наслідуючи  Д.Ф. Шульгіну  й  С.М. Новосільському [96], уведемо наступні змінні:   Dy   22 k2 ,  2 = 0,5 , 1 = 2 ,  = T k1  1  =  L1  x,  =  2  y ,  =  t.  L2  де  D y  – середнє значення D y . Застосуємо перетворення Кірхгофа [96]:   4 k  = * 1  Dy ( )d  , Q k2  2 0  де Q* – масштабний множник і припустимо, що виконуються наступні умови: залежність  Dy1 ( )  dK y ( )  f ( ,  , ) =  ()  між  d  і  K y ( )  є  лінійною,  тобто  = = const ;  4 k1      I  , , ; k2  23Q*  1  2     k2  2Q * 1  = t 4 k1 D y ( ) t  k2  23Q *  . 4 k1   Уведемо наступні позначення: q j =  Qj Q*  , ,  – безрозмірні аналоги  областей  0 ,  0 , де а  0 — межа області  0 . У такому випадку початково-крайову задачу (3.1), (3.2) можна звести до виду:    2   2    2  2 2      N  4 q j ( ) (   j )   (   j ), ( ,  , )  (0,1], j =1  (3.3)  \f68      0  = 0;    0   1  = 0;    1  = 0;  = 0; ( ,  , )   [0,1] ,  (3.4)  ( ,  ,0) = 0,( ,  ) . Позначимо rj , j  1, N , – координати джерел потужності q j   . Цільові значення вологості  m   інтерпретуються як усереднення   ,  ,  в околі   m заданих точок (m ,  m ) , m  1, M . Слід знайти функції q j   , j  1, N , що мінімізують квадратичне відхилення   m ,  m ,  від  m   у нормі L2  0,1 . Нехай оптимальне керування належить гільбертовому простору   L  0,1  2  N  зі скалярним добутком N 1  X , Y    x j   y j   dt , j 1 0  функціонал, що згладжує, запишемо як  2    2 J  Q       m     g m  ,     ,  ,  d   d   Q , m 1 0    M 1  де  Q     q1   ,..., qN    вектор керування, T  gm  x    (3.5)    m  diamm  – ядро  усереднення в області  m , m – індикаторна функція,   0 – параметр регуляризації. Оптимальне керування мінімізує функціонал J  Q*    min N J  Q  .  q L2  0,1   (3.6)  \f69  3.2 Коректність моделі Перетворене  рівняння  Річардса-Клюта  є  частковим  випадком  диференціального рівняння конвективної дифузії, тому розглянемо загальну задачу Lu   u  u u  A B  Cu  f , t x x x  u t 0  0, u |x 0   A  (3.7)  u  Bu |x  L  0, x  (3.8)  яка вивчається в області Q  0, T   0, L . Коефіцієнти A, B, C залежать від t , x і припускаються позитивними в області Q функціями, до того ж Bx  0. Імпульсні джерела моделюються дельта-функціями Дірака n  f  t , x; h      t  ti  hi  x . i 1  Керуванням h є моменти дії на систему t   t1 ,..., tN  та інтенсивності цієї дії   1 ,..., N  і належить до множини допустимих керувань  U  R N 0, T   LN2 0, L з простору керувань H  R N  LN2 . Будемо шукати мінімум функціонала J  h     u  t , x ; h   , h U ,  (3.9)  де u  t , x; h  — розв’язок задачі (3.7), (3.8). Введемо наступні позначення: L2  Q  – простір вимірних інтегровних з квадратом в області Q функцій,  L2  ,,    – відповідно норма і скалярний  добуток у ньому, Wгр Q  – поповнення гладких в Q  функцій, що  задовольняють умови (2), за нормою 1\/2  uW  гр    u  2  u  2           u 2 dQ  .   t   x   Q   (3.10)  \f70  Також будемо вивчати спряжену до (3.7), (3.8) задачу Lv   v  v v  A  B   Bx  C  v  g , t x x x  v   0;  t T  v  x 0  A  (3.11)  v  B v x  L  0. x  (3. )  Через Wгр Q  позначимо поповнення за нормою (3.10) гладких в Q функцій, що задовольняють умови (3. ). Wгр Q  , Wгр Q  – відповіднi негативні простори, побудовані за Wгр Q  , Wгр Q  та L2  Q  відповідно. У задачах імпульсної оптимізації праві частини рівнянь (3.7), (3.11) належать до відповідних негативних просторів, а отже, необхідно ввести поняття узагальнених розв’язків цих рівнянь. Означення 3.1. Нехай існує послідовність гладких в Q функцій      ui  t, x  Wгр Q  vi  t , x  Wгр  Q  таких, що ui  u   0,  Wгр i   Lui  f   0,  vi  v W  0, Lvi  g гр  i    W   i  гр  Wгр   0  .   i   Тоді u  t , x  є узагальненим розв’язком задачі (3.7), (3.8) ( v  t , x  — задачі (3.11), (3. ) відповідно). Означення 3.2. Нехай існує послідовність гладких в Q функцій      ui  t, x  Wгр Q  , vi  t , x  Wгр  Q  , i  1, 2,... таких, що ui  u   0, Lui  f  L2 i    0,  W   i  гр   v v i   0,  L2 i   Lvi  g    0 .  Wгр i   Тоді u  t , x  є узагальненим розв’язком задачі (3.7), (3.8) ( v  t , x  — задачі (3.11), (3. ) відповідно). Мають місце наступні твердження. Теорема 3.1. Для довільної функції f  t , x   L2 Q  ,  g  t , x   L2 Q   існує єдиний узагальнений розв’язок (3.7), (3.8) ((3.11), (3. ) відповідно) у розумінні означення 3.1.  \f71   g  t, x  W Q    Теорема 3.2. Для функції f  t , x  Wгр Q    гр  існує  єдиний узагальнений розв’язок задачі (3.6), (3.7) ((3.11), (3. ) відповідно) у розумінні означення 3.2. Доведення теорем базується на наступній лемі. Лема 3.1. Для довільних функцій u  t , x  Wгр Q  , v  t , x  Wгр Q  мають місце апріорні оцінки u v  L2   C1 Lu W   C2 u W ,  (3.13)  L2   C1 Lv  (3.14)  гр   Wгр  гр   C2 v  Wгр   ,  де C1 , C2 – додатні константи. Нерівності (3.13), (3.14) доводяться спочатку для гладких в Q функцій u  t , x  , v  t , x  , що задовольняють умови (3.2) та (3.5) відповідно. Далі  граничним переходом отримується справедливість тверджень для довільних функцій з Wгр Q  та Wгр Q  . При доведенні використовується операція інтегрування за частинами, формула Остроградського-Гауса, крайові умови (3.8), (3.11) та нерівність Коші-Буняковського. Для доведення лівої нерівності в (3.13) введемо для гладких функцій u  t , x  Wгр Q  допоміжний інтегральний оператор t  v  t , x     e  N u  , x  d ,  (3.15)  T  Має місце співвідношення u  t , x   e Nt кожен доданок у виразі  v, Lu  , де  v  t , x  . Оцінимо окремо t   ,  — скалярний добуток в   u  Nt  v   v,    e   dQ.  t  Q  t   L2 Q  .  2  (3.16)  \f72  Тут використано операцію інтегрування за частинами та початкові умови для функцій u  t , x  і v  t , x  .   u  v  2v   u    v, A      v  A  dQ    A  e Nt  dQ.  x  x  x  x  x  x  t     Q Q  (3.17)  Проінтегруємо другий доданок у співвідношенні (3.17) за частинами. Отримаємо   u    v v   2v v   u    v, A      v  A  dQ     A  e Nt  dQ    A  e Nt  dQ  x  x  t  x x  xt x  x x  Q Q Q  v    e ( At  N  A)   dQ.  x  Q 2  Nt  (3.18)  Із співвідношення (3.18), враховуючи граничні умови на функцію  v(t, x), маємо  u  1   u   v    v, A      v  A  dQ   e Nt  At  N  A   dQ. x  2Q  x x  Q x   x  2  (3.19)  Розглянемо третій доданок у виразі (v, Lu) u   v  Nt v Nt v  v, B    (v  B  u)dQ    B  e  dQ   v  Bx  e  dQ. (3.20) x  Q x x t t  Q Q  Проінтегруємо третій доданок у правій частині (3.20) за частинами. Враховуючи граничні умови на функцію v(t, x), отримаємо   v B Q  x   e Nt   v 1 dQ    e Nt ( Bxt  N  Bx )v 2 dQ. t 2Q  (3.21)  Підставляючи співвідношення (3.15) в (3.14), матимемо нерівність u   1 Nt  Nt v v v , B  ( v  Bu ) dQ  B  e  dQ  e ( Bxt  N  Bx )v 2dQ. (3.22)      x  Q x x t 2Q  Q  Так само вчинимо з останнім доданком у (v, Lu)  \f73  ( v, Сu )   v  C  e Nt  Q  v  v dQ    (C  e Nt  v 2 )dQ    C  e Nt  vdQ  t t t Q Q  1   e (Ct  N  C )  v dQ   e Nt (Ct  N  C )v 2 dQ. 2Q Q Nt  (3.23)  2  Складаючи співвідношення (3.10), (3.13), (3.16) та (3.17), отримаємо нерівність 2 2     u 1   v  Nt  v  (v, Lu )   v    A   B  u  dQ   e    ( At  N  A)    x   x   x   t  2 Q Q  B  v v 1    (  Bxt  N  Bx  Ct  NC )v 2  dQ. x t 2   (3.24)  Перший доданок справа в (3.24) дорівнює нулю внаслідок виконання для функції v(t, x) граничних умов. Використовуючи критерій Сільвестра додатньої визначеності квадратичних форм, отримаємо справедливість нерівності  (v, Lu)   || v ||2w  ,   0.  (3.25)  гр  З  нерівності  (3.25),  враховуючи  інтегральну  нерівність  Коші-  Буняковського і співвідношення між v(t, x) та u(t, x), отримаємо ліву оцінку в (3.11). Доведемо справедливість лівої оцінки в (3.13). Введемо допоміжну t  функцію u(t, x) наступним чином u(t , x )    e N v ( , x )d , де v(t, x) – гладка 0  функція з Wгр1  (Q ). Має місце співвідношення v (t , x )  e  Nt  u . Розглянемо t  окремо кожен доданок у виразі v  v  v  (u, L*v )   u    A  B  ( Bx  C )v dQ. x  t x x  Q  Інтегруючи по частинам і враховуючи початкові умови, маємо  (3.26)  \f74   v   Nt  u  u ,  e      dQ.  t  Q  t  2  (3.27)  Проінтегруємо за частинами другий доданок справа в (3.26). Отримаємо   v  u  2u   v   Nt dQ.  u, A     u  A   dQ   e  A   x   x  x  t  x x  Q x  Q  Враховуючи початкові умови для функції u(t, x), , звідки маємо   v  1  Nt   v   u   u, A     u  A   dQ   e (  At  N  A)   dQ. x  2Q  x x  Q x   x  2  (3.28)  Аналогічно дослідимо третій доданок в (3.26). v   u u u   Nt  Nt u , B  ( u  B  v ) dQ  e  B  dQ  e  B  u  dQ  x   Q Q x  Q x t x t   u u  (u  B  v )dQ   e  Nt  B   dQ   (e  Nt  Bx  u 2 )dQ  x x t t Q Q Q    e Q   Nt  u  Bx  u  dQ   e  Nt (  Bxt  N  Bx )u 2 dQ. t Q  (3.29)  Враховуючи граничні умови для функції u(t, x) з (3.29) маємо  Nt v   u u  u , B  u  B  v dQ  e  B   dQ        x  Q x x t  Q  1   e  Nt   Bxt  N  Bx   u 2 dQ. 2Q  (3.30)  Вивчимо останній доданок в правій частині (3.26). (u,( Bx  C )v )    e  Nt  u  ( Bx  C )  Q  u dQ  t   u    [u  ( Bx  C )  e  Nt  u ]dQ   e  Nt ( Bx  C )  u  dQ  t t Q Q  (3.31)  \f75    e  Nt   Bxt  Ct  N ( Bx  C ) u 2 dQ  Q  1  Nt e  Bxt  Ct  N ( Bx  C )  u 2 dQ.  2Q  Складемо співвідношення (3.21) – (3.24), отримаємо нерівність 2   u u  Nt  u  (u, L v )   u   Av x  Bv   dQ   e    B    x  t  t  x    Q Q *  (3.32)  1 u 1   At  N  A     Ct  NC   u 2  dQ. 2  x  2  2  З (3.32), враховуючи граничні умови для функції u(t, x) і критерій Сільвестра, матимемо нерівність  u, L v    || u || *  2 w1гр  ,   0,  (3.33)  звідки випливає виконання лівої нерівності в (3.7). Остаточно справедливість твердження леми 3.1 для будь-яких функцій u(t , x ) Wгр1 (Q ), v Wгр1  (Q ) отримується застосуванням операції граничного  переходу. Теорема 3.3. Нехай математична модель визначається системою (3.7), (3.8) з критерієм якості (3.9) і виконуються наступні умови: 1. Множина  обмеження  керувань  U  є  слабко  компактною  в  рефлексивному банаховому просторі H . 2. Критерій якості   : L2 Q   R1 слабко напівнеперевний знизу та обмежений знизу. Тоді в множині U існує оптимальне керування h   t * ,  *  . Доведення. Нехай h k , h k U , k  1,2,... – послідовність керування така, що J  h k    inf J  h  . k  hU g  (3.34)  Із слабкої компактності множини U випливає, що з неї можна вилучити слабко збіжну до деякого керування h  U послідовність, яку ми знову  \f76  позначимо як h k , k  1,2,... . Цій послідовності відповідає послідовність правих частин рівняння стану системи f k  t , x   f  t , x; h k      t  tik   ik  x  . n  (3.35)  i 1  Використовуючи нерівність Шварца, легко довести, що послідовність f k  t, x  Wгр1 Q  , k  1,2,... і слабко збігається до f*  t , x   f  t , x;h  .  З оцінок (3.7), (3.8) випливає справедливість нерівності u  L2  C f  W   .  (3.36)  гр  Із співвідношення (3.30) випливає обмеженість послідовності розв’язків uk  t , x   u  t , x; h k  , k  1,2,... задачі (3.1), (3.2) з правими частинами  f k  t, x  . З теореми Еберлейна-Шмул’яна випливає, що з цієї послідовності можна вилучити слабко збіжну до деякого u*  t , x   L2 Q  підпослідовність. Перепозначимо її знову через uk  t , x  , k  1,2,... . Враховуючи, що f k ( t , x ) слабко збігається до f  t , x  в Wгр1 Q  , перейдемо до границі при k   в рівності   L v, u     k  fk , v ,  (3.37)  де v  t , x  – довільна функція з Wгр1  Q  , а  ,   – білінійна форма, побудована за просторами Wгр1  Q  і Wгр1 Q  як розширення скалярного добутку в L2 Q  . Отримаємо співвідношення   L v, u       f , v ,  v Wгр1  Q  .  (3.38)  Відмітимо, що в силу єдиності узагальненого розв’язку задачі (3.6), (3.7) (теорема 3.2) вся послідовність uk , k  1,2,... слабко збігається в L2  Q  до u  u  t , x; h  , що є розв’язком задачі (3.6), (3.7) з правою частиною  \f77  f      t  ti* i  x  . n  i 1  Внаслідок умови 2 теореми 3.3 маємо J  h *   lim J  h k   inf J  h  , що і hU g  k   доводить теорему. Оскільки критерій якості J  h  не є опуклим, оптимальне керування може бути не єдиним. Нехай критерій якості J  h  має вигляд  J  h    u  t , x; h   z g  dQ , zg  L2 Q  . 2  (3.39)  Q  Тоді з наведених вище результатів випливає справедливість наступного твердження. Теорема 3.4 . Градієнт критерію якості (2. ) має вигляд n   L v   n    grad  h     dx  ,v  ti , x i 1  ,  t   t t1  i 1 0   (3.40)  де v  t , x  Wгр  (Q ) – розв’язок задачі (3.11), (3. ) з правою частиною g  t , x   2 u  t, x; h   z g  t, x  .  Відмітимо, що гладкості розв’язків задачі (3.11), (3. ) може не вистачити для практичного визначення градієнта (3.40). В цьому випадку можна використати один з методів регуляризації задачі (3.6), (3.7). Аналогічно досліджується задача точкового керування системою (3.6), n  (3.7), де права частина рівняння (3.6) має вигляд f  t , x; h      x  xi  hi  t . i 1  \f78  3.3 Алгоритм Розв'яжемо початково-крайову задачу (3.9), (3.10) за допомогою ітераційного алгоритму, що полягає із трьох етапів. 1) Розв’язання прямої задачі: L   k  N k  2 k  2 k k    2  4  q j ( ) (   j )   (   j );    2  2  j =1  0    1; k (0)  0; 2) Розв’язання спряженої задачі:  L *  k    k  2  k  2  k  k    2  2  k   ( )  ; 0    1,  ( k ) (1) = 0; 2 2      3) Обчислення нового значення інтенсивності джерел: Q ( k 1)  Q ( k )   k 1    ( k )   Q ( k ) = 0, k = 0,1, .  Для розв’язання прямої задачі побудуємо неявну різницеву схему для рівняння (3.7), виконавши розбиття 0   ,   1 із кроком h  кроками    1 і часовими 30  1 для 0    1 . 100  Запишемо систему рівнянь для прямої задачі за допомогою інтегроінтерполяційного методу.  ( ,  )  1 ( )   2 ( )      1 1     ( ,  )  1 ( )   2 ( )    h h   З урахуванням граничних умов, одержуємо  0,   0  1 ( ) =   , 0    1,   0,   1         2 ( ) =           0,   0  2ˆ , 0    1. 0,   1  \f79  Через  ŷ  позначається центральна різницева похідна. Згідно із  граничними умовами 1 ( )   2 ( )  0. Для розв’язання системи лінійних алгебраїчних рівнянь використовувався метод Якобі. Також для порівняння використовувалася явна схема для прямої та спряженої задач. На третьому етапі точність обчислень залежить від параметра регуляризації. При його виборі враховувалася просторова й часова похибки обчислень O (h 2 ) й O( ) відповідно, а також порядок величин, отриманих у прямій і сполученій задачі. При виборі занадто великого параметра регуляризації кінцевий результат не досягав потрібної точності, тому що значення сполученої задачі, що коректують його в правильному напрямку, перекривалися параметром регуляризації, заважаючи збіжності. Для забезпечення завершення обчислень і досягнення точності, у якості умови зупинки алгоритму було обрано три альтернативи: 1.  Середнє значення модуля різниці між поточними й попередніми  значеннями  не перевищило 107 (зупинка по точності); 2.  Кількість ітерацій не перевищила певну константу (бралися  значення 1000, 2000) – забезпечення кінцівки кількості ітерацій; 3.  Обмеження потужності джерела – використовувалося для  визначення кількості ітерацій, достатніх для визначення кількості ітерацій, достатнього для одержання певної потужності, не використовується при глобальній оптимізації.  3.4 Результати Цільову функцію вологості задамо як результат моделювання безрозмірної задачі при потужності, рівній 10. Ітераційний пошук починаємо з нульової потужності. Розглянемо різні розташування джерела щодо області  \f80  — поблизу кута, посередині недалеко від верхньої межі, посередині недалеко від лівої бічної межі, у центрі області. Відповідні функції мають вигляд: 7 7   4 q,   ,   ;  ( ,  ) =  30 30  0, інакше,  7   4 q,   0,5,   ;  ( ,  ) =  30  0, інакше,  7  4 q,   ,   0,5;  ( ,  ) =  30  0, інакше,   ( ,  ) =   4 q,   0,5,   0,5; інакше.  0,  Максимальне відхилення отриманої потужності від бажаної склало менше 2%. при параметрі регуляризації, рівному 107 . Значення, отримані при розв’язанні сполученої задачі при потужності 9,8 мали порядок 106 . Враховуючи похибку обчислень при даних кроках за часом і простору, обраний параметр регуляризації дозволяє досягти високої точності на етапі уточнення потужності, при цьому забезпечує збіжність. Розподіл  при знайденій потужності, а також порівняння із цільовою функцією показане на графіках. На графіках з вертикальною просторовою координатою виконується одномірний зріз через джерело. У першому випадку розташування, залежність   від глибини  демонструє рис. 3.1, також наведені відповідні ізолінії (рис. 3.2). Якщо точкове джерело розташоване в (0,5,  7 ), залежність показана на рис. 3.3 і 30  ізолінії наведені нижче (рис. 3.4). Для джерела посередині лівої бічної межі ( 7 , 0,5), зріз також виконаний через джерело (рис. 3.5) і ізолінії наведені 30  відповідно (рис. 3.6). Для центральної точки області (0,5, 0,5), зріз виконаний через центр (рис. 3.7) і ізолінії зазначені на останньому графіку (рис. 3.8). Варто відзначити, що для перевірки як початкового значення було взято також значення потужності, що перевищує необхідне. У цьому випадку ітераційний процес також збігся до розв’язку. Твердження про велику  \f81  необхідну кількість ітерацій для поставленої задачі з нульовими граничними умовами підтвердилося. Також для порівняння був проведений тест для критерію якості, заснованому лише на кінцевому моменті часу замість усього часового проміжку. Оптимальна потужність була знайдена за меншу кількість ітерацій, відхилення від розв’язку склало також менше 2%. Таким чином, запропонований метод показав високу точність визначення оптимальної потужності джерела для декількох варіантів його розташування.  При  цьому  важливо  правильно  підібрати  параметр  регуляризации й погодити праву частину спряженого рівняння із критерієм якості.  Рис. 3.1. Кутове джерело (зріз).  \f82  Рис. 3.2. Кутове джерело (ізолінії).  Рис. 3.3. Джерело посередині верхньої межі (зріз).  \f83  Рис. 3.4. Джерело посередині верхньої межі (ізолінії).  Рис. 3.5. Джерело посередині лівої бічної межі (зріз).  \f84  Рис. 3.6. джерело посередині лівої бічної межі (ізолінії).  Рис. 3.7. Джерело в центрі області (зріз).  \f85  Рис. 3.8. Джерело в центрі області (ізолінії).  \f86  4 АЛГОРИТМИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ЗАДАЧ ОПТИМІЗАЦІЇ РУХУ РІДИНИ У ПОРИСТОМУ СЕРЕДОВИЩІ  4.1 Постановка задачі При дослідженні математичних моделей транспортування лікарських речовин у ракових пухлинах виникає необхідність розв’язувати задачі оптимізації та керованості систем, що описуються диференціальними рівняннями в частинних похідних, де коефіцієнти та праві частини належать до різних функціональних просторів. Зокрема, такі математичні моделі фармакокінетики, транспортування та розподілу цитостатиків всередині пухлин вивчалися у роботах Baxter і Jain [97-99], Lankelma та ін. [100], Ward і King [101], Tzafriri [102] та багатьох інших. Удосконалення методів прогнозування розподілу ліків у пухлинах призвело до необхідності оптимального керування джерелами ліків з метою мінімізації щільності ракових клітин і побічних ефектів. Chakrabarty і Hanson [103], розробили модель оптимального керування концентрацією ліків та щільністю ракових клітин. Її метою була мінімізація щільності ракових клітин і пом’якшення побічних ефектів від ліків. У роботах авторів [104-106] цю модель було розширено на випадок керування точковими джерелами, імплантованими в пухлину і керованими дельта-функціями Дірака. Вивчення подібних систем доцільно здійснювати у рамках теорії оснащених просторів Гільберта та апріорних оцінок в негативних нормах. Задачі оптимізації моделей параболічного типу із зосередженими джерелами досліджувалися в роботах [107-110]. Теорія, що лежить в основі цих досліджень, викладена в роботах [111-116]. Близькі за темою дослідження були виконані А.О. Чикрієм із співавторами [117], О.М. Хімічем із співавторами [118], А.В. Гладким [119] та В.М. Булавацьким [ 0].  \f87  В багатьох галузях математичної фізики та моделювання виникають системи, що не відповідають класичним моделям математичної фізики. Прикладом є системи, які описуються рівняннями псевдопараболічного типу, що були отримані на шляху узагальнення класичних рівнянь переносу. Псевдопараболічні рівняння спочатку були отримані при дослідженні розповсюдження тепла в гетерогенному середовищі [ 1] як більш точна математична модель цього процесу. Потім з’явилися роботи, в яких ці рівняння  використовуються  при  моделюванні  фільтрації  рідини  в  неоднорідному пористому середовищі та вологопереносі в грунтах [ 2- 4]. Рівняння, якому задовольняє розподіл рідини в широких порах (тріщінах), має вигляд [ 2,  3]  0  k p   div  grad p   0 grad t t    p  0.   Для швидкості руху рідини в пористому середовищі маємо вираз (модифікований закон Д’Арсі) V    k    grad p   0   grad p . Найбільш t  важливі типи граничних умов задаються наступним чином:  p S  f  t, x  ,  k p  p   0  f  t, x  ,  n t n S   k p  p  Ap  B    0   f  t, x  ,   n  t  n  S  де n – зовнішня нормаль до поверхні S . Ці умови – прямі аналоги класичних умов Діріхле, Неймана та Ньютона. Мета роботи – розробити метод узагальненої оптимізації процесів, що описуються різними рівняннями руху рідини у пористому середовищі та довести його коректність. Розглянемо лінійне диференціальне рівняння з частинними похідними псевдопараболічного типу (типу Соболєва-Гальперна)  \f88  Lu   Au t  Bu  f  t, x  в циліндричній області Q   0, T    , де  (4.1)  u  t , x  – шукана функція, яка  залежить від часової t   0, T  та просторової x  змінних;   R n – обмежена однозв’язна область з регулярною межею  . Межа складається з трьох частин  1 ,  2 та  3 , які є кусками гладких поверхонь (їх спільні межі гладкі). Диференціальні вирази A і B мають вигляд: n    Au    aij  t , x  u x j i , j 1    n  xi     a  t , x  u , Bu    bij  t , x  u x j i , j 1    xi   b t, x  u .  Функції aij  a ji  t, x  , bij  b ji  t, x  , a  a  t , x  , b  b  t , x  визначені в замкненій області Q  [0, T ]   . Нехай aij  t , x   C 2,1 Q  , bij  t , x   C1,1 Q  , a  t, x   C 2,0 Q  , b  t, x   C1,0 Q  .  Припустимо, що для довільних  t, x   Q ,   1 , 2 ,  , n   R n мають  місце співвідношення: 1  A  n   i 1  n  2 i  n    aij  t , x  i j   A   , i , j 1  i 1  1  B  2 i  n    i , j 1  aij  t , x  t  n  n  n  i 1  i , j 1  i , j 1  i2   bij  t, x  i j    i j  0 ,  bij  t , x  t  n     2 aij  t , x   i , j 1  t 2  i j  0 ,   i j  0 ,  a  t , x    A  0 , at  t , x   0 , att  t , x   0 , b  t , x   bt  t , x   0 ,  де  A ,  B – додатні постійні, які не залежать від  t , x  та  . Введемо наступні позначення: L2  Q  – гільбертовий простір (класів) функцій, вимірних та  інтегровних з квадратом на множині Q , D  L  –  множина функцій з C  Q  (нескінченну кількість разів диференційовних на замкненій області Q ), які задовольняють умови  \f89  u  де  t 0   0, u  1   u  u      A t  B  i   0, T    i  2  ( i  1, 2,3 ),   u  u   cu       B  A t  3   0,  (4.2)  n u   aij u xi x j ,  A i , j 1    1   2   3 ,  n u   bij uxi x j – конормальні похідні,  x j  cos  , x j  – j -а компонента  B i , j 1  одиничного вектора  x   x1 , x2 ,  зовнішньої нормалі до поверхні  в точці  , xn  , c  c  t , x  – функція з класу C1,0  3  , яка задовольняє  умови:   t , x   3  c  t , x   ct  t , x   0 .  діє в просторі L2  Q  та має область визначення  Оператор L  D  L   L2 Q  . Множина D  L  щільна в просторі L2  Q  , оскільки містить  клас C0 Q  фінітних в Q функцій. Лема 4.1. Формально спряжений до L оператор має вигляд L v   Avt  Bv .  (4.3)  Областю визначення диференціального оператора L є множина D  L  функцій з C  Q  , що задовольняють граничні умови v  t T   0, v  1    vt v   A  B  2    vt v   cv  A  B  3   0.  (4.4)  Доведення. Спочатку покажемо, що, якщо для деякої функції v  C  Q    Lu, v L Q    u, L v L Q  2  для усіх u  D  L  , то v задовольняє  2  граничні умови (4.4). Згідно з (4.2) та формулами інтегрування частинами, Остроградського-Гаусса: 0   Lu, v  L Q    u, L v  2  n  L2 Q     auv   aij u x j v xi   i , j 1  t T  d     u   vt  vt  u  v  v     vd   u   d   u    cv    2   A B   3   A B d  .  1     A B   t    \f90  Візьмемо в якості u  D  L  функцію, яка додатково анулюється в околі множини  . Отримаємо розглядуваних функцій u    n    t T  auv   aij u x j v xi i , j 1  t T  d   0 . Внаслідок щільності  в W2,1 1    (простір С.Л. Соболєва, отриманий  поповненням множини функцій з C     , які задовольняють умову u за нормою u W 1    2    u 2   i 1 u x2i d  n      1  0,  t T   0.     ) та гладкості v , маємо v  Перше з співвідношень (4.1, 4.2, 4.4) встановлено. Візьмемо тепер u  D  L  , яка анулюється в околі множини  2   3 . Зважаючи на отриману для v   u   u  u u   . Вираз приймає  vd   0        1    A  B      B  A t t    рівність, знайдемо  достатньо довільні значення. Отже, v  1   0 . Візьмемо u  D  L  , що приймає  нульові значення в околі множини  3 . З щільності розглядуваних функцій u  2  в L2   2  та гладкості v , маємо   vt v   A  B  2   0 . Аналогічно  доводиться виконання останньої умови з (4.4). Для доведення залишилось показати, що, якщо u  C  Q  , v  C  Q  задовольняють,  відповідно,  граничні  умови  (4.2),  (4.4),  то   Lu, v L Q    u, L v L Q  . Маємо 2  2   Lu, v  L Q    u, L v  L Q     auv   aij ux vx n    2  2  i , j 1  j  i  t T t 0  d    u  v u v   vd    u t d    vd    u d .          A B B  A t  Звідки,  Lu, v  L Q    u, L v  2  Введені  позначення  L2 Q   дають   0 . Лема доведена.  можливість  сформулювати  граничні задачі для псевдопараболічного рівняння (4.1).  наступні  \f91  Задача 4.1. Знайти функцію u  t , x  , яка задовольняє рівняння Lu  f  t , x   (4.5)  в області Q та граничні умови (4.2). Задача 4.2. Знайти функцію v  t , x  , яка задовольняє рівняння  L v  g  t , x   (4.6)  в області Q та граничні умови (4.4). Введемо наступні позитивні простори. Нехай W  , H  – поповнення множини D  L  за нормами    u  W  n   2    ut   u x2it dQ  , u i 1  Q      H  n   2    u   u x2i dQ  , i 1  Q   відповідно;     W , H  – поповнення множини D L за тими самими нормами.  За парами L2  Q  , W  та L2  Q  , H  побудуємо негативні простори W  та H  , як поповнення простору L2  Q  за нормами  y  W   sup uW u 0   u, y  L Q     2  u W  ,  y  H   sup uH u 0   u, y  L Q     2  u  ,  H  відповідно. Аналогічно будуються негативні простори W , H  за парами L2  Q  , W та L2  Q  , H  .  Мають місце вкладення  W   H   L2 Q   H   W  , W  H   L2 Q   H   W , причому кожне вкладення щільне та оператори вкладення неперервні.  \f92  4.2 Апріорні оцінки Тут і далі через C , Ci , ci будемо позначати додатні постійні, які не залежать від елементів (чисел, функцій, функціоналів, операторів), що змінюються. Лема 4.2.     u  D  L  , v  D L  Для всіх функцій  справедливі  нерівності Lu  W  C u  W  та L v  W   C v W .  (4.7)    З нерівностей (4.7) випливає, що лінійний оператор L (відповідно, L ) можна розширити за неперервністю до лінійного, неперервно діючого з усього простору W  (відповідно, W ) у простір W (відповідно, W  ). Для розширених операторів збережемо попередні позначення та надалі, говорячи про диференціальні оператори L , L , будемо розуміти їх розширення. Для операторів L , L виконуються нерівності (4.7) (вже для u W  , v W ) та тотожність: Lu, v  W   u, L v  W  , u W  , v W , де  ,   W  , ,  W  – білінійні  форми, які побудовані розширенням за неперервністю скалярного добутку    ,   L Q  2  на W  W та W   W  відповідно.  Лема 4.3. Для всіх функцій u W  , v W мають місце нерівності u  v  H  H    С Lu   С L v  W  ,  (4.8)  .  (4.9)  W  Доведення. Спочатку доведемо нерівність (4.8). Її достатньо довести для функцій u  D  L  . Дійсно, нехай для всіх функцій з D  L  справедлива нерівність (4.8) та u W  . Тоді існує така послідовність  um  ( um  D  L  ), що  um  u W    0 . З неперервності вкладення W   H  випливає, що m  \f93  u  H   um  H   С Lu   um  u W  H   С Lum   С Lum  Lu  W  W   c1 um  u   c1 um  u  W    W  .  Зважаючи на неперервність оператора L : W   W , маємо С Lum  Lu  W   c1 um  u  W   0, m  звідки випливає нерівність (1.2.8) для u W  . Введемо допоміжний інтегральний оператор, який задається виразом v  t , x    e  u  , x d ,  u  D  L  . T  t  Відмітимо, що v W . Дійсно, початкова умова v v  1  t T   0 та крайова умова   0 виконуються за рахунок структури допоміжного оператора. Інші  умови з (4.4) знімаються при поповненні D  L  за нормою  W  . Виразивши   u  t , x  через v  t , x  , отримаємо u  t, x   et vt  t , x  .  Розглянемо   Lu, v  L Q    Q   Au t  Bu  vdQ  J 1  J 2  J 3 , де 2  J1     au t vdQ , Q  n    J 2   buvdQ , J 3     aij u x j Q  Q  i , j 1    b u  ij  xi t  xj  xi   v dQ .  Вивчимо окремо кожний з доданків J 1 , J 2 , J 3 . J 1 . Застосуємо формулу інтегрування частинами, врахуємо умови  u  0, x   v  T , x   0 і те, що vt  e  t u , a  t , x    A  0 :  J1    Q   au t vdQ   Q  auv t dQ   Q auvt dQ     auv   t T t 0  d    ae t vt2 dQ   A  vt2 dQ ; Q  Q  J 2   buvdQ    be t vvt dQ      be t  v 2  dQ  Q        Q   be v  dQ   t  Q  Q  2  t  1 2  Q  t  bt e t v 2 dQ     be t v 2 dQ  Q  \f94       bet v 2  t T t 0    d       Q   bt  b  et v 2 dQ  0 .  J 3 . Застосуємо формулу Остроградського-Гаусса та врахуємо граничні  умови v  1   u  u      A t  B   u  u   cu       B  A t  2  n    J 3     aij u x j Q  i , j 1    b u  ij  xi t  0,  3  xj   v dQ   xi  n   u  u    vd   aij ux j v xi dQ       A  B  Q i t , j 1 t        n  Q  b u ij  i , j 1  xj  v xi dQ   cuvd    3   a u n  Q  ij  i , j 1  xj    v t  xi  dQ    n  Q  b u ij  i , j 1  xj  v xi dQ .  Окремо розглянемо кожний доданок: а) оцінка першого інтеграла проводиться аналогічно оцінці J 3 , тобто    3  cuvd     cet vvt d       ce t  v 2  d   3        3   ce v  d    t  3  2  1 2  t       cet v 2  t T t 0  3  б) для  3  t  ct e t v 2 d      ce t v 2 d   3  d       ct  c  e t v 2 d   0 ;   3  обчислення другого інтеграла використаємо формулу  інтегрування частинами та умови u  0, x   v T , x   0 , отримаємо    a u n  Q  i , j 1  ij  xj  v t  xi  dQ     a u n  Q  i , j 1  ij  xj    v xi dQ   t  n  Q  a u  i , j 1  ij  xj  v xit dQ     n  Q  a u  i , j 1  ij  xj  v xit dQ ,  беручи до уваги u x j   e t v x jt та рівномірну еліптичність диференціального виразу A , маємо можливість записати:   n  Q  n   aij ux j vxit dQ   et  aij vx jt vxit dQ   A   i , j 1  Q  i , j 1  n  Q  v i 1  2 xi t  dQ ;  в) покажемо, що третій інтеграл невід’ємний, для цього використаємо формулу інтегрування частинами та врахуємо умови на коефіцієнти диференціального виразу B :  \f95 n   b u Q  ij  i , j 1  xj  v xi dQ            1 2     n  Q  i , j 1  b e v  v dQ   t  Q  i , j 1  ij    x j t xi  n  n  bij et vx j vxi dQ     et  bij vx j vxi dQ     et   n   bij e vx j vxi t    n  i , j 1  t T t 0  Q  t  d   1 2    Q  i , j 1  n  Q  e  t  i , j 1  bij  n   bij vx j vxi dQ   1 2  i , j 1    Q  e  t  t  i , j 1  bij t  vx j v xi dQ   vx j vxi dQ  0 .  Збираючи разом всі отримані нерівності, маємо n   Lu, v  L Q   C  Q vt2   v x2 t dQ  C 2  i  i 1  v  2 W  .  Застосуємо до лівої частини останньої оцінки нерівність Шварца  Lu W  v W   С v W  . 2    Скоротивши на v  W  , отримаємо v    W     С Lu  n   2 маємо v W    e 2 t  u 2   u x2i dQ  e 2T u  i 1   Q  2 H  W  . Враховуючи vt  e  t u ,  . Звідки для функцій u  D  L   отримуємо нерівність (4.8) Доведення нерівності (4.9) проводиться аналогічно. Тому наведемо його у скороченому варіанті. Введемо допоміжний оператор u  t , x    e v  , x d ,  v  D  L  . t  0  Очевидно, що u W  . Виразивши v  t , x  через u  t , x  отримаємо  v  t, x   et ut  t , x  .   u, L v    L2 Q     u   Avt  Bv dQ  S1  S 2  S3 , де Q  n    S1    avt udQ , S2   buvdQ , S3   u  aij vtx j Q  Q  Q  i , j 1    b v  xi  ij x j  xi  dQ .  S1 . Застосуємо формулу інтегрування частинами та врахуємо умови,  яким задовольняє коефіцієнт a  t , x  :  \f96  S1    avt udQ    Q  Q   avu t dQ   Q at vudQ     avut dQ    avu  t T t 0    Q    1 2    Q  d    at e  t uut dQ   ae  t ut2dQ  Q  Q  at e  t  u 2  dQ   Ae  T  ut2 dQ  t  Q   a e  1 2  Q  t  t  u 2  dQ     at e  t u 2 dQ  t  Q      att e  t u 2 dQ   Ae  T  ut2 dQ  Q  Q    1 2      at e  t u 2  t T t 0  d      at e  t u 2 dQ  Q      att e  t u 2 dQ   Ae  T  ut2 dQ   Ae  T  ut2 dQ . Q  S2   buvdQ   be  t uut dQ  Q  Q    1 2    be  t      1 2  1 2    Q  Q  be  t  u 2  dQ  t  u 2  dQ     e  t bu 2 dQ     e  t bt u 2 dQ  t  Q  Q  Q  be  t u 2    t T t 0  Q  d      e  t  b  bt  u 2 dQ  0 , Q  оскільки u  0, x   0 , b  bt  0 . n    S3   u  aij vtx j Q    i , j 1    b v  ij x j  xi    xi  n  vt v  dQ   u   d    Q  aij vtx j uxi dQ       i , j 1 B   A  n  Q   bij vx j uxi dQ   cuvd    3  i , j 1  n  Q   aij vtx j uxi dQ    i , j 1  n  Q  b v  i , j 1  ij x j  u xi dQ .  Окремо розглянемо кожний доданок. а) аналогічно тому, як це робилось з S2 , неважко показати, що   cuvd   0 ;  3  б)    n  Q  a v  i , j 1  ij tx j    u xi dQ    n      Q   aij vx j uxi  i , j 1  n  Q    i , j 1  aij t   a v n  i , j 1  t T t 0  ij x j    u xi dQ   d    vx j uxi dQ    t  n  Q    i , j 1  aij t  vx j uxi dQ   n  Q  a v  i , j 1  ij x j  uxit dQ   \f97    n  Q   aij vx j uxit dQ    i , j 1  aij  n  Q    t  i , j 1  vx j uxi dQ    n  a v  Q  ij x j  i , j 1  uxit dQ ,  беручи до уваги v  e  t ut , перший інтеграл в останній рівності можемо записати наступним чином: n    Q  aij t  i , j 1       aij  n    vx j uxi dQ   t  e ux j uxi  n  Q    aij  e  t ux jt uxi dQ   t  i , j 1  n    d       t T t 0  aij  n    e ux j uxi dQ     t   2 aij  e  t u x j u xi dQ  0  Q Q t i , j 1 t i , j 1 t тут ми врахували умову u  0, x   0 та умови, що накладені на коефіцієнти   i , j 1  2  aij  t, x  . n   a v  Для оцінки інтеграла  Q  ij x j  i , j 1  використаємо рівномірну  uxit dQ  еліптичність диференціального виразу A : n   a v Q  ij x j  i , j 1  u xit dQ    n  Q  a e  t  ij  i , j 1  u x jt u xit dQ   A   n  Q  e  t  i 1  u dQ   Ae 2 xi t  T  n   u Q  i 1  2 xi t  dQ ;  в) Покажемо, що третій доданок в S 3 невід’ємний. n   b v Q  i , j 1  ij x j    uxi dQ    Q    b e n  1 2  n  Q  i , j 1       i , j 1  t  ij  b e  t  ij    u x jt u xi dQ   ux j uxi dQ  t  n     bij et ux j uxi  i , j 1  bij   t  b   ij t  e u x j u xi dQ  Q i , j 1   n  1 2  t T t 0  d         n  Q  Збираючи отримані нерівності, маємо  u, L v  L  2   b  i , j 1  Q     ij    C u  bij   t e ux j uxi dQ  0 . t  2 W  . Застосувавши до  лівої частини нерівність Шварца і врахувавши зв’язок між u та v прийдемо до нерівності (4.9). Лема доведена. 4.3 Теореми існування  \f98  В лемах 4.2, 4.3 доведено, що справедливі нерівності c1 u  c1 v   Lu  H  H    L v  W   c2 u  W  , u W  ,  (4.10)  W   c2 v  W  , v W .  (4.11)  Означення 4.1 Узагальненим розв’язком з простору W  задачі 4.1 з правою частиною f  W називаємо таку функцію u W  , що Lu  f  0 в W .  Аналогічно визначається розв’язок з W для спряженої задачі 4.2. Теорема 4.1. Для довільної функції f  H  ( g  H  ) існує єдиний узагальнений розв’язок задачі 4.1 (задачі 4.2) з простору W  ( W ). Доведення. Проведемо доведення для задачі 4.1. Розглянемо лінійний функціонал l  v   f , v  H  на функціях v W . Знак ,  H  позначає білінійну  форму, побудовану по просторам H  та H  . Використовуючи нерівності Шварца та (4.11), отримаємо l  v    f , v  H   f  H   v  H    C L v  W  , звідки  випливає, що функціонал l  v  можна розглядати, як лінійний неперервний від  L v W   ( l  v   j  L v  ).  За  теоремою  Хана-Банаха  розширимо  функціонал j  лінійно та неперервно на весь простір W  . На підставі теореми про представлення лінійного неперервного функціоналу над негативним простором W  існує функція u W  така, що j  w   u, w  W  для  всіх w  W  . Розглянемо цей функціонал на елементах w  L v , v W . Тоді маємо j  L v   u, L v  W   f ,v  H   f ,v  W  .  \f99  Звідки Lu  f , v  W   0 ,  v W . В силу довільності v W отримаємо, що  Lu  f  0 в W . Єдиність розв’язку випливає з лівої нерівності (4.10) та вкладення W   H  . Теорема доведена. Розширимо клас узагальнених розв’язків задач 4.1 та 4.2. Означення 4.2. Узагальненим розв’язком з простору H  задачі 4.1 з правою частиною f  W називаємо таку функцію u  H  , що рівність u, L v  H   f ,v  W  ,  виконується для довільних функцій v W : L v  H  , де  H  – білінійна  форма, побудована по просторам H  , H  . Аналогічно означається розв’язок з H  для спряженої задачі 4.2. Теорема 4.2. Для довільної функції f  W ( g W  ) існує єдиний узагальнений розв’язок задачі 4.1 (задачі 4.2) з простору H  ( H  ). f  W . В  Доведення. Проведемо доведення для задачі 4.1. Нехай силу щільності f  fm  W  H   в  W  існує така послідовність  f m  H  ,  що    0 . За теоремою 4.1 для кожної функції f m  H  існує m  єдиний розв’язок um  W  задачі 4.1 у сенсі означення 4.1. Застосувавши нерівність (4.10), маємо um  u p  H   C Lum  Lu p  W   C fm  f p  W   0. m , p  Таким чином, в силу повноти простору H  , існує така функція u  H  , що u  um  H    0 . З іншого боку маємо, що для довільної функції v W : m  L v  H  виконується рівність  um , L v  H   fm , v  W  . Здійснивши граничний  перехід при m   в останній рівності, отримаємо  v W : L v  H  .  u, L v  H   f ,v  W  ,  \f100  Доведемо єдиність. Нехай u  H  – ще один узагальнений розв’язок задачі 4.1. Тоді u  u , L v  H   0 ,  v W : L v  H  . З теореми 4.1 випливає,  що L W   H  . Таким чином u  u  0 в H  . Теорема доведена. Вивчимо зв’язок між узагальненими розв’язками з просторів H  , W  та класичним розв’язком задачі 4.1. Теорема 4.3. Нехай u  H   W  – узагальнений розв’язок граничної задачі 4.1 у сенсі означення 4.2. Тоді u – розв’язок задачі 4.1  у сенсі  означення 4.1. Теорема 4.4. Нехай u – узагальнений розв’язок граничної задачі 4.1 з простору W  – має класичну гладкість. Тоді u – розв’язок у класичному розумінні. Встановимо апріорні оцінки узагальнених розв’язків задачі 4.1. Лема 4.4. Нехай u W  – розв’язок у сенсі означення 4.1 граничної задачі 4.1 з правою частиною f  H  , тоді має місце нерівність u  W  C f  H   .  (4. )  Доведення. За теоремою 4.2 для довільного елемента g W  існує єдина функція v  H  така, що для усіх u  W  : Lu  H   Lu, v  H   u, g  W  .  За u  W  візьмемо розв’язок у сенсі означення 4.1 задачі Lu  f , f  H  , який існує та єдиний за теоремою 4.1. Отримаємо f ,v  H   u, g  W  .  (4.13)  Застосуємо до лівої частини (4.13) нерівність Шварца u f  H    v  ,g W  H   .  (4.14)  \f101   u Розглянемо сукупність функцій  f  H      з простору W . Кожна така   функція задає лінійний неперервний функціонал над W  . Нерівність (4.14) означає, що ця сукупність функціоналів є обмеженою на довільному елементі g W  . Тоді за теоремою Банаха-Штейнгауза сукупність функціоналів є   u рівномірно обмеженою, а отже і сукупність функцій  f  H     є обмеженою у   нормі простору W  , що і доводить нерівність (4. ). Аналогічна оцінка має місце для розв’язків спряженої задачі 4.2. Лема 4.5. Нехай v W – розв’язок у сенсі аналога означення 4.1 граничної задачі 4.2 з правою частиною g  H  , тоді має місце нерівність v  W  C g  H  .  (4.15)  Лема 4.6. Нехай u  H  – розв’язок у сенсі означення 4.2 граничної задачі 4.1 з правою частиною f  W , тоді має місце нерівність u  H  C f  W  .  (4.16)  Доведення. За означенням 4.2 для усіх v W : L v  H  u, L v  H   f ,v  (4.17)  W  Застосувавши до правої частини (4.17) нерівність Шварца та нерівність      усіх v W : L v  H  (4.15), отримаємо, що для    L v u,  Lv  H  звідки u  H   sup  Лема доведена.  gH  g 0  u, g g  H  H    u, L v sup  vW :L vH  v 0  H    Lv  H  c f  W  .  c f H  W  ,  \f102  Аналогічна оцінка має місце для розв’язків спряженої задачі 4.2. Лема 4.7. Нехай v  H  – розв’язок у сенсі аналога означення 4.2 граничної задачі 4.2 з правою частиною g W  , тоді має місце нерівність v  H   C g  W  .  4.4 Постановка задачі оптимізації При  дослідженні  задач  узагальненого  оптимального  керування  системами з розподіленими параметрами будемо використовувати підхід роботи [ 5]. Нехай L  – лінійний диференціальний оператор з частинними  похідними, який діє у просторі L2  Q  ( Q   0, T     n1  – регулярна  область) з областю визначення D  L  , що складається з гладких в Q функцій, які задовольняють граничні умови ( гр ). Формально спряжений оператор позначимо L  , а його область визначення – D  L      – множина  гладких в Q функцій, які задовольняють спряжені граничні умови ( гр  ). Припускаємо, що D  L  і  D L     щільні в L Q  . 2  Нехай відносно L2  Q  побудовано ланцюжки гільбертових оснащень  W  H  L2 Q   H   W  , W  H   L2 Q   H   W , де W , H ( W , H  ) – поповнення D  L  W,   H  ( W ,    H    ( D  L   ) за позитивними нормами  ) (як правило, це норми відповідних просторів С.Л.  Соболєва); W  , H  ( W , H  ) – відповідні негативні простори. Припустимо, що для L і L нормах    справедливі апріорні оцінки в негативних  \f103  c1 y  H  c1 p  H   L y  W   L p   c2 y W  W   y  D L  ,   c2 p W     p  D L   ,  де c1 , c 2 – додатні константи, що не залежать від функцій y , p . Із правих частин оцінок випливає, що L , L    можна розширити за  неперервністю до неперервно діючих W  W , W  W  операторів. Для розширених операторів збережемо старі позначення. Далі, говорячи про оператори L і L  , будемо розуміти їх розширення. Оцінки в негативних нормах залишаються справедливими при довільних y W , p W . Для L , L  виконується тотожність L y, p     y, L  p , де  ,     ,  ,  – канонічні  білінійні форми, побудовані на просторах W , W і W , W  . За допомогою оцінок c1 y  H   L y  W   y W , c1 p  H   L p   p W  W  доводиться існування та єдиність розв’язків з просторів W , W рівнянь  L y  f , f  H  ,  (4.18)  L p  g, gH , причому справедливі оцінки y  W  c f  H   ,  p  (4.19) W  c g  H  .  Будемо також розглядати розв’язки з більш широких класів. Узагальнений розв'язок у наведеному нижче розумінні співпадає з поняттям ультра  слабкого  розв'язку  методу  Ж.-Л.  Ліонса  «транспонування  ізоморфізму». Узагальненим розв’язком рівняння (4.18) з f  W називаємо елемент  y  H такий, що  y, L  p   f , p     p W : L  v  H  , де  ,  – канонічна  білінійна форма, побудована на просторах H , H  .  \f104  Аналогічно, узагальненим розв’язком спряженого рівняння (4.19) із правою  частиною  L y, p   g W   називаємо  p  H  елемент   y W : L y  H  , де  ,  : H   H    y, g  такий,  що  – канонічна  білінійна форма. Відомо, що для довільних елементів f  W і g W  існують єдині узагальнені розв’язки рівняння (4.18) і спряженого рівняння (4.19), причому справедливі оцінки y  H  c f  W  ,  p  H  c g  W  .  Нехай V ,  V  – банахів простір керувань, F : V  W – оператор, що задає вплив на систему. Для керування u V стан y  y  u   H системи визначається як узагальнений розв'язок рівняння  : H V   L y  F  u  . Нехай  – заданий функціонал. Розглянемо задачу оптимального  керування J  u     y  u  , u   inf uU ,  (4.20)  L y  u   F  u  , u U ,  (4.21)  де U – підмножина допустимих керувань із простору керувань V . Використовуючи результати про узагальнену розв’язність (4.18), міркування компактності-неперервності, легко довести, що задача (4.20), (4.21) має непорожню   V ,V *  -компактну множину розв’язків при  виконанні умов: 1) функціонал  : H V   секвенційно напівнеперервний знизу у  слабких топологіях просторів H та V ; 2) оператор F : V  W секвенційно слабко неперервний; 3) множина U  D  F  компактна в топології  V ,V *  . Сформульованим   y, u   0 y  0 H  умовам   задовольняють:  функціонали  вигляду   1 u V1 (  0 , 1 ,  0 , 1  0 ); замкнені опуклі та обмежені  \f105  підмножини U  V ,   ;  рефлексивних банахових просторів  V  імпульсні,  точкові, рухомі та інші узагальнені керуючі впливи F   . Якщо J   задовольняє умову коерцитивності: J  uk    при  uk  V    , то  V ,V *  -компактна множина оптимальних керувань існує  при необмеженій  V ,V *  -замкненій множині U рефлексивного простору  V ,   . V  Ураховуючи нелінійність оператора F : V  W , функціонал якості J   може бути неопуклим і при квадратичному або лінійному функціоналі   : H V   , а (4.20), (4.21) – багатоекстремальною задачею.  Приділимо увагу диференціальним властивостям функціоналів J   . Теорема 4.5. Нехай оператор F : V  W у точці u V має похідну Фреше  F   u   L V ,W  ;   y  u  , u   H V  функціонал   : H V   має  у  точці  похідну Фреше ( 1  y  u  , u   H  , 2  y  u  , u  V * –  відповідні частинні похідні Фреше). Тоді функціонал якості J : V  диференційовний за Фреше у точці u V і його похідна обчислюється за формулою J  u  , h  *  V ,V     F  u   *  p  2  y  u  , u  , h  V * ,V  h V ,  (4.22)  де p  p  u  W – спряжений стан – розв’язок рівняння L  p  1  y  u  , u  . Доведення. Знайдемо в точці u V  лінійну частину приросту  J  u; h   J  u  h   J  u  функціонала якості. Маємо  J  u; h     y  u  h  , u  h     y  u  , u    y  u  h   y  u  , 1  y  u  , u    2  y  u  , u  , h  V * ,V     o y u  h   y u   H   o h  . V  \f106  Введемо спряжений стан p  p  u  W як розв’язок рівняння L  p  1  y  u  , u  . Тоді можемо записати   y  u  h   y  u  , 1  y  u  , u    y  u  h   y  u , L  p  F  u  h  F  u , p   F   u  h, p  Оскільки y  u  h   y  u    o h V    H  p, h  o h V  .  V * ,V    *  Функціонал J : V   *     c F  u  h   F  u  W   O  h V  , то   F  u   J  u; h     F  u     p, h  V * ,V    2  y  u  , u  , h  V * ,V  o h V  .  диференційовний за Фреше в u V і має місце (4.22).  Теорема 4.6. Нехай на обмеженій опуклій множині U  V оператор u  F   u  задовольняє умову Гельдера з показником    0,1 ; оператори   y, u   1  y , u   і   y, u    2  y , u   задовольняють  на  обмежених  підмножинах простору H V умову Гельдера з показником    0,1 . Тоді похідна Фреше J    задовольняє на множині U  умову Гельдера з  показником  . Доведення. Нехай u1 , u2 – довільні точки з множини U . Розглянемо J   h1   J   h2  V *   F   u1   p1  2  y  u1  , u1    F   u2   p2  2  y  u2  , u2  *   F   u1  p1  p2  де  W  *   F   u1   F   u2  p2  W    2  y  u1  , u1    2  y  u 2  , u 2   V*  V*  p1 W , p2 W – розв’язки рівнянь L  p1  1  y  u1  , u1  , L  p2   1  y  u2  , u2  .  Оскільки оператор  u  F u   задовольняє умову Гельдера на  обмеженій опуклій множині, то він і оператор u  F  u  є обмеженими.  Робимо висновок, що множина  y  u   H : u U  обмежена у просторі H і    \f107  оператори 1 ,  2 – гельдерові на множині   y u  , u  : u U   H V . Отже,  маємо J   h1   J   h2  V *  C0 1  y  u1  , u1   1  y  u2  , u2   C1 u1  u2   V  1  y  u2  , u2   H     C3 y  u1   y  u2    C4 u1  u2   V  H  H     u1  u2     C5 y  u1   y  u2   H      V     u1  u2  .   V  Залишилось скористатись нерівністю y  u1   y  u2   H   c F  u1   F  u2  W    c sup F   u1    u2  u1   u1  u2 0,1    V   C6 u1  u2  V  .  4.5 Варіант методу лінеаризації Перейдемо  до  дослідження  одного  з  алгоритмів наближеного  розв’язання описаних вище задач узагальненого оптимального керування лінійними системами з розподіленими параметрами. Розглянемо задачу оптимального керування J  u     y  u  , u   inf uU , L y  u   F  u  , u U ,  (4.23) (4.24)  де F : V  W , U – множина допустимих керувань із гільбертового простору керувань V . Припускається, що множина U – компактна в сильній топології та опукла. У задачах оптимального керування системами з розподіленими параметрами сильна компактність, як правило, відсутня, але за рахунок параметризації або регуляризації керування задачу можна апроксимувати так, щоб мала місце сильна компактність. Далі будемо вважати, що виконані такі припущення про гладкість даних задачі (4.23), (4.24):  \f108  F   u  задовольняє умову Гельдера  a) на множині U  V оператор u з показником    0,1 ; b) оператори   y, u   1  y , u  і   y, u   обмежених підмножинах простору   2  y , u  задовольняють на  H V  умову Гельдера з  показником    0,1 . Із теореми 4.6 випливає, що тоді похідна Фреше J    задовольняє на U умову Гельдера з показником  .  Структура  алгоритму,  який  вивчаються,  наступна:  будується  послідовність керувань un1  un   n  un  un  , що задовольняють умову un U , а керування un є наближеним розв’язком деякої допоміжної задачі.  Для доведення збіжності будемо використовувати метод, розвинутий у роботах київської школи негладкої та стохастичної оптимізації [ 6,  7]. Ця методика у певній мірі є незалежною від конкретної структури алгоритму та складається з перевірки набору стандартних умов, виконання яких для певного алгоритму гарантує його збіжність. Цей підхід дозволяє для цілого класу алгоритмів провести значну частину доведення збіжності в рамках доведення загальних теорем збіжності, завдяки чому викладення результатів спрощується. Розглянемо наступну абстрактну задачу: задано підмножину X * повного метричного простору  X ,   ; знайти точку підмножини X * . У задачах оптимізації для опису множини  X * , як правило,  використовують необхідні умови оптимальності. Під алгоритмом розв’язання абстрактної задачі розуміємо певне правило побудови послідовності точок   xn   метричного простору X .  Алгоритм вважаємо збіжним, якщо всі граничні точки послідовності належать множині X * .   xn   \f109  Теорема 4.7 ([ 6,  7]). Припустимо, що: 1) існує компакт K  X : xn  K  n   ;    , x   0;  2) для довільної збіжної підпослідовності xnk виконано умови:    a) якщо lim xnk  x   X * , то  xnk 1 k   k   nk  b) якщо lim xnk  x   X * , то   0  0 :     0,  0   k   , де k        k  min n :   xn , xn    ; n nk  k  3) існує неперервна на множині граничних точок послідовності функція W : X    xn   така, що для довільної підпослідовності з 2 b)        lim W x k  limW xnk ; k   4) множина  k   W *  W  X *   W  x  : x  X *    має  скрізь щільне  доповнення. Тоді послідовність  W  x   n  має границю та всі граничні точки  послідовності  xn  утворюють зв’язну компактну підмножину X * . Якщо опустити умови 2 a) і 4, то можна стверджувати лише, що існуть граничні точки послідовності  xn  , які належать множині X * . Відмітимо, що у формулюванні наведеної теореми відтворено схему доведення збіжності алгоритму від супротивного, тому деякі умови теореми без контексту доведення від супротивного є психологічно незручними. Будемо вважати, що із заданою (в окремих випадках довільною) точністю може бути розв'язана задача  u* , u  V * ,V   infuU , u* V * .  Множини U , що мають такі властивості, можна назвати множинами простої структури. Звичайно «простота» залежить і від наявних обчислювальних ресурсів.  \f110  і   0 . Записом f  x    -inf xX будемо позначати  Нехай f : X   задачу пошуку точок x   X таких, що f  x   inf xX f  x    . Розглянемо задачу оптимального керування (4.23), (4.24) та наведений нижче ітераційний процес її розв’язання. __________________________________________________________________ Алгоритм 4.1. 1. Обираємо початкове наближення u0  U . Покладаємо n  0 . 2. Знаходимо yn  H – узагальнений розв’язок рівняння: L yn  F  un  . 3. Знаходимо спряжений стан pn W – розв’язок рівняння  L  pn  1  yn , un  . 4. Знаходимо un U – розв’язок екстремальної задачі    F   u   p    y , u  , u  u  *  n  5. Покладаємо  n  2  n  n  n  un 1  un   n  un  un  ,  V    n -infuU .  де   n   0,1  –  кроковий  множник, n : n  1 і переходимо на крок 2. __________________________________________________________________ Теорема 4.8. Нехай   n   0,1 ,  n  0 ,     n 0  n    ,  n  0 ,  n  0 .  Якщо функціонал J приймає на множині      U *  u * U : J   u *  , u  u *    V     0 u U не більш ніж зліченну кількість  значень, то всі граничні точки (які обов’язково існують) послідовності  un  утворюють компактну зв’язну підмножину в U * , а числова послідовність   J  u   має границю. n  \f111  0 ,  n  Нехай  n  0 і  n  0 . Аналогічне теоремі 4.8 твердження про  збіжність справджується для наступної моделі алгоритму. __________________________________________________________________ 1. Обираємо початкове наближення u0  U . Покладаємо n  0 . yn  H :  2. Знаходимо  yn  yn  H    n , де  yn  H  – узагальнений  розв’язок рівняння L yn  F  un  . pn W :  3. Знаходимо  pn  pn  W    n , де  pn W  – розв’язок  рівняння  L  pn  1  yn , un  . 4. Знаходимо un U – розв’язок екстремальної задачі    F   u   p    y , u  , u  u  *  n  5. Покладаємо  n  2  n  n  n  un 1  un   n  un  un  ,  V  де    n -infuU .   n   0,1 ,  n : n  1  і  переходимо на крок 2. __________________________________________________________________ Доведення теореми 4.8. Перевіримо виконання умов теореми про достатні умови збіжності ітераційних алгоритмів оптимізації. Покладемо W  J . Функціонал W неперервний на U , множина W *  W  u  : u U *  має  скрізь щільне доповнення. Крім того, функціонал J диференційовний за Фреше, та похідна J  задовольняє на U умову Гельдера з показником     0,1 . За побудовою всі члени послідовності  un  належать компакту U .     Розглянемо підпослідовність unk  таку, що unk  u* U * при k   .  Маємо unk 1  unk     Нехай unk  V    nk unk  unk  V    nk diam U   0 при k   .  – підпослідовність, що збігається до керування u  U * .  Покажемо, що існує 0  0 таке, що для всіх k та    0,  0  :  \f1      k  min n : un  un n nk  Припустимо  k  протилежне.  k0  k0  0   , що  un  unk  0  V  V  Нехай        .  для  0  0  всіх  існує  таке    0 для всіх n  nk0 . Тоді з нерівності  трикутника маємо   u  un  B 0 unk  0  nk    для k  k   B 0 unk  0     u B   u  B 0 unk  0  2 0  n  0   u  для всіх n  nk0 . Оскільки u  U * , то існують   0 і u  U такі, що   J   u , u  u  V    .  (4.25)  Розглянемо приріст        W  un   W unk  J  un   J  u  J unk  J  u      J   u     un  u  , un  u     J  u    u  nk  V     u , unk  u      J   u , un  uV  J   u     un  u   J   u  , un  u      J   u , unk  u     J   u , un  unk    V    V            V   J   u  J  u    unk  u , unk  u   22 C 01   n 1     J   u , u p  p nk  p        V      V   u p V  22 C 01 , (4.26)  де n  nk , k  k0 та  ,   0,1 . У нерівності (4.26) оцінимо зверху величину  J   u , u p  u p V . Маємо   J   u , u  p     u p   J   u  J   u p  , u p  u p V       J  u  , u p  V   J   u  J   u p  , u p  u p  p   up    V       J   u  , u  u  p  V  p  V  p .  Але   J   u  , u  u    J   u   J   u  , u  u    J   u  , u  u    J   u  , u  u  p  p  V  p  p  . Отже,  V  V  p V  \f113   J   u   J   u , u  u p   J   u , u  u      J   u  , u  u    J   u  , u  u  p  p  p V  p V  V  V  p.  Урахувавши (4.25), отримаємо оцінку   J   u , u  p   u p    diam U  J   u p   J   u  2 J   u V  0   p  V V      p  diam U  C 2  0  2 J   u V  0 .  Обираючи достатньо мале 0  0 та велике k 0 , отримуємо ( p  nk0 )  0   p  diam U  C 2  0  2 J   u V  0  Звідки  J   u , u p  u p V     2  .   , p  nk . 2 0  Отже, остаточно отримуємо     W  un   W unk      n 1   2 p  nk  p   22 C 01 , n  nk  nk0 .  Здійснивши граничний перехід в (4.27) при     p  nk  n  (4.27)  та врахувавши   p   , отримаємо протиріччя з обмеженістю знизу на компактній  множині U неперервного функціонала W . Отже, існує 0  0 таке, що для всіх k і    0,  0  :     k  min n : un  un n nk  k  V        .  Але, обираючи достатньо мале 0  0 та велике k 0 , можна повторити доведення оцінки (4.27) для nk  n   k . З іншого боку,   0  u  un k  Тому   k 1    p nk  p    0  diam U   k  V     k 1    p nk  u p1  u p   k 1  V   diam U    p . p nk  . Ураховуючи останню нерівність в (4.27), отримуємо        W u k  W unk    0  2diam U    22 C 01 .  \f114        Звідки limW u k  limW unk . k   k   Умови теореми про збіжність виконуються, а отже, граничні точки послідовності  un  утворюють компактну зв’язну підмножину U * і числова послідовність  J  un   має границю. Розглянемо тепер більш реалістичну ситуацію, коли точність  n розв’язання допоміжної задачі мінімізації лінійної форми не прямує до нуля. Теорема 4.9. Нехай  n   0,1 ,  n  0 , Якщо  функціонал      U *  u* U : J   u*  , u  u*  V   n 0  n    ,  n  0,   ,   0 .  приймає  J        , u U  на  множині   не більш ніж зліченну кількість  значень, то всі граничні точки (які обов’язково існують) послідовності  un  , що генерується алгоритмом 4.1, утворюють компактну зв’язну підмножину в U * , а числова послідовність  J  un   має границю.  Доведення. Перевіримо виконання умов теореми про достатні умови збіжності ітераційних алгоритмів оптимізації. Покладемо W  J . Функціонал W неперервний на множині U , множина W *  W  u  : u U*  має скрізь  щільне доповнення. Члени послідовності   un   лежать в компакті U .     Розглянемо підпослідовність unk таку, що unk  u* U * при k   . Маємо unk 1  unk       існує таке   k  min n : un  un n nk    nk unk  unk  V    nk diam U   0 при k   .  – підпослідовність, що збігається до керування u  U * .  Нехай unk Покажемо, що  V  k  V  0  0 , що для всіх  k  та     0,  0  :        . Від супротивного. Нехай для всіх 0  0  існує таке k0  k0  0  , що un  unk  0  V    0 для всіх n  nk0 . Тоді з нерівностей  \f115  un  unk  0  V    0 , unk  unk  0   0  V   k  k0  u  un  k0   0  V  випливає, що un  B20  u для всіх n  nk0 . Оскільки u  U * , то існують   0 і u  U такі, що   J   u , u  u      .  V  (4.28)  Розглянемо приріст        W  un   W unk  J  un   J  u  J unk  J  u      J   u     un  u  , un  u     J  u    u  nk  V     u , unk  u      J   u , un  uV  J   u     un  u   J   u  , un  u      J   u , unk  u     J   u , un  unk    V    V  2            V   J   u  J  u    unk  u , unk  u  2  C  1 0    n 1     J   u , u p  p nk  p        V      V   u p V  22 C 01 , (4.29)  де n  nk , k  k0 ,  ,   0,1 . У нерівності (4.29) оцінимо зверху величину  J   u , u p  u p V . Маємо   J   u , u  p     u p   J   u  J   u p  , u p  u p V     J   u  J   u p  , u p  u p     J  u  , u p  V     J   u  , u  u  p  V  p  V  p   up    V    p.  Але   J   u  , u  u    J   u   J   u  , u  u    J   u  , u  u    J   u  , u  u  p  p  p  V  p  p V  V  V  . Отже,   J   u , u  p   up   V   J   u   J   u , u  u    J   u  , u  u    J   u  , u  u  p  p  V  p V  V  p.  Урахувавши (4.26), отримаємо оцінку   J   u , u  p   u p      diam U  J   u p   J   u  2 J   u V  0   p  V V  \f116        p  diam U  C 2  0  2 J   u  V  0 .  Обираючи достатньо мале 0  0 та велике k 0 , отримуємо     p  diam U  C 2  0  2 J   u V  0  diam U  C 2  0  2 J   u V  0    2  . Звідки  J   u , u p  u p V     , p  nk . 2 0  Остаточно маємо     W  un   W unk      n 1   2 p  nk  p   22 C 01 , n  nk  nk0 .  Здійснивши граничний перехід в (4.30) при     p  nk  n  (4.30)  та врахувавши   p   , отримаємо протиріччя з обмеженістю на компактній множині  U неперервного функціонала W .  Отже, існує 0  0 таке, що для всіх k і    0,  0  :     k  min n : un  un n nk  k        .  V  Але, обираючи достатньо мале 0  0 та велике k 0 , можна повторити доведення нерівності (4.30) для nk  n   k . З іншого боку,   0  u  un k  Тому   k 1    p nk  p    0  diam U   k    V   k 1    p nk  u p1  u p  V   diam U    p . p nk  . Підставивши останню оцінку в (5.2.8), одержуємо        W u k  W unk        k 1   0  2diam U    22 C 01 .     Звідки limW u k  limW unk . k   k   Таким чином, умови абстрактної теореми про збіжність виконуються. В алгоритмі 4.1 на 3-му кроці можна розглянути таку допоміжну задачу мінімізації  \f117  Qn , u  un V   n -infuU , де Qn  1   n  Qn1   n   F  u  p    y , u  . Якщо коефіцієнти *  n  n  2  n  n  усереднення  n обирати з дотриманням умов  n   0,1 ,     n 1   n   ,   n  0 при n   , то для цієї модифікації будуть справедливі факти – n аналоги теорем 4.8 і 4.9. Основні результати опубліковано в [ 8].  \f118  5 ВЕКТОРНІ ЗАДАЧІ ОПТИМІЗАЦІЇ: ПРОБЛЕМА ІСНУВАННЯ РОЗВ’ЯЗКІВ  Проблема існування розв’язків є дуже важливою і однією з основних, що  виникають  при  дослідженні  оптимізаційних,  в  тому  числі  багатокритеріальних, задач. Ще на початку двадцятого століття Ж. Адамар сформулював три основні умови, яким задовольняє коректна, тобто розумно поставлена математична задача: вона має бути ров’язувана при будь-яких допустимих вхідних даних, кожним вхідним даним відповідає тільки один розв’язок, цей розв’язок неперервно залежить від змін початкових даних [ 9]. Третю з наведених властивостей коректної задачі називають стійкістю. Задачі, що не задовольняють хоча б одній умові коректності, називаються некоректно поставленими. Немає сенсу говорити про умови оптимальності (ефективності) розв’язків поки не розглянуто питання їх існування. В [130] проблема розв’язуваності задач векторної оптимізації вивчена у випадку компактності допустимої множини. В [131] умови розв’язуваності багатокритеріальних задач сформульовані в термінах множини досяжних оцінок, встановлені критерії розв’язуваності, які дозволяють проводити дослідження умов існування розв’язків вхідної задачі за допомогою відповідної двоїстої задачі. Але перевірка таких умов в багатьох випадках може викликати значні ускладнення. На погляд авторів, актуальним є вивчення питань розв’язуваності задач векторної оптимізації, в яких множина допустимих розв’язків необмежена та опукла. Метою досліджень, представлених в даному розділі є встановлення умов існування різних видів ефективних розв’язків таких задач на основі  \f119  використання властивостей рецесивних конусів опуклих допустимих множин [132] та конусів перспективних напрямків [133]. 5.1 Постановка задачі. Основні означення Введемо необхідні для подальшого викладення позначення. Нехай С  лінійне відображення Rn в Rl та відповідна йому матриця, C=[cij ]lnRln; Y=CX  образ множини XRn при відображенні С; С-1Y=  z X  {yRn  Cz=Cy}  повний прообраз множини Y при відображенні С.  Розглянемо задачу векторної оптимізації вигляду (С,Х): max{Cx  xX}, де Х  необмежена опукла множина в просторі Rn. Під розв’язанням цієї задачі звичайно розуміють знаходження деякої підмножини однієї із таких множин: P(С,Х)  всіх Парето-оптимальних (ефективних)  розв’язків,  Sl(С,Х)    напівефективних  (ефективних  за  Слейтером) розв’язків, Sm(C,X)  строго ефективних (за Смейлом) розв’язків. Точка хХ називається ефективним розв’язком задачі (С,Х), якщо  y X: CyCx, CyCx, напівефективним розв’язком, якщо  xX: CyCx, і строго ефективним розв’язком, якщо  yX: yx, CyCx. [131, 134].  Із означень випливає справедливість таких включень Sm(C,X)P(С,Х)Sl(С,Х).  (5.1)  Необмеженість опуклої множини Х означає, що 0 X \\ 0   , де      0 X  y  R n | x  X : x  ty  X , t  0  рецесивний конус множини Х.  Аналіз задачі (С,Х) будемо проводити з урахуванням властивостей      рецесивного конуса 0 X і конуса K  K (C )  x  R n | Cx  0 , який названий конусом перспективних напрямків для задачі (С,Х), оскільки перехід з будь-  \f 0  якої точки х1Rn в точку х2=х1+y, де y  довільна точка конуса К(С), приводить до нерівності Сх2Сх1, тобто до можливого зростання значень усіх часткових критеріїв задачі. Конус К можна подати у вигляді об’єднання множин: K  K0  K1      K 2 , де K 0  x  R n | Cx  0  ядро лінійного відображення С      [135], K1  x  R n | Cx  0  внутрішність конуса K, K2=K\\(K0K1). Для довільної точки хХ істинними є наступні висловлення [133]: xP(C,X)  (x+(K1K2))X=, xSl(C,X)  (x+K1)X=,  (5.2)  xSm(C,X)  (x+K)X\\{x}=.  5.2 Дослідження існування Парето-оптимальних розв’язків  Продовжуючи дослідження 136, 1379, розпочаті в роботі 139, розглянемо необхідні і достатні умови існування Парето-оптимальних розв’язків задачі (С,Х). Теорема 5.1. Необхідною умовою існування ефективних розв’язків задачі (С,Х) є включення в ядро K0 лінійного відображения С множини всіх точок перетину конуса K перспективних напрямків і рецесивного конуса О+Х, тобто KO+XK0. Якщо множина виконується умова  (5.3)  досяжних векторних оцінок Y=CX замкнена і  \f 1  K(O+X)K0,  (5.4)  то включення (5.3) є також достатньою умовою існування. Для доведення теореми скористаємося рядом допоміжних тверджень. Лема 5.1. Якщо Х довільна непорожня множина в Rn, то С -1Y = X+K0. Доведення. Покажемо, что справедливее включення C 1Y  X  K 0 . Оберемо довільну точку x  C 1Y . Отже  хX : Cx=Cx, C(x-x)= 0, x-xK0, x=x(x-x) X  K 0 . Покажемо тепер, що X  K 0  C 1Y . Нехай x  X  K0 . Отже,  можливе  представлення  х=х+х,  де  хХ,  хK0.  Тоді  Cx  Cx   Cx  Cx і x  C 1Y .  Лема 5.2. Якщо Х  не порожня опукла множина в Rn, то C(O+(X+K0))C(O+X)C(O+X). Доведення. Якщо має місце включення K0O+X, то  O+(X+K0)=O+X  і  твердження  (5.5) леми  справедливе,  оскільки  C(O+(X+K0))=C(O+X). Якщо O+XK0,  (5.6)  то O+(X+K0)=K0 і C(O+(X+K0))=C(K0)={0}C(O+X). Розглянемо випадок, коли включення (5.5) і (5.6) не мають місця. Нехай y  довільна точка із O+(X+K0). Очевидно, що O+XK0O+(X+K0). Якщо yO+X, то  CyC(O+X). Якщо yK0, то Cy=0C(O+X). Покладемо  тепер, що точка yO+(X+K0)\\(O+XK0). Згідно з означенням рецесивного конусу x(X+K0) та 0 маємо z=x+yX+K0. Не втрачаючи загальності,  \f 2  оберемо точку xX X+K0, поклавши =1 та z=x+y. В просторі Rn визначимо дві гіперплощини, паралельні K0: Q(x)={xRnCx=Cx}= x  K0 та Q(z)={z RnCz=Cz}= z  K0 . Оскільки точки x, z  X  K 0 , то перетин кожної з цих гіперплощин з множиною X не порожній, тобто Q(x)X і Q(z)X. Оберемо довільний напрямок y з конуса O+X \\ K0. Побудуємо промінь {x+ y 0}. Оскільки y K0, то пряма, яка містить цей промінь, або будьяка пряма, паралельна їй, перетне обидві гіперплощини: Q(x) та Q(z). Припустимо, що  z{x+ y 0}Q(z). Оскільки y O+X, то zX і zxO+X. В зв’язку з тим, що y=zx, zQ(z), то Cy=C(zx)=C(zx)C(O+X). У протилежному випадку, коли {x+ y 0}Q(z)=, оберемо довільну точку zQ(z)X та побудуємо промінь {z+ y 0}. Очевидно, що в цьому випадку  x{z+ y 0}Q(x). Причому, xX і xzO+X, оскільки zX і y O+X. Крім того, Cy=C(zx)=C(zx)C(O+X). Доведення леми закінчено. Лема 5.3. Нехай D і M  довільні множини в Rn такі, що CDCM. Тоді CDCM=C((D+ K0)(M+ K0)). Доведення. Позначимо wRl довільну точку множини перетину множин CDCM. Тоді  xD і yM: w=Cx=CyCDCM. Очевидно, що y(x+K0)(y+K0)(D+K0)(M+K0) і w=CyC((D+K0)(M+K0)). Покажемо тепер, что виконується включення: C((D+K0)(M+K0))CDCM. Оберемо довільну точку z(D+K0)(M+K0). Очевидно, що справедливі належності CzC(D+K0)=CD і CzC(M+K0)=CM. Отже, CzCDCM.  \f 3  Лема 5.4. Якщо Q  довільна множина в Rn, яка містить початок координат, то співвідношення KQK0  (5.7)  K(Q+K0)K0  (5.8)  еквівалентні. Доведення. В зв’язку з тим, що QQ+K0, із включення (5.8) випливає включення (5.7). Покажемо тепер, що із (5.7) випливає (5.8). Розглянемо довільну точку xK(Q+K0). Її можна представити як суму: x=x+x, де x Q, xK0. Таким чином, Cx  Cx  0 і xKQ. Поклавши, що справедливе включення (5.7), приходимо до висновку: xK0. Отже, Cx=Cx=0 і xK0, що і завершує доведення леми. Доведення теореми 5.1. Необхідність. Покажемо, що за умови P(C,X) має місце включення (5.3). Припустимо протилежне: нехай перетин (K1K2)O+X. Тоді  xX справедливі співвідношення: (x+(K1K2))X(x+(K1K2))(x+O+X)=x+(K1K2O+X). З урахуванням формул (5.2), можна зробити висновок, що P(C,X)=. Але це суперечить початковій умові і тим самим доводить першу частину теореми. Достатність. Нехай множина Y=СХ замкнена і виконуються умови (5.3) та (5.4). В силу опуклості множини X та теореми 5.4 з [132] робимо висновок, що множина Y є також опуклою. Для довільної точки yY визначимо множину R(y)={zYzy}, прообразом якої в X є, очевидно, будьяка множина вигляду (x+K)X, де y=Cx, xХ, тобто R(y)=C((x+K)X). У відповідності з теоремою 5.1 з [131, §5.2] та враховуючи, що множина Y опукла і замкнена, умова компактності множини R(y) для всіх точок y з Y є  \f 4  необхідною та достатньою для існування ефективних розв’язків задачі (C,X). Доведемо, що ця умова виконується в даному випадку. Представимо множину R(y) як перетин двох множин: R(y) = R (y)Y,  (5.9)  де R (y)={zRzy}. Згідно з теоремою 19.1 з [132] опукла поліедральна множина R (y) замкнена. Отже, множина R(y) також опукла і замкнена. Покажемо, що R(y) є, крім того, oбмеженою множиною. З урахуванням теореми 8.4 з [132] для цього необхідно і достатньо впевнитися, що рецесивний конус O+R(y) містить лише нульовий вектор. Дійсно,  відповідно  наслідку  8.5.3  з  [132]    можна  записати:    O  R ( y )  O  R ( y ) O Y , де O  R ( y )  z  Rl | z  0   z  Cx | x  K   CK . Оскільки C -1YX, то згідно з наслідком 8.5.4 з [132] O+(C-1Y)=C-1(O+Y) і, тому, O+Y=СO+(C -1Y). Враховуючи леми 5.1 та 5.2 справедливе включення O+Y=СO+(X+K0)С(O+X)С(O+X). Приймаючи також до уваги лему 5.3, справедливі співвідношеня O+R(y)CK(C(O+X)С(O+X))= =(СКС(О+Х))(СКС(O+X))=C(K(O+X+K0))С(К((O+X)+К0)). Виходячи з леми 5.4 та умов теореми 5.1 одержуємо наступне включення O+R(y)С(К0)={0}, що і треба було довести. Теорема 5.2. Якщо Х – необмежена опукла замкнена множина, а ядро K0  лінійного  відображения  С  і  рецесивний  конус  O+X  зв’язані  співвідношенням K0O+XO+X,  (5.10)  то умова (5.3) є достатньою для існування ефективних розв’язків задачі (С,X).  \f 5  Відмітимо, що одночасне виконання умов (5.3) та (5.10) еквівалентне включенню KO+XK0O+X0, де O+X0=О+Х(O+X)  лінійна підмножина множини Х. Доведення теореми 5.2. Враховуючи умови даної теореми, а також теореми 5.4 з [132], 5.7 з [138], робимо висновок, що множина Y=CX опукла, замкнена та О+Y=O+(CX)=C(O+X). Далі, як і при доведенні теореми 5.1, для будь-якої точки yY=CX визначимо згідно з формулою (5.9) множину R(y), яка і в даному випадку, очевидно, замкнена і опукла. Беручи до уваги леми 5.1 та 5.3, приходимо до висновку, що О+R(y)=СКС(О+Х)=C(К(О+Х+K0)), а враховуючи умови (5.3) і лему 5.4, одержимо співвідношення О+R(y)C(K0)={0}, які завершують доведення. Теорема 5.3. Нехай Х  необмежена поліедральна опукла множина      вигляду X  x  R n | Ax  b , де A  R mn , b  R m . Необхідною і достатньою умовою існування ефективних розв’язків задачі (С,Х) є виконання включення (5.3). Необхідність  виконання  співвідношення  (5.3)  для  існування  ефективних розв’язків задачі (С,Х) за умов даної теореми випливає з теореми 5.1. Доведення достатності умови (5.3) аналогічне доведенню теореми 5.2. При цьому необхідно врахувати, що для поліедральної опуклої множини Х її образ Y=CX також є поліедральною опуклою, а тому, і замкненою множиною (див. теореми 19.1 та 19.3 з [132]). Крім того, необхідно використати наступне допоміжне твердження.      Лема 5.5. Якщо допустима множина X  x  R n | Ax  b   , де      A  R mn , b  R m , то рецесивний конус O  X  O  X 0  x  R n | Ax  0 виконується рівність C(O+ (X+K0))=C(O+ X).  і  \f 6  Доведення. Справедливість першого твердження леми очевидна. Крім того, з включения XX+K0 випливають відповідні включения для їх рецесивних конусів:  О+ХО+(Х+K0) і лінійних відображень  C(O+X)  рецесивних конусів C(O+X)C(O+(X+K0)). Покажемо тепер, що має місце включення, обернене останньому. Обравши довільним чином yO+(X+K0) та хX+K0, одержимо точку z=x+yX+K0. Подамо точки x та z у такий спосіб: x=x+x, z=z+z,  де x, zX, x, zK0.  Тоді справедливі рівності Сх=Сх, Сz=Cz, Сy=CzCx=CzCx=C(zx). Враховуючи, що Az=b, Ax=b, A(z-x)=0, приходимо до висновку, що zx O+X. Отже, CyC(O+X).  5.3 Існування строго ефективних та напівефективних розв’язків задачі та рівність множин різних ефективних розв’язків Розглянемо питання існування строго ефективних та слабо ефективних (напівефективних) розв’язків  задачі (С,Х), а також рівності множин  фективних точок всіх наведених тут видів. Слід відмітити, що поняття строгої ефективності має особливе значення при дослідженні стійкості задач векторної оптимізації з обмеженою допустимою областю. Зокрема, в роботі [145] встановлено, що в задачах векторної оптимізації з цілочисловими змінними ядро стійкості співпадає з множиною строго ефективних точок. В [146] через властивості єдиності (строгої ефективності) та стійкості точок Парето, які їм одночасно притаманні, визначається поняття невиродженості задачі лінійної векторної оптимізації.  \f 7  Теорема 5.4. Необхідною умовою існування строго ефективних розв’язків задачі (С,Х) є рівність KO+X={0}.  (5.11)  Доведення (від супротивного). Нехай Sm(C,X), але KO+X\\{0}. Тоді xX виконується співвідношення (x+K)(X\\{x})(x+K)(x+(O+X\\{0}))=(x+(KO+X\\{0})) і згідно з висловленнями (5.2) множина Sm(C,X)=, що суперечить вхідному припущенню. Означення 5.1. Для довільного достатньо малого числа 0 задачу (C (), X ()) вигляду max C () x  x  X () , де матриця C()Rn, допустима      множина X  x  R n | A    x  b    , де A     R mn , b     R m , назвемо збуреною задачею, яка належить -околу задачі (С,Х), якщо виконуються умови С()-С║, ║А()-А║, ║b()-b║.  (5. )  q  Тут ║z║=  z j – норма довільного вектора z=(z1,...,zq)Rq, а під нормою j 1  деякої матриці B=[bij]mnRmn розуміємо норму вектора (b11, b ,...,bmn). Теорема 5.5. Нехай Х  необмежена множина вигляду Х={xRn Аx=b}, де ARmn, bRm. Якщо виконується умова (5.11), то Sm(C,X)=P(С,Х)=Sl(С,Х). Доведення (від супротивного). Нехай KO+X={0}. Тоді cпряжений конус (KO+X)* співпадає з простором  Rn. Згідно з лемою  8.7 з [144]  \f 8  існує число  таке, що С(), А(), які задовольняють нерівність (5. ), виконується співвідношення (K()O+X())*=Rn, де збурені конуси K()={zRn C()0}, O+X()={zRn A()z=0}, отже, справедлива рівність K()O+X()={0}.  (5.13)  Нехай Sl(С,Х)\\Sm(С,Х). Тоді знайдеться пара точок х=(х1,...,хn), у=(y1,...,yn) з множини Sl(С,Х)\\ Sm(С,Х) така, що Сх=Су, ху. Збуримо задачу (С,Х) таким чином. Оберемо індекс kNn={1,...,n}, для якого xk yk. Матрицю С() збуреної задачі (С(),X()), яка належить -околу задачі (С,Х), задамо у такий спосіб:  jNn\\{k} cij()=cij, а елементи cik() k-го стовпця матриці C()  визначимо за формулою: cik()=cik+ sign(xkyk), де i  N l ,  Очевидно,  що ║С()С║=  cik () – cik =<. Окрім того, С()x>C()y, оскільки i  N l i 1  n  :  n  =  cij ()( x j  y j )  cij ( x j  y j )  | xk  yk | 0. j 1  j 1  Отже, маємо, хyK()={zRnС()z}. Зробивши підстановку А()=А,  b()=b,   x  y   O  X (),  одержимо    співвідношення  A()( x  y )  0  та    де 0 X ( )  z  R n | A( ) z  0  0 X .  Таким чином, при зроблених вище припущеннях існують матриці С(), А(), які задовольняють нерівність (5. ), такі, що K()O+X()\\{0} Остання нерівність суперечить рівності (5.13), і тим самим, з урахуванням включень (5.1), завершує доведення. Теорема 5.6. Якщо X  необмежена множина вигляду  \f 9      X  x  R n | Ax  b , де ARmn, bRm, то співвідношення (5.11) є  необхідною і достатньою умовою існування строго ефективних розвязків задачі (C,X). Доведення. Достатність. При KO+X={0} справедливе включення (5.3), а отже, і непорожність множини P(С,Х) (згідно з теоремою 5.3). Враховуючи теорему 5.5, приходимо  до висновку, що множина строго  ефективних розвязків Sm(C,X) Необхідність виконання умови (5.11) для існування строго ефективних розв’язків задачі (С,Х) випливає з теореми 5.4. Теорема  5.7.  Необхідною  умовою  існування  напівефективних  розв’язків задачі (С,Х) є виконання співвідношення K1O+X=. Доведення (від супротивного). Нехай множина  напівефективних  розв’язків Sl(С,Х), але при цьому виконується умова K1O+X. Тоді для будь-якої допустимої точки xX справедливі наступні співвідношення: (x+K1)X(x+K1)(x+O+X)=(x+(K1O+X), тобто множина Sl(C,X)=. Одержали протиріччя з вхідним припущенням. Розглянемо деякі властивості строго ефективних розв’язків задачі (С,Х) з необмеженою поліедральною опуклою допустимою множиною вигляду:      X  x  R n | Ax  b , де ARmn, b=(b1,...,bm)Rm.  Нехай yFrX  будь-яка гранична точка допустимої множини Х. Введемо позначення: Nm ={1,…,m}, ai  i-ий рядок матриці А, множини N(y)={iNmaiy=bi}, X(y)={xRnaixbi, iN(y)}, O+Х(y)={xRnaix0, iN(y)}. Очевидно, що N(y), XX(y), O+XO+X(y).  \f130  Скористаємось наступним допоміжним твердженням. Лема 5.6. Для довільної точки y  Fr X співвідношення  T ( y)  X \\{ y}    (5.14)  X ( y) \\{ y}   ,  (5.15)  має місце тоді і тільки тоді, коли  T ( y)  де T ( y ) – довільна опукла множина в R n , яка включає точку y . Доведення.  Оскільки  XX(y),  то  з  умови  (5.15)  випливає  співвідношення (5.14). Покажемо  тепер, що із виконання умови (5.14)  випливає  Доведемо  справедливість  виконується T ( y) T ( y)  (5.15).  від  X \\{ y}   і існує x x  T ( y )  супротивного.  X ( y ) \\ { y} . Оскільки  X ( y )  опукла множина, то і весь відрізок [x,y] T ( y )  Покажемо, що  Нехай  X ( y) .  існує точка z(x,y)X. Оберемо довільну точку z1(x,y).  Якщо z1Х, покладемо z=z1. Якщо z1Х, то існує номер i1Nm\\N(y): ai1 z1  bi1 . Але ai1 y  bi1 , тому існує z2(y,z1): ai1 z2  bi1 , і v[y,z2): ai1v  bi1 . Якщо z2Х, покладемо z=z2; в протилежому випадку існує номер i2Nm\\(N(y){i1}):  ai2 z2  bi2 . Але ai2 y  bi2 , отже, існує z3(y,z2): ai2 z3  bi2 , крім того, для будь-якого v[ y,z3): ai2 v  bi2 тощо. За скінченну кількість кроків (менше m) одержимо точку z(x,y)XT(y)X\\{y} і таким чином прийдемо до протиріччя з вхідним припущенням (5.14). З урахуванням формул (5.2) і леми 5.6 стає очевидним наступне Твердження 5.1. Для будь-якої граничної точки yFrX справедливі такі висловлювання: yP(С,Х) yP(С,Х(y)), ySm(C,X)  ySm(C,X(y)), ySl(С,Х) ySl(С,Х(y)).  \f131  Теорема 5.8. Нехай P(С,Х)Х. Необхідною і достатньою умовою строгої ефективності деякого Парето-оптимального роз’язку yP(С,Х) задачі (С,Х) є виконання співвідношення К0О+Х(y)={0}. Доведення. Аналізуючи співвідношення (5.2), приходимо до висновку, що будь-яка точка yP(С,Х) є строго ефективною тоді і тільки тоді, коли справедлива умова (y+K0)X\\{y}=. Оскільки yP(С,Х)Х, то згідно з теоремою 5.1 із [53, §5.3] yFrX. Тоді виходячи з леми 5.6, одержимо співвідношення (y+K0)X(y)\\{y}=.  (5.16)  Враховуючи, що X(y)=y+O+X(y) справедливі рівності (y+K0)(X(y)\\{y})=(y+K0)(y+(O+X(y)\\{0}))=y+(K0O+X(y)\\{0}). Отже, можна зробити висновок, що виконання для точки yP(С,Х) співвідношення (5.16) еквівалентне виконанню умови K0O+X(y)\\{0}=. 5.4 Дослідження розв’язуваності векторних задач оптимізації з необмеженою допустимою областю  Розглянемо задачу векторної оптимізації вигляду (С,Х): max{Cx  xX}, де C=[cij]n – матриця в Rn; Х необмежена поліедральна oпукла множина      вигляду X  x  R n | Ax  b ; A=[aij]mnRmn, b=(b1,...,bm)Rm. Задачу  (C , X )  будемо  називати  нерозв’язуваною  (або  P-  нерозв’язуваною), якщо P(C , X )   . У протилежному випадку будемо говорити, що задача розв’язувана (P-розв’язувана).  (C , X )  \f132  Аналогічним чином введемо поняття Sl- та Sm-розв’язуваної, Sl- та Sm-нерозв’язуваної задач. Співвідношення між цими поняттями вважаємо очевидними. Продовжуючи дослідження, розпочаті в роботах [133, 136], проведемо аналіз задачі (С,Х) з урахуванням властивостей рецесивного конусу      0 X  y  R n |  x  X : x  ty  X , t  0  необмеженої опуклої допустимої  множини Х, 0 X \\ 0   і конуса K=K(С)={xRnCx0} перспективних напрямків для задачі (С,Х), який представимо у вигляді об’єднання множин: K=K0K1K2, де K0={xRnCx=0}, K1={xRnCx0}, K2=K\\(K0K1). Нехай yFrX, де FrX  множина граничних точок множини Х. Позначимо Nm={1,…,m}; ai, iNm, та ci, iN,  i-й рядок матриці А і С відповідно; N(y)={iNmaiy=bi} – множина номерів активних обмежень в точці y; А(y)  матриця, складена з рядків ai матриці А з номерами i  N ( y ) ;    O  X ( y )   x  R n | ai x  0, i  N ( y ) ;  X i   x  R n | ai x  bi  ; O  X i   x  R n | ai x  0 , iN .  X ( y )  x  R n | ai x  bi , i  N ( y) ;  m  Очевидно, що N ( y )   , XX(y)= y+O+X(y), O+XO+X(y). Теорема 5.9. Для будь-якої граничної точки yFrX істинні такі висловлювання: y Sl (C , X )  K1 O+X(y)= , y P(C , X )  (K1K2) O+X(y)= , y Sm(C , X )  K O+X(y)={0}. Доведення цієї теореми стає очевидним з урахуванням леми 5.6 і твердження 5.1. З теореми 5.9 можна отримати наступний наслідок.  \f133  Наслідок .  yP(С,Х)FrX: ySm(C,X)K0O+X(y)={0};  ySl(C,X)FrX: yP(С,Х)  K2O+X(у)= , ySm(C,X)  (K0K2)O+X(y)= {0}. Теорема 5.10. Нехай Sl  C , X   X . Достатньою умовою строгої ефективності деякого Парето-оптимального розв’язку yP(С,Х) є:   i  = {0}.  O X  iN ( y )     K0  (5.17)  Для доведення цієї теореми використаємо наступні твердження. Твердження 5.2 [131]. Якщо існують такі iR1, iN, для яких виконуються співвідношення i0,   i  1 ,  ici  0 , то Sl C , X   X .  iN  iN  У протилежному випадку слабо ефективними розв’язками можуть бути лише граничні точки множини Х. Лема 5.7.  yFrX: Sl (С,Х)  Х  Sl (С,Х(y))  Х(y). Доведення.  Нерівність  Sl  C , X   X означає,  що  існує  точка  x  X \\ Sl  C , X  і, таким чином, zХ Х(y) : Cz>Cx. Якщо z Sl (С,Х(y)), то справедливість леми очевидна. У протилежному випадку приходимо до висновку, що  x  X ( y ) \\ Sl  C , X ( y )  та Sl  C , X ( y )   X ( y ) . Лема 5.8. Для будь-якої точки yP(С,Х)FrX із співвідношення  Sl  C , X ( y )   X ( y ) випливає включення    i  K0  O Х(у) O X .  iN ( y )    +  (5.18)  Доведення. Розглянемо точку yP(С, Х)FrX. Тоді у відповідності до твердження 5.1: yP(С, Х(у)) і, крім того, справедливе включення  \f134  (у+K0)Х(у)P(С,Х(у)). З урахуванням умови Sl(С,Х(y))  Х(y) та згідно з твердженням 5.2 приходимо до справедливості включень X i та (у+K0)Х(у)  Sl(С,Х(у))FrX(у) iN ( y )  Xi . iN ( y )  Не обмежуючи загальності, перенесемо початок координат у вибрану точку у, і справедливість включення (5.18) стане очевидною. Доведення теореми 5.10. Виберемо точку y  P(C, X ) . Враховуючи умову Sl  C , X   X , твердження 5.2 та лему 5.7 робимо висновок, що yFrX і Sl  C , X ( y )   X ( y ) . Тоді згідно з наслідком з теореми 5.9 дійшли до висновку, що K0О+Х(у) ={0}  ySm(C,X), а з урахуванням леми 5.8  до включення (5.18). Таким чином, достатність умови (5.17) стає очевидною. Далі означимо додатково ряд понять, які будуть використані в наступних теоремах [137−139]. Для довільного достатньо малого числа 0 задачу (С(),Х()): max{C()xxX()}, де C()Rn, X()={xRnA()x  b()}, A()Rmn, b()Rm, будемо називати збуреною задачею, яка належить -околу задачі (С,Х), якщо виконані умови ║С()–С║, ║А()–А║, ║b()–b║,  (5.19)  де ║z║ евклідова норма будь-якого вектора zRq, а під нормою деякої матриці B=[bij]mnRmn розуміємо евклідову норму вектора (b11, b ,...,bmn). Рецесивний конус множини Х() позначимо O+Х()={xRnА()х0}, а конус перспективних напрямків збуреної задачі – К()={xRnС()х0}. Крім того, К0()={xRnС()х=0}, К1()={xRnС()х0}, К2()=К()\\(К0() К1()). Задачу (C,X) будемо називати стійко Sm-розв’язуваною, якщо вона Smрозв’язувана і існує таке число , що всі збурені задачі (С(),X()) з  \f135  -околу задачі (С,X) теж є Sm-розв’язувані. Задачу (C,X) назвемо нестійко розв’язуваною, якщо вона P-розв’язувана, але для будь-якого  існує Sl-нерозв’язувана збурена задача (C(), X()) з -околу задачі (С,X). Задачу (С,X) будемо називати нестійко нерозв’язуваною, якщо вона Pнерозв’язувана, але для будь-якого  існує збурена P-розв’язувана задача (C(), X()). Задачу (С,X) назвемо стійко Sl-нерозв’язуваною, якщо вона Slнерозв’язувана і існує таке   , що всі збурені задачі (C(), X()) з  -околу задачі (С,X) теж Sl-нерозв’язувані. Теорема 5.11. Якщо  уFrX: KO+X(y)={0}, то задача (С,Х) стійко Sm-розв’язувана. Доведення. Нехай уFrX та KО+X(y)={0}. Тоді згідно з теоремою 5.9 ySm(C,X), і отже, задача (C,X) Sm-розв’язувана. Крім того, очевидно, що спряжений конус (KО+X(y))* співпадає з Rn. В силу леми 8.7 з [144] знайдеться такий -окіл задачі (C,X(y)), що для кожної збуреної задачі (С(),Х(y,)) для якого виконується співвідношення (K()О+Х(y,))*=Rn, де О+Х(y,))={xRnA(y,)х0}, A(y,) – збурена матриця А(у), ║A(y,)–А(у)║. Таким чином, K()О+Х(y,))={0}. За теоремою 5.9 з останнього співвідношення виходить, що yS(C(),X()), тобто в -околі задачі (C,X) для кожної збуреної задачі (C(),X()) множина строго ефективних точок не порожня. Теорема 5. . Якщо K0O+X\\{0} і yFrX: KO+X(y)K0, то задача (С,X) нестійко розв’язувана.  \f136  Доведення. Нехай у відповідності до умов теореми х: Сх=0, Ах0, х0, та yFrX: (K1K2)O+X(y)=. Із останнього співвідношення згідно з теоремою 5.9 випливає включення yP(С,Х) і, отже, задача (C,X) Pрозв’язувана. Для довільного 0 розглянемо збурену задачу (C(),X()), в якій кожен і-й (іІ) вектор-рядок сі() матриці С() визначимо за формулою: ci()=ci+  x x  , iN , де - параметр збурення, (0,); А()=А. Очевидно, що  ║С()–С║=, ci()x=   x  >0 iN. Отже, xK1()О+Х(), де O+X()=O+X,  і K1()О+Х(), звідки згідно з теоремою 7 з [136] виходить, що Sl(C(),X())=. Таким чином, в довільному -околі задачі (С,Х) знайдеться Sl-нерозв’язувана задача (C(),X()). Доведення завершено. Теорема 5.13. Якщо K2O+X і yFrX: K1O+X(y)=, то задача (С,Х) нестійко нерозв’язувана. Доведення. З першої умови теореми випливає, що (K1K2)O+X. Тоді у відповідності до теореми 5.9 з [136] P(С,Х) =, і задача (С,Х) Pнерозв’язувана. Для будь-якого >0 розглянемо таку збурену задачу (С(),Х()) з -околу задачі (С,Х). Покладемо, що кожний вектор-рядок збуреної матриці С() має вигляд: сі()=сі-u, iN, де u=  i>0  iN,   ici , u0, iR1,  iN   i =1, тобто uri K*,  – параметр збурення, значення якого  iN    виберемо з інтервалу 0<<min 1,         ; X()=X. У відповідності до лем 5.2– u    5.4 з [133, стор. 136], які стосуються властивостей збурених у такий спосіб конусів перспективних напрямків, приходимо до висновку, що при вибраному  із  зазначеного  вище  інтервалу  значенні  параметра    \f137  справджуються включення K()K, K()KK0K1, K0K0() і, отже, K1()K2()K1.  Тоді  згідно  з  другою  умовою  теореми  (K1()K2())O+X(у)=, і за теоремою 5.9 yP(C(),X()). Таким чином задача  (C(),X())  є  P-розв’язуваною,  а  задача  (С,Х)  нестійко  нерозв’язуваною. Аналізуючи доведення цієї теореми, а також виходячи з теореми 7 з [58], приходимо до наступного твердження. Твердження 5.3. Для будь-якого >0 в -околі кожної Sl-розв’язуваної задачі (С,Х) існує P-розв’язувана збурена за критеріями задача (С(),Х). Розглянемо множину O+X1 ={xRnАx<0}O+X. Теорема 5.14. Якщо K1O+X1, то задача (С,Х) стійко нерозв’язувана. Доведення. За умови даної теореми та за теоремою 5.7 приходимо до висновку, що задача (С,Х) є Sl-нерозв’язуваною. Проте, очевидно, хK1O+X1: Cх>0, Ах<0. Позначимо di=ci, di()=ci() i  N , d+i=ai, d+i()=ai() i  N  m . Виберемо значення величини  з інтервалу:  0  min{di x i  N  m} . Розглянемо будь-яку збурену задачу (С(),Х()) з x  околу задачі (С,Х). Тоді i  N  m виконуються співвідношення  di () х  di х  (di () х  di х)  di х  (di ()  di ) х  di х  || di ()  di ||  || х ||  di х   || x || di x  min{di x i  N  m}  0 , тобто ci()х>0 iN, аi()х<0  iNm і хK1()O+X(). Таким чином, згідно з теоремою 5.7 виходить, що (С(),Х()) – задача Sl-нерозв’язувана. Це завершує доведення.  5.5 Умови оптимальності в задачах векторної оптимізації з опуклою допустимою множиною  \f138  Розглянемо задачу векторної оптимізації в наступній постановці: (C , X ) : max{Cx | x  X } ,  де X – непорожня опукла замкнена множина в R n , що має вигляд      X  x  R n  fi ( x)  0, i  N m ; fi ( x ) , i  Nm  {1,..., m} – опуклі функції в R n ;  C – лінійне відображення R n в R , а також матриця в R n , що йому відповідає. Очевидно справедливі висловлення: x  X x  Sl (C , X )  { y  X  Cy  Cx}   , x  P(C , X )  { y  X  Cy  Cx, Cy  Cx}   ,  (5.20)  x  Sm(C , X )  { y  X  y  x, Cy  Cx}   .  Також справедливі співвідношення: P(C , Sl (C , X ))  P(C , X ) ,  Sm(C , Sl (C , X ))  Sm(C , P(C , X ))  Sm(C , X ) ,  Sm(C, X )  P(C, X )  Sl (C, X ) .  Під розв’язанням задачі (C , X ) розуміємо деяку підмножину множини Sl (C , X ) .  Задачу (C , X ) назвемо P -нерозв’язуваною, якщо P(C , X )   . В протилежному випадку задача (C , X ) є P -розв’язуваною. Аналогічно означимо поняття Sl - і Sm - нерозв’язуваної ( Sl - і Sm - розв’язуваної) задач. Співвідношення між цими поняттями вважаємо очевидними. Продовжуючи дослідження, розпочаті в роботах [134, 136−140], розглянемо необхідні та достатні умови оптимальності розв’язків векторної задачі (C , X ) , а також умови розв’язуваності цієї задачі при збуренні її вхідних даних.  \f139  Аналіз задачі (C , X ) будемо проводити з урахуванням властивостей      конуса K  x  R n  Cx  0  перспективних напрямків [133] задачі (C , X ) ,      конуса O  X  y  R n  x  X : x  ty  X , t  0, t  R1 рецесивних напрямків допустимої множини X , який містить точки, відмінні від початку координат тільки за умови необмеженості множини X допустимих розв’язків, та ще деяких опуклих замкнених конусів  Q ( y )  y  , які можуть бути побудовані для всіх граничних точок y  X . Позначимо K 0  {x  R n  Cx  0} – ядро відображення C : R n  R ,      int K  x  R n  Cx  0  – внутрішність конусу K . Враховуючи формули  (5.20), очевидно, що x  X x  Sl (C , X )  ( x  int K )  X   ,  x  P(C, X )  ( x  ( K \\ K0 )  X   ,  (5.21)  x  Sm(C , X )  ( x  K )  X \\ {x}   .  Як відомо з теореми 1 з [131, стор.163], в зв’язку з лінійністю функцій критерію задачі (C , X ) і незалежно від будови допустимої множини X ефективні та напівефективні розв’язки можуть або складати всю множину  X , або знаходиться лише на її границі. Тому при встановленні необхідних і достатніх умов оптимальності різних видів розв’язків задачі (C , X ) будемо розглядати лише граничні точки множини X . Позначимо FrB підмножину граничних точок деякої множини B . Нехай y  Fr X . Введемо до розгляду такі множини:      N ( y)  {i  Nm  fi ( y)  0} , X ( y )  x  R n  fi ( x)  0, i  N ( y ) ,  \f140  K0j  {x  Rn  c j x  0} , де c j – j -й вектор-рядок матриці C  R n , j  N . Крім того, якщо fi ( x), i  N ( y) , – неперервно диференційовні функції в просторі R n , визначимо множини  Q ( y )  {x  R n  fi ( y ), x  y  0, i  N ( y )} , Q0i ( y )  {x  R n  fi ( y ), x  y  0} , де fi ( y) – градієнт функції fi ( x ) в точці y, i  N ( y ) . Очевидно, що  y  Fr X : N ( y )   , y  O  X  X  X ( y )  Q ( y ) , FrK  jN  K0j ,  (5.22)  Q0i ( y ) .  (5.23)  FrQ( y )  iN ( y )  Лема 5.9. Для довільної точки y  Fr X співвідношення T ( y)  X \\ { y}    (5.24)  має місце тоді і тільки тоді, коли T ( y )  X ( y ) \\ { y}   ,  (5.25)  де T ( y ) – довільна опукла множина в R n , яка включає точку y . Доведення. Враховуючи, що X  X ( y ) , з умови (5.25) випливає співвідношення (5.24). Зворотне твердження доведемо  від супротивного.  Нехай T ( y)  X \\ { y}   , але x  T ( y )  X ( y ) \\ { y} . Оскільки T ( y)  X ( y) – опукла  множина,  то  відрізок  [ x, y ]  T ( y )  X ( y ) .   z  ( x, y)  X . Виберемо довільну точку  Покажемо,  z1  ( x, y ) . Якщо  що  z1  X , то  покладемо z=z1 . Якщо z1  X , то i1  Nm \\ N ( y) : fi1 ( z1)  0 . Але fi1 ( y)  0 , тому знайдеться z2  ( y, z1) , така, що fi1 ( z2 )  0 і fi1 ()  0  [ y, z2 ) .  \f141  Якщо  z2  X ,  покладемо  z=z2 ,  у  протилежному  випадку  i2  Nm \\ ( N ( y)  {i1}) : fi2 ( z2 )  0 . Продовжуючи такий процес, отримаємо за скінченне число кроків (  m ) точку z  ( x, y )  X  T ( y )  X \\ { y} , існування якої суперечить умові (5.24). Доведення леми завершено. Враховуючи формули (5.21) і лему 5.9, приходимо до наступного твердження. Твердження 5.4. Для довільної точки y  FrX справедливі наступні висловлення: y  R(C , X )  y  R(C , X ( y )) , де R(C , X ) – множина P(C , X ), Sl (C , X ) або Sm(C , X ) .  Теорема 5.15. [138]. Нехай  y  Fr X . Якщо  fi ( x), i  N ( y ) , –  неперервно диференційовані функції, то співвідношення  int K  (Q( y)  y)   ,  (5.26)  ( K \\ K0 ) (Q( y)  y)   , K  (5.27)  (Q ( y )  y )  {0} .  (5.28)  є достатніми умовами для включень y  Sl (C , X ) , y  P(C , X ) , y  Sm(C , X ) відповідно. Крім того, якщо {ci  i  N } та  fi ( y)   i  N ( y ) – системи  лінійно незалежних векторів, то співвідношення (5.26) є також і необхідною умовою для включення y  Sl (C , X ) . Зауваження 5.1. Вимога лінійної незалежності векторів ci  i  N та  fi ( y)     i  N ( y ) приводить до виконання співвідношень: int K   ,  int Q( y)   , int K  ri K , int Q( y)  ri Q( y) , де ri B – відносна внутрішність  деякої множини B . Враховуючи наслідок 6.5.2 з [132], приходимо до висновку, що int K  (Q( y)  y)    int K  int(Q( y)  y)    K  int(Q( y)  y)   .  Доведення теореми 5.15. Достатність умов теореми стає очевидною, враховуючи включення X  Q( y ) , а також формули (5.21).  \f142  Необхідність. Нехай y  Sl (С , X ) , тобто згідно з формулами (5.21) ( y  int K )  X   .  Припустимо  (від супротивного  int K  (Q( y)  y)   ,  звідки  до  за  (5.29)  співвідношення (5.26)), що  наслідком  6.5.2  з  [132]  int K  int(Q( y)  y)   . Враховуючи також, що за умов даної теореми  лінійні оболонки конусів K і Q( y )  y співпадають з R n , та згідно з теоремою  5.4  [142,  стор.  31]  приходимо  до  висновку  про  невідокремлюваність конусів int K  {0} та int(Q( y )  y ) , які є локальними шатрами [143] у точці y множин ( y  int K )  { y} і X відповідно. Крім того, кожен з цих локальних шатрів не є лінійним підпростором в R n , що легко показати, виходячи з того, що точка  0  R n  не належить їхнім  внутрішностям, а також враховуючи теореми 1.1 і 6.1 з [142]. Тоді у відповідності до теореми 1.3 з [142, стор. 204] (( y  int K )  { y})  X \\ { y}   , що суперечить співвідношенню (5.29) і тим самим доводить необхідність виконання співвідношення (5.26) для будь-якої напівефективної граничної точки y  X за умов теореми. Таким чином доведення теореми завершено. Зауваження  5.2.  Для  встановлення  необхідних  умов  напів-  ефективності вимогу опуклості функцій fi ( x ) , i  Nm , можна опустити. Із теореми 5.15 можно отримати два наслідки, які справджуються якщо функції fi ( x), i  N ( y ) , є неперервно диференційовними. Наслідок 5.1.  y  Sl (C, X ) Fr X :  (Fr K \\ K0 )  (Q( y)  y)    y  P(C, X ) , Fr K  (Q( y)  y)  {0}  y  Sm(C , X ) .  Наслідок 5.2.  y  P(C, X )  Fr X :  K0  (Q( y)  y)  {0}  y  Sm(C, X ) .  \f143  Теорема 5.16 Якщо int K   і для деякої точки y  Fr X функції  fi ( x), i  N ( y) , строго опуклі, то справедливі висловлення: y  Sl (C , X )  y  Sm(C , X ) .  Доведення. Нехай y  Sl (C , X ) . Припустимо від супротивного, що y  Sm(C , X ) і згідно з твердженням 5.4 та формулами (5.21) справедливе  співвідношення ( y  K )  X (y) \\ { y}   . Очевидно, що множина X ( y ) є строго опуклою і тому, враховуючи наслідок 6.5.2 з [132], істинні висловлення:  ( y  K )  X ( y ) \\{ y}    ( y  K )  int X ( y )    ( y  int K )  X ( y )  , звідки за твердженням 5.4 та формулами (5.21) робимо висновок, що y  Sl (C , X ) , і приходимо до протиріччя. Отже, довели справедливість  висловлення y  Sl (C , X )  y  Sm(C , X ). Обернене твердження очевидне, оскільки справедливе включення Sm(C , X )  Sl (C , X ) . Із теорем 5.15 та 5.16 можна отримати наступний наслідок. Наслідок 5.3. За умов теореми 5.16 та неперервної диференційовності функцій fi ( y), i  N ( y) , співвідношення (5.26) є достатньою умовою того, що точка y  Fr X є ефективним і строго ефективним розв’язком задачі (C , X ) . А якщо врахувати також всі умови теореми 5.15, то (5.26) буде і необхідною умовою того, що y  P(C , X ) та y  Sm(C , X ) . Відмітимо, що для будь-якої точки y  Sl (C, X )  Fr X , такої, що функції  fi ( x), i  N ( y) ,    неперервно  диференційовні,  справедливе  включення K  (Q( y )  y )  iN ( y )  Q0i ( y )  y .  Дійсно, це випливає з співвідношення K  int(Q(y)  y)   ,  справджується за теоремою 5.15, а також з включення (5.23).  (5.30) яке  \f144  Виходячи з наслідків 5.1, 5.2 та включень (5.22), (5.30), робимо висновок, що  y  Sl (C , X )  Fr X справедливі висловлення: (FrK \\ K 0 )  iN  FrK  jN  K0i    i  (Q0 ( y )  y )     y  P(C , X ) ,  iN ( y )     (Q( y )  y )  {0}  y  Sm(C , X ) ,    i  (Q0 ( y )  y )   {0}  y  Sm(C , X ) ,  iN ( y )      i  (Q0 ( y )  y )   {0}  y  Sm(C , X )  iN ( y )     K0j  і  y  P(C, X ) Fr X :   0   (Q0i ( y )  y )   {0}  y  Sm(C , X ) .  iN ( y )     5.6. Розв’язуваність задач векторної оптимізації за умов можливих збурень вхідних даних векторного критерію Для матриці C і деякого числа   0 розглянемо множину збурених матриць як окіл точки C  R n наступного вигляду:    O(C , )  C ()  R n    C ()  C   , де під нормою  B  деякої  матриці B  [bij ]  R n розуміємо евклідову норму вектора (b11, b  ,..., b n ) .  \f145  Для довільного достатньо малого числа   0 і деякої матриці C ()  O(C , ) назвемо задачу (C (), X ) : max C () x  x  X  , збуреною за  векторним критерієм задачею, яка належить  -околу задачі (C , X ) . Введемо ряд означень, в яких задача (C , X ) характеризується з точки зору її розв’язуваності за умов можливих збурень коефіцієнтів векторного критерію [137]. Задачу (C , X ) будемо називати стійко Sm -розв’язуваною, якщо вона  Sm -розв’язувана й існує таке   0 , що всі збурені задачі (C (), X ) з  околу задачі (C , X ) теж є Sm -розв’язувані . Задачу (C , X ) назвемо нестійко Sl -розв’язуваною ( P -розв’язуваною), якщо вона Sl -розв’язувана ( P -розв’язувана), але для будь-якого   0 існує  Sl -нерозв’язувана збурена задача (C (), X ) з  -околу задачі (C , X ) . Задачу (C , X ) будемо називати нестійко Sl -нерозв’язуваною, якщо вона Sl -нерозв’язувана, але для будь-якого   0 існує збурена Sl розв’язувана задача (C (), X ) . Задачу (C , X ) назвемо стійко Sl -нерозв’язуваною, якщо вона Sl нерозв’язувана й існує таке   0 , що всі збурені задачі (C (), X ) з  -околу задачі (C , X ) теж Sl -нерозв’язувані. Для    будь-якої  C ()  O(C , )  матриці      визначимо  конуси    K ( )  x  R n  C ( ) x  0 , K 0 ( )  x  R n  C (  ) x  0 .  Теорема 5.17. Якщо для деякої граничної точки y  Fr X функції fi ( x), i  N ( y) , неперервно диференційовані і виконується умова (5.28), то  задача (C , X ) є стійко Sm - розв’язуваною. Доведення. Виходячи з умов даної теореми та враховуючи теорему 5.15, робимо висновок, що точка y  Sm(C , X ) і, отже, задача (C , X ) є  \f146  Sm -розв’язуваною. Крім того, з умови (5.28) випливає, що спряжений конус  K    (Q( y )  y )  співпадає з R n [57]. В силу леми 8.7 [144] знайдеться такий  окіл O(C , ) , в якому для кожної збуреної матриці C () виконуються   K ()  (Q( y)  y)   R n  співвідношення  і, отже, K ()  (Q( y)  y)  {0} .  Тоді за теоремою 5.15 маємо включення y  Sm(C (), X ) , що справджується для кожної збуреної задачі (C (), X ) з  -околу задачі (C , X ) і доводить стійку Sm -розв’язуваність останньої. Теорема 5.18. Якщо  K 0  O  X \\ {0}   ,  (5.31)  то задача (C , X ) є Sm -нерозв’язуваною і, крім того, для будь-якого   0 існує  C ()  O(C , ) ,  матриця  така,  що  задача  (C (), X )  є  Sl -  нерозв’язуваною. Доведення. З співвідношення (5.31) випливає, що K  O  X \\ {0}   , звідки за теоремою 4 з [136] робимо висновок, що Sm(C , X )   . Крім того, умова (5.31) означає, що  x  O  X : Cx  0, x  0 . Для довільного   0 розглянемо збурену задачу (C (), X ) , для якої кожний вектор-рядок ci (), i  N ,  матриці  C ()  O(C , )  визначимо  за  формулою  ci ()  ci  x \/ ( l x ) , де  - параметр збурення,  (0, ) , x  евклідова норма вектора x  R n . Очевидно, що  C ()  C   , ci () x   x \/  0   i  N . Отже, x  int K ()  O X   , звідки за теоремою 7 з [8] приходимо  до висновку, що задача (C (), X ) не є Sl -розв’язуваною. Враховуючи теореми 5.15 і 5.18, стає очевидним наступне твердження. Теорема 5.19. Нехай для задачі (C , X ) має місце співвідношення (5.31), а також існує точка y  Fr X , така, що виконується умова неперервної  \f147  диференційовності функцій fi ( x), i  N ( y) . Тоді з співвідношення (5.26) випливає нестійка Sl -розв’язуваність, а з (5.27) – нестійка P -розв’язуваність задачі (C , X ) Теорема 5.20. Якщо для деякої точки y  Fr X функції fi ( x), i  N ( y) , є неперервно диференційованими і виконується співвідношення (5.26), то задача (C , X ) є Sl -розв’язуваною і   0 існує матриця C() O(C, ) , така, що задача (C (), X ) є P -розв’язуваною. Доведення. P -розв’язуваність задачі (C , X ) безпосередньо випливає за теоремою 5.15 з формули (5.26). Для довільного   0 розглянемо збурену задачу (C (), X ) з  -околу задачі (C , X ) , побудовану наступним чином. Нехай кожен вектор-рядок ci (), i  N , збуреної матриці C () має вигляд ci ()  ci  u , де u   μc  i i  iN  1  0 , μ i  R , μi  0 i  N ,    параметр збурення, 0    min 1,  \/  μ  i   1,  -  iN    u . Враховуючи леми 5.2-5.4 [133,  cтор.136,], які стосуються збурених у такий спосіб конусів перспективних напрямків, приходимо до висновку, що при вибраних із заданого вище інтервалу значеннях параметра K ()  Тоді  K  K0  згідно    справедливі включення  K ( )  K ,  int K , K 0  K 0 () і, отже, K () \\ K0 ()  int K [146, 147].  з  другою  умовою  теореми  одержимо  ( K () \\ K0 ()) (Q( y)  y)   , і відповідно до теореми 5.15 y  P(C (), X ) .  Таким чином,   0 існує P - розв’язувана задача (C (), X ) . Аналізуючи доведення цієї теореми, а також враховуючи теорему 5.15, приходимо до наступного твердження. Теорема 5.21. Якщо виконуються умови теореми 5.15, то для будьякого   0 в  -околі кожної Sl - розв’язуваної задачі (C , X ) існує  P -розв’язувана збурена за векторним критерієм задача (C (), X ) .  \f148  Теорема 5.22. Якщо  (Fr K \\ K 0 )  O  X    (5.32)  і виконуються умови теореми 5.20, то задача (C , X ) є Sl -розв’язуваною, але нестійко P -нерозв’язуваною. Доведення. З співвідношення (5.32) випливає, що ( K \\ K 0 )  O  X   Тоді за теоремою 1 з [58] P(C , X )   , і враховуючи теорему 5.15, робимо висновок про нестійку P -нерозв’язуваність задачі (C , X ) . Опираючись на теорему 7 з [136] та нерівність Коші-Буняковського, нескладно довести справедливість наступної теореми. Теорема 5.23. Якщо int K  O X   , то задача (C , X ) стійко  Sl -нерозв’язувана. Доведення. За умови даної теореми та за теоремою 7 з [136] приходимо до висновку, що задача (C , X ) є Sl -нерозв’язуваною. Проте, очевидно, існує хK1O+X, тобто виконуються умови Cx  0, Ax  0 .Виберемо значення величини  з інтервалу 0     min{ci x i  N } . Розглянемо будь-яку збурену x  задачу (C (), X ) з -околу задачі (C , X ) . Тоді для будь-якого i  N виконуються співвідношення  ci (), x  ci , x   ci (), x  ci , x   ci , x   ci ()  ci  x    ci , x   ci ()  ci  x  ci , x   x  ci , x  min  ci , x | i  N  тобто ci (), x  0  i  N , і отже точка хK1()O+X.   0,  \f149  Таким чином, згідно з теоремою 7 з [136] випливає, що задача (C (), X ) є Sl-нерозв’язувана. Це завершує доведення.  5.7 Оптимальність розв’язків векторних задач дискретної оптимізації з псевдоопуклими функціями обмежень В даному підрозділі сформульовано умови оптимальності розв’язків векторної задачі дискретної оптимізації на допустимій множині, що описується псевдоопуклими функціями обмежень. Отримано достатні умови Парето-оптимальності, слабкої й строгої оптимальності розв’язків векторної задачі [149, 150]. Знаходження необхідних і достатніх умові снування, оптимальності й стійкості розв’язків векторних дискретних задач є актуальною проблемою, оскільки знання таких умов дає основу для розробки способів перевірки оптимальності й властивості стійкості того або іншого обраного розв’язку й побудови ефективних методів пошуку множини оптимальних розв’язків, які мають деякі заздалегідь задані властивості інваріантності при можливих збуреннях вхідних даних задачі [133, 135 − 140]. В роботах [150, 151, 154] cформульовано умови оптимальності розв’язків векторної задачі дискретної оптимізації на допустимій множині, що описується псевдоопуклими функціями обмежень. Природно, існують функції, які мають частину властивостей опуклих функцій і дозволяють узагальнити ряд методів для розв’язання задач, що включають у себе такі функції. Функція  f ( x) , визначена на відкритій множині G , називається  псевдоопуклою у точці x0  G , якщо з того, що  f  x0  , x  x0  0 ,  випливає, що f  x   f  x0  для всіх x  G . Еквівалентною є імплікація: з  \f150  f  x0  , x  x0  0  x  G . Функція  того, що f ( x)  f ( x0 ) , випливає, що  f ( x) називається псевдоопуклою на множині G , якщо для довільних точок x0 , x  G таких, що f  x0  , x  x0  0 виконується умова f ( x)  f ( x0 ) , що  еквівалентно умові, якщо f ( x)  f ( x0 ) , то f  x0  , x  x0  0. Якщо функція f ( x) псевдоопукла, то функція (– f ( x)) – псевдоугнута.  Задачі псевдоопуклої оптимізації є безпосереднім розширенням класу задач опуклої оптимізації. Поняття псевдоопуклості для диференційовних функцій було запропоновано ще в 1965 році О. Мангасаріаном [152]. Хоча задача псевдоопуклої оптимізації сформульована вже давно і на практиці досить часто зустрічаються такі задачі, розділ псевдоопуклої оптимізації досліджений далеко не повно. Незважаючи на те, що псевдоопуклі функції багатьма важливими властивостям близькі до опуклих, добре вивчений і розвинутий апарат опуклого аналізу зазвичай не вдається безпосередньо використовувати для побудови й обґрунтування методів псевдоопуклої оптимізації.  5.8 Постановка задачі, основні визначення та допоміжні відомості Розглянемо векторну задачу дискретної оптимізації такого вигляду: Z P  F , X  : max  F ( x) | x  X  ,  де F ( x)  ( f1( x),..., f ( x)) – векторний критерій; fi : R n  R1, i  N  1,...,  X    –  непорожня  множина    в  Rn ,  X  ,  X G  ,  Zn,  n 1 G  x  R n | gi ( x )  0, i  N m , gi : R  R , i  N m .  Згідно [131, 133, 134] для кожного x  X істині такі твердження  x  Sl  F , X     y, F , X    y  X | F  y   F  x    ,  (5.33)  \f151  x  P  F , X     y, F , X    y  X | F  y   F  x  , F  y   F  x    , (5.34) x  Sm  F , X     y, F , X    y  X | y  x, F  y   F  x    , Sm  F , X   P  F , X   Sl  F , X  .  (5.35) (5.36)  Відмітимо [131], що із скінченності допустимої області X випливає непорожність множини Парето P( F , X ) і її зовнішня стійкість, яка означає, що  x  X  y  P( F , X ) , що задовольняє нерівність F ( y)  F ( x) . Якщо у формулах (5.33) – (5.36) замість X поставити X  O  x  , де  O  x  – деякий окіл точки x , то допустимий розв’язок x будемо називати  відповідно локально ефективним, локально строго ефективним і локально слабко ефективним розв’язком. Позначимо відповідні множини locO x Sm  F , X  , locO x  P  F , X  і locO x  S   F, X  .  Очевидно, що  locO x Sm  F , X   locO x  P  F , X   locO x S  F , X  .  Отже, якщо locO x  Sm  F , X    , то не порожні й інші із зазначених тут локально ефективних множин.  5.9 Умови оптимальності розв’язків векторної задачі з псевдоопуклими функціями обмежень Нехай функції fi ( x), i  N , часткових критеріїв є псевдоугнутими функціями, а gi , i  Nm gi , i  Nm , – псевдоопуклі функції. Введемо до розгляду неперервну векторну задачу, що відповідає задачі Z P  F , X  .  \f152  Z P ( F , G ) : max{F ( x) x  G} .  Позначимо Fr B  сукупність всіх граничних точок деякої множини B , int B  B \\ Fr B . Для довільного розв’язку y  Fr G визначимо такі множини:      N ( y )  i  N m gi ( y )  0 , G ( y )  x  R n gi ( x)  0, i  N ( y ) ,    K ( y )   x  R n fi ( y ), x  y  0, i  N  , K 0 ( y )   x  R n fi ( y ), x  y  0, i  N  ,  H ( y )  x  R n gi ( y ), x  y  0, i  N ( y ) ,  де fi ( y) – градієнт функції fi ( x ) в точці y. З огляду на висловлювання (5.33)(5.36), справедливі при X  G , та очевидні включення X  G  G ( y )  H ( y ) ( y, F , G)  int K ( y) , ( y, F , G)  K ( y) \\ K0 ( y) ,  ( y, F , G)  ( y, F , G)  ( y, F , G)  K ( y) ,  доходимо до висновку про справедливість наступної теореми. Теорема 5.24. [150]. Нехай y  FrG  Z n . Якщо gi ( x), i  N ( y ) , і   fi ( x), i  N , – псевдоопуклі функції, то умови  int K ( y)  G( y)   ,  (5.37)  ( K ( y) \\ K0 ( y))  (G( y)   ,  (5.38)  K ( y )  G ( y )  {0}  (5.38)  є достатніми для належності ySl(F,X), yР(F,X), ySm(F,X) відповідно. Якщо {fi ( y)  i  N } й {gi ( y)  i  N ( y)} – системи лінійно незалежних векторів, то співвідношення (5.37) є необхідною умовою для y  Sl ( F , G ) .  5.10 Багатокритеріальні задачі лексикографічної оптимізації  \f153  Метою досліджень, представлених в даному підрозділі і відображених в роботах [153, 154], є встановлення умов існування оптимальних розв’язків багатокритеріальних задач лексикографічної оптимізації з необмеженою допустимою множиною на основі використання властивостей рецесивного конусу опуклої допустимої множини [132], конусу, що лексикографічно її впорядковує вiдносно векторного критерiю [155], та локальних шатрів [143] в граничних точках допустимої множини. Постановка задачі. Розглянемо задачу лексикографічної оптимізації наступного вигляду: Z L  F , X  : max L F  x  x  X ,  де F  x    f1  x  ,  ,f   x  ,   2, f k  x   ck , x , ck  R n ,      k  N  1,2,..., , X  x  R n g i  x   0, x  0, i  N m ,  gi  x  , i  Nm ,  опуклі функції. В задачі лексикографічної оптимізації часткові  −  критерії  впорядковані за важливістю. При цьому виникає поняття лексикографічного оптимуму. Означення 5.1. Вектор x лексикографічно переважає вектор x  , коли виконується одна з  умов:  1)  f1  x   f1  x  ;  2)  f1  x   f1  x  , але f 2  x   f 2  x  ;  ……………………………………….. ) f j  x   f j  x , j  1,...,  1, але f   x   f  x  .  Означення 5.2. Вектор x еквівалентний вектору x  , коли за кожним критерієм вектори x та x  мають однакові оцінки, при цьому x  x .  \f154  Під розв'язанням задачі Z L  F , X  будемо розуміти пошук елементів множини L  F , X  лексикографічних оптимальних розв'язків, яку задамо в такий спосіб:  L  F , X   x  X |  x, F , X   , де    x, F , X   x  X | j  N : f j ( x)  f j ( x)  j  min i  N : fi ( x)  fi ( x ). Безпосередньо з означення лексикографічно оптимальних розв'язків випливає, що множину L  F , X  можна задати за допомогою рекурентних співвідношень Таким чином,  Li  F , X   Arg max{ fi ( x ) : x  Li 1  F , X  , i  N ,  (5.39)  де Arg max{}  − множина всіх оптимальних розв’язків відповідної задачі максимізації, L0  F , X   X , L  F , X   L  F , X  . Із  співвідношень  (5.39)  випливає,  справедливість  включень  послідовності множин  X  L1  F , X   L2  F , X   ...  L  F , X   L  F , X  , тобто кожен наступний частковий критерій звужує множину розв’язків, отриманих з урахуванням всіх попередніх часткових критеріїв. Згідно [155] введемо означення. Означення 5.3. Вектор z  R називається лексикографічно додатним, якщо перший його ненульовий компонент у порядку зростання індексів компонент є додатним. Будемо позначати лексикографічну додатність вектора z  R  як:     z  L 0 , тут  L − знак відношення лексикографічно більше. Вектор z  R вектор  z  y  лексикографічно більше вектора y  R z  L y , якщо  лексикографічно  додатний,   z  y   L 0.  При  такому  \f155  упорядкуванні будь-які два вектори однієї розмірності порівнювані між собою. Отже, для будь-яких векторів a , b  R  a  L b , тоді й тільки тоді, коли  існує 1  i  , таке що ai  bi , і якщо i  1 , то ak  bk , k  1,2,..., i  1. Вектор     a лексикографічно не менше вектора b , a  L b , якщо a  L b або a  b ,  L − знак відношення лексикографічно не менше. Означення 5.4. Розв'язок x  X задачі Z L  F , X  будемо називати лексикографічно оптимальним, якщо він не гірше будь-якого іншого допустимого розв'язку y  X в розумінні відношення  L , тобто якщо     F x  F  y   L 0 .  Отже, для довільного x  X справедливе твердження      x  L  F , X   y  X | F  y  L F  x    .  У лексикографічній задачі оптимізації досягають як завгодно малого приросту більш важливого критерію за рахунок будь-яких втрат за іншими менш важливими критеріями.  5.11 Існування лексикографічно оптимальних розв'язків Існування оптимальних розв'язків на допустимій множині  Х  і  структура множини оптимальних розв'язків залежать від властивостей порядку відношення переваги, структури допустимої області Х , природи її елементів та ін. Згідно [155] скінченність множини Х є достатньою умовою існування оптимальних розв'язків лексикографічної задачі оптимізації. Також множина  LF, X   не  порожня,  якщо  множина  векторних  оцінок  \f156  Y  F ( x ) | x  X  − обмежена і замкнена. Однак у випадку нескінченної  допустимої області Х множина лексикографічно оптимальних розв'язків може бути порожньою. Актуальним  є  вивчення  питань  можливості  розв'язання  лексикографічних задач векторної оптимізації, у яких множина допустимих розв'язків необмежена і опукла. Необмеженість опуклої множини Х означає, що 0 Х \\ 0   , де      0 Х  y  R n | x  X : x  ty  X , t  0  рецесивний конус множини Х .  Аналіз задачі Z L  F , X  рецесивного конусу 0 Х  проведемо з урахуванням властивостей  [132] й конусу      K L  x  R n Cx  L 0 , що  лексикографічно впорядковує допустиму множину вiдносно критерiїв оптимізації,  який  назвемо  також  конусом  перспективних  [133]  лексикографічних напрямків задачі Z L  F , X  , оскільки перехід з будь-якої точки х1  R n в точку x2  x1  y , де y належить конусу K L , приводить до нерівності Cx2  L Cx1 , тобто до лексикографічного зростання значень векторного критерію задачі. Конус K L , що визначає лексикографічний порядок у просторі R , є опуклим конусом напрямків лексикографічно додатних векторів і його можна подати у вигляді об'єднання множин, що не перетинаються: K L  K1  K2    ...  K ,    де K1  x  R n | c1x  0 ,      K 2  x  R n | c1x  0, c2 x  0 ,  …,      K  x  R n | c1x  0, c2 x  0,..., c 1x  0, c x  0 ,  \f157  Для довільного x  X істинне висловлювання [2]:    x  LF, X   x  K L    X  .  (5.40)  Продовжуючи дослідження питань існування різних видів оптимальних розв'язків векторних задач оптимізації 136-140, розпочаті в роботі 155 для лексикографічних задач, розглянемо необхідні й достатні умови існування лексикографічно оптимальних розв'язків задачі Z L  F , X  . У випадку опуклої замкненої необмеженої допустимої множини X задачі Z L  F , X  справедлива теорема. Теорема  5.25.  Необхідною  умовою  існування  лексикографічно  оптимальних розв'язків задачі Z L  F , X  є порожній перетин конуса K L перспективних лексикографічних напрямків і рецесивного конуса 0 Х , тобто  KL  0 X   .  (5.41)  Доведення. Припустимо від супротивного, що множина L( F , X )   , але не виконується умова (5.41), тобто перетин конусів K L та 0 X не порожній: K L  x  K L  0 X   . Тоді x  X справедливі співвідношення:    X  x  KL    x  0 X   x   K L    0 X   .  Враховуючи формулу (5.40), можна зробити висновок, що множина  L( F , X )   . Але це суперечить умові теореми й тим самим доводить її справедливість. Обернене твердження теореми в загальному випадку не вірне. У монографії [155, с.113] наведено приклад, у якому для допустимої множини X виконана умова (5.41), але множина її крайніх точок є необмеженою, і в  результаті множина L( F , X )   . Напрямок лексикографічно додатного вектора будемо називати лексикографічно додатним напрямком.  \f158  Справедлива теорема [155, c.113]. Теорема 2.26. Нехай V − непорожня множина крайніх точок опуклої замкненої множини X . Якщо V − обмежена множина, то множина X має лексикографічний максимум тоді й тільки тоді, коли вона обмежена за всіма лексикографічно додатними напрямками. В наших позначеннях за умов теореми 5.26 множина L( F , X ) не порожня тоді й тільки тоді, коли виконується умова (5.41). У випадку опуклої необмеженої і багатогранної множини  X  справедливий наслідок з теореми 2.26 [155, c.114]. Наслідок.  Замкнена  опукла  багатогранна  множина  X  має  лексикографічний максимум тоді й тільки тоді, коли вона обмежена за всіма лексикографічно додатними напрямками. З теореми 5.25 та наслідку з теореми 5.26 випливає справедливість наступної теореми. Теорема 5.27. Нехай допустима множина X задачі Z L  F , X  є замкненою опуклою багатогранною множиною. Необхідною і достатньою умовою існування лексикографічно оптимальних розв'язків цієї задачі є виконання рівності (5.41). Зазначимо, що умова багатогранності опуклої замкненої необмеженої множини X є істотною для ствердження того факту, що умова (5.41) є необхідною й достатньою умовою існування лексикографічно оптимальних розв'язків задачі Z L  F , X  .  \f159  6 МЕТОДИ РОЗВ’ЯЗАННЯ ВЕКТОРНИХ ТА ДВОРІВНЕВИХ ЗАДАЧ ДИСКРЕТНОЇ ОПТИМІЗАЦІЇ  Розв’язання складних задач дискретної оптимізації у наш час важливе й актуальне. На сьогоднішній день багатокритеріальні та дворівневі задачі дискретної оптимізації широко використовуються як математичні моделі формування і прийняття рішень в багатьох прикладних галузях [156−161], тому такі задачі актуальні і вимагають подальшого вивчення. Однією з найважливіших відмінностей задачі багатокритеріальної оптимізації від однокритеріальної є принципово різна структура розв’язку, що отримується В векторних задачах дискретної оптимізації йдеться про пошук елементів або цілих множин непорівнюваних розв’язків, відомих як Парето-оптимальні (ефективні), оптимальні за Слейтером (слабко ефективні), оптимальні за Смейлом (строго ефективні) розв’язки [131]. Дискретні задачі дворівневого програмування в порівнянні з неперервними є більш складними й недостатньо дослідженими Це приводить до необхідності побудови ефективних методів та програмно-алгоритмічних засобів розв’язання задач дискретного програмування, які характеризуються багатокритеріальністю, ієрархічною структурою, неповнотою вхідної інформації. Наявність таких характеристик ускладнює пошук оптимальних розв’язків задач, у зв’язку з чим виникає нагальна потреба у вдосконалення існуючих, створенні нових і модифікації відомих підходів до їх розв’язання.  6.1 Векторні задачі лінійної оптимізації з булевими змінними Окремим і важливим напрямом цілочислової оптимізації є напрям досліджень оптимізаційних задач, в яких шукані змінні можуть приймати не  \f160  будь-які цілочислові значення, а тільки одне з двох: 0 або 1. Застосування булевих змінних дає можливість накладати на задачу, що розв’язується цілий ряд логічних умов. За допомогою використання булевих змінних розв’язуються різноманітні за змістом задачі, пов'язані, наприклад, з процесами  вибору  програмування.  різних  Основна  варіантів,  ідея  а  також  запропонованого  задачі в  дискретного  даному  підрозділі  адитивного алгоритму розв’язання векторних задач лінійної оптимізації з булевими змінними [162], що побудований на основі методу Балаша [163], полягає в побудові послідовності часткових розв’язків та в видаленні деяких підмножин  їхніх  доповнень.  Однією  з  основних  властивостей  запропонованого алгоритму є те, що в ньому потрібне виконання тільки операцій додавання та віднімання. Постановка  задачі.  Розглянемо  багатокритеріальну  задачу  P  цілочислової лінійної оптимізації такого вигляду: n  fi ( x)   сij x j  min, i  N q  {1,..., q},  (6.1)  j 1  за умов n   alj x j  bl , l  N m  {1,..., m},  (6.2)  j 1  x j  0,1 , j  N n  1,..., n,  (6.3) де cij  0, i  Nq , j  Nn . Вводячи вектор вільних змінних y  R m , задачу (6.1) – (6.3) можна записати в канонічній матричній формі.  min Cx,  (6.4)  Ax  y  b,  (6.5)  за умов  \f161  x   x1, x2 ,..., xn  , x j 0,1 , j  N n ,  (6.6)  y  0.  (6.7)  Пробним розв’язком задачі (6.4) – (6.7) будемо називати будь-який (n  m) -вимірний вектор u  ( x, y ) , що задовольняє умови (6.5) і (6.6).  Якщо всі критерії задачі (6.4) – (6.7) рівноважливі, то під її розв’язанням будемо розуміти знаходження елементів множини P(С, X) – Парето-оптимальних або ефективних розв’язків [131]. Очевидно, що допустима множина X задачі (6.1) – (6.3) обмежена і дискретна. Як відомо [131], у цьому випадку множина ефективних розв’язків не порожня. Згідно [133, 156] для будь-якого x  X істинне твердження: x  P  C , X    z  X | Cz  Cx, Cz  Cx   .  Очевидно, що для n булевих змінних x j , j  Nn , існує 2n можливих наборів значень. Багато з них недопустимі, оскільки можуть не задовольняти обмеження (6.5) і лише підмножина множини допустимих розв’язків, що описується обмеженнями (6.5) – (6.7), є множиною Парето-оптимальних розв’язків. Для задачі з одним критерієм і обмеженнями вигляду (6.5) – (6.7) Е. Балаш [163] запропонував алгоритм часткового перебору допустимих розв’язків задачі з їх поступовою побудовою. Основна властивість алгоритму, запропонованого в даній роботі, полягає в отриманні Паретооптимальних розв’язків (або у з’ясуванні їх відсутності) шляхом розгляду лише деякої підмножини всіх пробних розв’язків.  6.2 Адитивний алгоритм розв’язання векторної задачі з булевими змінними  \f162  Введемо деякі позначення і визначення, які будуть використовуватись в алгоритмі для розв’язання задачі (6.4) – (6.7). Визначимо множину J s наступним чином J s  { j | j  Nn , x sj  1}.  (6.8)  Оскільки кожне обмеження (6.5) містить рівно одну змінну yi , розв’язок u s  ( x s , y s ) повністю визначається множиною J s . Дійсно, якщо 1, j  J s , x sj   0, j  N n \\ J s ,  (6.9)  то yis  bi   Вважаючи, що    jJ s  aij , i  N m .  J s  { j1, j2 ,..., jr } , розв’язок  (6.10)  u s  ( xs , y s )  будемо  позначати u( j1, j2 ,..., jr ) . Відповідні вектори значень критеріїв z i , i  N q , позначатимемо z si . Таким чином, zsi  ci , x s або zsi     jJ s  cij . .  (6.11)  Множини значень, які вектори функцій критеріїв набувають на розв’язках включно до ітерації s , позначимо Z si : Z si  {zip | u p  0, p  s} , i  Nq .  Якщо множина  Z si   ,  (6. )  i  Nq , то вектори з недомінованими  (найменшими) значеннями функцій критеріїв, які вона містить, назвемо рекордом для u s . Якщо множина Z si   , за рекорд беремо  . Таким чином, рекорд визначається таким чином  \f163   , Z i  , s s (i )    min z p , Z si  .  z i Z i  p s  (6.13)  При переході до ітерації s  1 номер j  N n вектора-стовпчика a j , що має бути введений в базис, обирається з множини N s , яка є множиною номерів векторів, що покращують розв’язок u s . Введемо до розгляду множини M sj  {i | yis  aij  0} .  (6.14)  Визначимо величини v sj , які будуть слугувати критерієм вибору стовпчика, що необхідно ввести в базис. Покладемо для розв’язку u s   ( y s  a ), M s  , i ij j  s iM s vj   j j  N s.  s 0, M j  ,  (6.15)  В ході алгоритму значення v kj , які відповідають розв’язку u k , будуть послідовно викреслюватися. Позначимо Cks ( k  s ) множину тих j , для яких k v kj , які відповідають розв’язку u , викреслені до моменту отримання  розв’язку u s . Множина Ckk  вважається порожньою. Далі визначимо  множину Cs  pJ p  J s  C sp ,  (6.16)  Множина C s є множиною всіх j , для яких v jp , що відповідають будьякому з розв’язків u p , для яких p  s і J p  J s , були викреслені до отримання розв’язку u s . Визначимо для u s множину таких j  Nn \\ C s , що  \f164  при переході від J s до J s 1  J s  { j} отримані значення критеріїв не менше  рекордів для u s : D s  { j | j  Nn \\ C s , cij  zsi  s (i ) , i  Nq } .  Визначимо множину E s таких j  N n \\ (C s J s до J s 1  J s  (6.17)  D s ) , що при переході від  { j} жодне від’ємне yis не збільшиться:  E s  { j | j  N n \\ (C s  D s ), yis  0 приводить до aij  0} .  (6.18)  Визначимо множину покращуючих векторів a j для пробного розв’язку us :  N s  N n \\ (C s  Ds  Es) .  (6.19)  Розглянемо два розв’язки u k і u s ( k  s ) . Визначимо аналогічну до (6.17) множину тих j  Nk \\ Cks , що при переході від J s до J s 1  J k  { j}  значення критеріїв zsi 1 буде не менше рекордів для u s : Dks  { j | j  Nk \\ Cks , cij  zki  s (i ) , i  Nq } .  Покладемо  N ks  N k \\ (Cks  Dks ) . Будемо  називати  (6.20) її  множиною  покращуючих векторів для розв’язку u k , що залишається після ітерації s . Роль множин (6.18) – (6.20) в алгоритмі досить велика. Для будь-якого розв’язку u s кандидатами для введення в базис є лише стовпці a j з номерами із N s . Якщо N s   , то це свідчить про відсутність розв’язків u t , для яких J s  Jt і zti  s(i ) . В цьому разі алгоритм відновлюється з деякого попереднього розв’язку u k , для якого розглядаються лише покращуючі вектори з номерами із Nks .  \f165  Алгоритм Опишемо одну ітерацію алгоритму. За початковий розв’язок беремо вектор  x 0  0, y 0  b та вектор значень критеріїв після виконання  s  u 0  ( x 0 , y 0 ) , в якому   z10 , z20 ,..., zq0    0,0,...,0.  ітерацій маємо розв’язок  Нехай  u s  u ( j1, j2 ,..., jr ) , що  задовольняє (6.8) – (6.10). Далі виконуємо наступні пункти алгоритму. 1. Переглянути yis , i  N m . 1.1. Якщо yis  0, i  Nm , покласти z si   s (i ) . Утворити згідно формули (6.20) множини Dks , викреслити всі vkj , j  Dks , k  s , і перейти до пункту 5. Якщо пункт 1.1 виконаний вже для u 0 , то u 0 є Парето-оптимальним розв’язком і процес розв’язання можна вважати закінченим. 1.6. Якщо існує i1 , для якого yis  0, i  N m , слід перейти до пункту 6. 6. Знайти множину покращуючих векторів для розв’язку  us ,  утворивши згідно формули (6.19) множини N s . 6.1. Якщо N s   , перейти до пункту 5. Інакше (якщо N s   ), перейти до пункту 3. 3. Для всіх i , для яких yis  0 , перевірити нерівності    jN s  aij  yis ,  (6.21)  де aij – від’ємні елементи матриці A . 3.1. Якщо існує i1 , для якого нерівність (6.21) не виконується, перейти до пункту 5.  \f166  3.6. Якщо всі нерівності (6.21) виконуються строго, слід знайти згідно (6.15) всі v sj для j  N s і вибрати js 1 таким чином, щоб  v sj  s 1  Далі викреслити всі v sj  s 1   max v sj , jN s  (6.22)  і перейти до пункту 8.  3.3. Якщо всі нерівності (6.20) виконуються і існує множина M s  Nm така, що для i  M s нерівності вигляду (6.20) виконуються як рівності, необхідно визначити множину F s таких j  N s , для яких aij  0 хоча б для одного i  M s . 4. Перевірити співвідношення zsi     jFs  cij   s (i ) .  (6.23)  4.1. Якщо нерівність (6.23) виконується, слід викреслити v sj для j  F s (не обчислюючи їх). Покласти J s 1  J s  F s , обчислити нові значення  векторів критеріїв та вільних змінних zsi 1  zsi  yis 1  yis       cij ,  (6.24)  aij , i  N m ,  (6.25)  jFs  jFs  і перейти до пункту 1, тобто почати нову ітерацію. 4.6. Якщо (6.23) не виконується, то викреслити v sj , j  N s , і перейти до пункту 5.  \f167  5. Для всіх k , для яких J k  J s згідно (6.21) знайти множини Nks . Переглянути їх у порядку спадання номерів k доти, поки не знайдеться таке k1 , що J k  J s і N ks   , або не виявиться, що всі Nks порожні. 1 1  5.1. Якщо N ks   для всіх k , за яких J k  J s , процес вважається закінченим. Якщо при цьому Z s   , то задача не має розв’язків. Якщо ж Z s   , то розв’язок u q , для якого zqi  s (i ) , є Парето-оптимальним.  5.6. Якщо N ks   , перейти до пункту 6. 1 6. Для тих i , для яких yis  0 , перевірити при k  k1 нерівності    aij  yik .  (6.26)  jN ks  6.1. Якщо жодна з нерівностей (6.26) при k  k1 не виконується, k  викреслити v j1 для всіх j  N ks і повторити пункт 5 для k  k1 , замінивши в 1 пунктах 5 і 6 k1 на k2 . Кожен раз, коли пункт 5 буде повторюватися для  k  k , в пунктах 5 і 6 k буде замінюватися на k1 . Якщо (6.26) не виконується за жодного k , для якого N ks   , процес закінчено (див. пункт 5.1). 6.6. Якщо всі нерівності (6.26) при k  kv виявляються строгими, слід вибрати js 1 таким чином, щоб k  v jv  s 1  k   max v j v , s jN k  v  k  Викреслити v j v і перейти до пункту 8. s 1  (6.27)  \f168  6.3. Якщо при k  kv всі нерівності (6.26) виконуються та  M ks  N m , v що для i  M ks всі нерівності (6.26) виконуються як рівності, слід перейти до v  пункту 7. 7. Перевірити співвідношення zki  v    cij   s (i ) ,  (6.28)  jFks v  де Fks – множина тих j  N ks , для яких aij  0 хоча б за одного i  M ks . v  v  v  k  7.1. Якщо нерівність (6.28) виконується, викреслити v j v для всіх  Fks , обчислити для нового розв’язку u s 1  j  Fks . Покласти J s 1  J kv v  v  значення цільових функцій та вільних змінних  zsi 1  zki  v    s 1 cij , yi  yi v  k    aij , i  N m ,  jFks v  jFks v  та перейти до пункту 1, тобто почати наступну ітерацію. Якщо (6.28) не k  виконується, то викреслити v j v для всіх j  N ks і повторити пункт 5 для v k  kv . Якщо kv  0 , тобто k  kv не існує, процес закінчено (див. пункт 5.1)).  8. Покласти J s 1  J p  { js 1} і обчислити для розв’язку u s 1 значення  векторів цільових функцій та вільних змінних zsi 1  z ip  cijs 1     jJ s 1  cij , yis 1  yip  aijs 1  bi   p тут p  номер останньої викресленої v j  s 1    jJ s 1  aij , i  N m ,  . Перейти до пункту 1.  \f169  Процес закінчується при досягненні розв’язку u t , для якого має місце пункт 5.1 або 6.1, причому нерівність вигляду (6.26) не виконується за жодного k такого, що N ks   , або ж має місце пункт 7.2) і kv  0 . Описаний алгоритм закінчується за скінчену кількість кроків і приводить до Парето-оптимального розв’язку або дозволяє встановити відсутність допустимих розв’язків вхідної задачі.  6.3 Застосування алгоритму до задачі вибору заходів модернізації джерел теплогенерації та систем теплопостачання з регіональних програм модернізації комунальної теплоенергетики Однією з важливих задач прийняття рішень при формуванні регіональних програм модернізації комунальної теплоенергетики України [164, 165] є встановлення набору заходів, впровадження яких дасть максимальний ефект за визначеними критеріями. Задачу вибору заходів в регіональних  програмах  модернізації  комунальної  теплоенергетики  формалізуємо наступним чином [166, 167]. Нехай n – кількість заходів, рекомендованих до впровадження в даному регіоні, v j – запропонований обсяг впровадження j -го заходу, x j  1, якщо  j -й захід реалізується і x j  0, у протилежному випадку, j  N n .      Сформуємо векторний критерій F  f1( x),... f q ( x) , тут q  3 . Критерій f1( x )  максимізує зниження витрат природного газу, що досягається  внаслідок впровадження заходів регіональної програми  \f170  f1( x )   n   c1 j x j  max , тут c1 j  – обсяг скорочення витрат природного  j 1  газу завдяки виконанню заходу j . Критерій f2 ( x) максимізує зниження викидів карбону в атмосферу, що досягається в результаті виконання заходів програми f 2 ( x)   n   c2 j x j  max , j 1  де c2 j – обсяг зниження викидів карбону для заходу f3 ( x )   j . Критерій  n   c3 j x j  max j 1  максимізує надійність системи теплопостачання за рахунок виконання заходів регіональної програми, тобто максимізує сумарну величину зменшення ризику відмови елементів системи при виконанні цих заходів. Тут  c3 j  –  величина  зменшення  ризику  відмови  елемента  системи  теплопостачання при запровадженні заходу j . Маємо наступну множину обмежень: а) на наявні фінансові ресурси, виділені для виконання регіональної n  програми   a1 j x j  b1 ; j 1  б) на термін окупності заходів max a2 j x j  b2 ; j 1, n  в) x j 0,1 , j  N n . Тут a1 j – витрати, необхідні для впровадження заходу j ; b1 – фінансові ресурси, виділені на реалізацію заходів; a2 j – термін окупності заходу j ; b2 – бажаний термін окупності заходів.  \f171  Парето-оптимальні розв’язки описаної багатокритеріальної задачі визначають  заходи  регіональної  програми,  які  слід  виконати  для  максимального скорочення використання природного газу, зниження викидів шкідливих речовин в атмосферу і покращення надійності системи теплопостачання з урахуванням обмежень на обсяг фінансування і термін окупності. Використання побудованої багатокритеріальної математичної моделі підвищує ефективність прийняття рішень при реалізації регіональних програм модернізації комунальної теплоенергетики. Розглянуто задачу вибору заходів модернізації джерел теплогенерації та систем теплопостачання Сумської області на основі використання багатокритеріального адитивного алгоритму [166, 167]. У першому критерії максимізувалося зниження витрат природного газу, яке досягається в результаті впровадження заходів регіональної програми. Другим критерієм максимізувалося зниження викидів карбону в атмосферу. У третьому критерії максимізувалася надійність системи теплопостачання, тобто мінімізувалася сумарна величину ризику відмови елементів системи при виконанні заходів регіональної програми. Як заходи і проекти щодо реконструкції і модернізації джерел теплогенерації та систем теплопостачання розглядалися: 1) переведення котельних теплопостачальних підприємств з газового на тверде або альтернативне паливо; 2) приведення до відповідності роботи систем теплогенерації з технічними вимогами щодо їх експлуатації; 3) впровадження постійного моніторингу контролю роботи систем теплопостачання, впровадження системи енергетичного менеджменту; 4) виведення з експлуатації малоефективних котлів, заміна застарілих котлів на сучасні; 5)  заміна  теплоізольовані;  трубопроводів  теплових  мереж  на  заздалегідь  \f172  6) утеплення захищаючих конструкцій будівель бюджетної сфери; 7) реконструкція центральних теплових пунктів: впровадження індивідуальних теплових пунктів; встановлення підмішувальних насосів; 8) заміна газових пальників застарілого типу на сучасні автоматичні, встановлення струйно-нішевих пальників; 9) встановлення системи глибокої рекуперації тепла від вхідних газів на потреби гарячого водопостачання; 10) закільцювання і оптимізація теплових мереж, перепідключення теплового навантаження із закриттям нерентабельних котельних. Заходи  і  проекти  щодо  реконструкції  і  модернізації  джерел  теплогенерації та систем теплопостачання представлені в таблиці 6.1. В результаті застосування адитивного алгоритму до розв’язання задачі вибору  заходів  теплопостачання  модернізації Сумської  джерел  області  теплогенерації  отримали  та  оптимальний  систем розв’язок  x*  (0,1,1,1,0,1,1,1,1,0) . Отже, слід реалізувати всі заходи регіональної програми  окрім 1, 5 та 10. Отже, розроблено багатокритеріальну математичну модель та адитивний алгоритм розв’язання векторних задач цілочислової лінійної оптимізації з булевими змінними, який дозволяє одержувати Парето-оптимальні розв’язки та відповідні їм оцінки в просторі критеріїв задачі. Використання побудованої  багатокритеріальної  математичної  моделі  та  алгоритму  підвищує ефективність прийняття рішень при реалізації регіональних програм модернізації комунальної теплоенергетики. 6.4 Метод розв’язання оптимістичної постановки дворівневої задачі дискретної оптимізації Розглянемо математичну модель дворівневої ієрархічної системи керування. Нехай центру R0 підпорядковані елементи системи управління  \f173    (підсистеми) R1 , R2 ,..., Rm . Центр R0 виробляє керуючу дію x  x1, x 2 ,..., x m    і повідомляє її підсистемам Ri , i  N m  1, 2,..., m, які в свою чергу обирають     y i xi , i  N m , із деяких множин власних керувань  власні керування     Gi xi , i  N m , що залежать від вибору керування центром R0 . Розглядається оптимістичної постановка дворівневої задачі дискретної оптимізації, що містить лінійну задачу цілочислової оптимізації нижнього рівня [159−161]. З використанням введених позначень дворівневу задачу запишемо в такий спосіб: знайти   ,  m  max f 0  x, y    ci , y i x i i 1  (6.29)   за умов x  x1, x 2 ,..., x m  X   x i  R , x i  0, i  N m |       m     xi  b  , i 1  6.30)                G  x    y  Z | y A  x  g , y  0, g  0, x  0, i  N . Тут G  x  − множина допустимих розв’язків підсистеми R y i xi  Yi xi  A rg max fi xi , y i xi | y i xi  Gi xi , i  i  n  i i  i  i  i  i  i  (6.31)  i  (6.32)  m  i  i  i  при  m     виділеному центром R0 векторі ресурсів xi . Позначимо G  x    Gi x i , де i 1   Gi  xi  − декартовий добуток множин Gi  xi  . m  i 1  Описана математична модель (6.29)−(6.32) (позначимо її P( L, F ) ) є задачею дворівневого програмування. Вона має наступну структуру. Задача верхнього рівня P( L) : m max  ci , y i xi  i 1      | x  x1, x 2 ,..., x m  X  ;       \f174  задачі нижнього рівня P i ( F ) :       max d i , y i xi     Тут y i xi       , i  N  | y i xi  Gi xi  m.  − оптимальний розв'язок задачі нижнього рівня P i ( F ) при  фіксованому x i  X . Отже, допустимими для задачі оптимізації P( L) верхнього рівня є розв'язки, оптимальні для задач Pi ( F ), i  N m , нижнього рівня та такі, що задовольняють обмеження верхнього рівня. Оптимальні розв'язки задач Pi ( F ) нижнього рівня залежать від допустимого розв'язку задачі P( L) верхнього рівня та використовуються для обчислення значення її цільової функції. Для розв'язання дворівневої задачі P( L, F ) в оптимістичній постановці, застосуємо підхід, описаний в [168] для задач із неперервними змінними, враховуючи, що розглянуті в нами даному підрозділі задачі Pi ( F ), i  N m ,  Pti ( F )  нижнього рівня дискретні. Сформулюємо задачу  дискретного  параметричного програмування нижнього рівня для підсистеми Ri . Вважаємо вектор x i залежним від параметра t   0,1 . Таким чином, маємо       max d i , y i | y i  Gti x i ,  Pti ( F ) :        Gti xi  y i  Z n | y i  0, y i Ai  txi  g i , xi  0, g i  0 , t  0,1.      xi  x1i , x2i ,..., xi   b1, b,..., b  .  Покладемо  Розв'язок задачі  Pti ( F )     позначимо y ti xi . Проведемо параметричний аналіз задач Pti ( F ), i  N m , для визначення інтервалів значень параметра t   0,1 , у межах яких розв'язки    зазначених задач залишаються оптимальними. Розв'язавши m задач виду P ( F ), i  N , t   0,1 , знаходимо розв'язок x   x , x ,..., x  задачі y i xi  i t  1  m  2  m  \f175  P( L) верхнього рівня за допомогою розв'язання допоміжної цілочислової задачі з булевими змінними, наведеної далі. Справедливі нерівності: f 0  x , y  x    f 0  x, y  x   , x  X ,       f  x , y ,  fi x i , y i x i  i  i  i       yi  Gi x i , i  N m ,    – оптимальний розв'язок     які свідчать про те, що x 1,..., x m , y 1 x 1 ,..., y m x m  дворівневої задачі P( L, F ) , якщо в процесі розв'язання задач верхнього й нижнього рівнів досягається оптимальність. Опишемо більш детально процес розв'язання дворівневої задачі P ( L, F ) .  Розглянемо задачу Pti ( F ), i  N m , нижнього рівня, що є задачею цілочислового параметричного програмування з параметром t   0,1 у     правих частинах обмежень, що описують її допустиму область Gti xi .     Припустимо, що G0i xi   . З опису задачі випливає, що для всіх       тому G  x    для всіх t  0,1 . Надалі припустимо, що множина G  x  обмежена, отже, обмежені й G  x  при всіх t   0,1. Для розв'язання  t , t   0,1 , таких, що t   t  , виконуються включення Gti xi  Gti xi , і i t  i  i 1  i t  i  i  параметричних задач виду Pti ( F ) використовуємо підхід, що полягає в наближеному розв'язанні серії задач цілочислового лінійного програмування методом напрямних околів [133, 157]. Дотримуючись зазначених робіт, введемо позначення й сформулюємо твердження.  {  }  Нехай S = s О Z n | a s П Z n \" a О (0,1) . Таким чином, будь-яку точку yZn  ( y  x, x  Z n  ) можна представити у вигляді  y  x  s,  де  \f176  s  S ,   Z 1,   0.  Множина Z n розглядається як метричний простір з  деякою метрикою   y , z  , певної  y, z  Z n . Нехай G – довільна підмножина в просторі Z n . Околом OG  y, r  із центром у точці y  Z n й радіусом r  0 називають множину всіх точок z  G, що задовольняють нерівність   y, z   r. Під напрямним околом Sr радіуса r > 0 будемо розуміти підмножину тих елементів із S , які належать околу O  Zn   x0 , r  ,  де x0 − нульовий елемент в  Z n . Для будь-якої точки y i  Z n в напрямному околі S r виділимо множину  напрямків, що ведуть до зростання значень цільової функції задачі Pti ( F ) :  {  }  Sr ( y i ) = s О Sr | d i , s > 0, y i + s і 0, avi , y i + s Ј g vi , \" v О {1,..., l }: xvi = 0 , де avi − v -я рядок матриці Ai , v  1,..., .     є точкою максимуму функції  щодо околу O   y , r  тоді й тільки тоді, коли в  Очевидно, що точка        fi xi , y i xi     d i , y i xi  y i  Gti xi  i  Gti  ( )  точці y i не існує жодного підходящого напрямку s О S r y i . Відповідно до [133] справедливе наступне твердження.          Твердження 6.1. Якщо точка y i xi  arg max d i , y i | y i  Gti xi     щодо околу радіуса r при фіксованому t    0,1 , то y i x i  є точкою  максимуму щодо околу радіуса r для всіх t  [ t , t ) , (і тільки для цих значень параметра): м ьп i i п y - g vi п av , % п i п t = max п x > 0,1 Ј v Ј l н э, v i п п xv п п п п п п о ю  \f177  м м ьп п п ai , % y i + si - gvi п п п п п п, якщо S ( % i i п min max x > 0, 1 Ј v Ј l н э v r y ) №Ж, п i i п п t = нпsОSr ( % y) xv п п п п п п о ю п п п +Ґ , у протилежному випадку, п о  при цьому t  t   t . Опишемо алгоритм знаходження локальних розв'язків параметричної задачі Pti ( F ) нижнього рівня, побудований на основі використання методу напрямних околів [133].  6.5 Алгоритм розв’язання задачі Pti ( F )  y i ,0 О G0i й задаємо цілочисловий 1. Вибираємо початкове наближення %  радіус r > 0 . Покладаємо k = 1, t0 = 0 . 2. На кожній k-й (k=1,2,…) ітерації алгоритму застосовуємо для пошуку локального розв'язку задачі P i ( F ) при t = tk - 1 метод напрямних околів, задаючи як початкове наближення y i,0 = % y i ,k - 1 . У результаті на деякому h-му кроці роботи алгоритму одержуємо точку y i ,h максимуму функції f ( y i ) щодо околу радіуса r.  3. Обчислюємо величини м i i,h ьп п av , y - g vi п п п i tk = max н xv > 0,1 Ј v Ј l п э, i п п x п п v п п п п о ю  (6.33)  мм ьп п п ai , y i ,h + s - gvi п п п п п п, якщоS ( y i ,h ) №Ж, i п min max x > 0, 1 Ј v Ј l н э v r п i h п tk = нп s О S ( y ) x п п r v п п п п оп ю п п п +Ґ , в протилежному випадку, п о  (6.34)  \f178  такі, що y i ,h буде точкою локального мінімуму функції f i ( y i ) для всіх значень t О[ tk , tk ) . Покладемо % y i ,k = y i ,h . Якщо tk Ј 1 , то заміняємо k на k+1 і переходимо до п. 2, а якщо ні, то до п. 4. 4.  Робота за алгоритмом закінчується, оскільки досліджено увесь  відрізок [0,1] зміни параметра t . У результаті роботи алгоритму побудована послідовність точок локальних максимумів % y i,1, % y i,2 ,..., % y i,k ,... і відповідна їй послідовність інтервалів [ t1, t1),[ t2 , t2 ),...,[ tk , tk ),... таких, що % y i ,k – точка локального максимуму для всіх значень t з інтервалу [ tk , tk ), k = 1,2,... . Згідно [133] справедлива наступна теорема. Теорема 6.2. Послідовності { tk } й {tk } значень параметра t , побудовані за формулами (6.33) і (6.34) згідно з алгоритмом розв'язання задачі Pti ( F ) , скінченні, а кількість ітерацій алгоритму не перевищує величини  (  )  h = a - fi ( % y i,1) \/ min  { d i , s | s О Sr , d i , s > 0}, де a   постійне число, таке,  ( )  що fi ( y i ) Ј a для всіх y i О G1i x i . Доведення. Виконання для задачі Pti ( F ) умов xvi і 0, v О N l , спричиняє побудову згідно з алгоритмом послідовності  {%yi,k } локальних  розв'язків  ( )  задачі Pti ( F ) , що є одночасно послідовністю точок з області G1i x i . Оскільки перехід від точки до точки здійснюється лише за умови зростання значень        цільової функції fi x i , y i x i   ,  d i , y i xi  (тобто вздовж перспективних  напрямків зростання), то виконуються нерівності fi ( % y i ,1 ) < fi ( % y i ,2 ) < ... < fi ( % y i ,k ) < f i ( % y i ,k + 1 ) < ...  \f179  y k + 1 ) - fi ( % y k ) і min та fi ( %  { di,s  }  | s О Sr , d i , s > 0 \" k = 1,2,...  ( )  З урахуванням обмеженості множини G1i x i з останніх нерівностей випливає справедливість теореми. Таким  чином,  у  процесі  розв'язання  задачі  цілочислового  програмування Pti ( F ) нижнього рівня для кожного регіону Ri , i  Nm , отримано        оптимальних  розв'язків  {    Yi x i  y i ,k x i , k  1,..., qi , i  N m ,  множини  і  }  T i = tk i , tk i , k = 1, ..., qi , i О N m ,  відповідних при  яких  їм  локально  значень  розв'язки  параметра  зберігають  свою     оптимальність. Тут qi − потужність множини Yi xi , i  N m . Далі серед     розв'язків, що містяться в множинах Yi xi , i  N m , слід вибрати ті розв'язки, на яких досягається максимум цільової функції задачі P( L) верхнього рівня за її обмежень, тобто розв'язати задачу: m i i i max  c , y x  i 1      | y i x i Yi x i , i  N m , x  x1, x 2 ,..., x m  X  .            Такий вибір можна здійснити на основі розв'язання наступної допоміжної задачі цілочислової оптимізації з булевими змінними: m qi  max  ci , y i ,k zik  (6.35)  i 1 k 1  за умов  m qi   tk i zik 1,  (6.36)  i 1 k 1  qi   zik 1, i  N m ,  k 1  (6.37)  \f180  м i п 1, якщо розв'язок % y i,k вибирається з множини Y% п i x , п zik = н п п у протилежному випадку, п о 0,  ( )  (6.38)  i  Nm , k  Nqi . Відзначимо,  що  задача  (6.35)–(6.35)  належить  до  класу  важкорозв’язуваних задач [169] і тому знайти ефективний алгоритм для одержання  її  точного  використовувати  розв'язку  наближені  складно.  методи  Для  цієї  розв'язання  задачі  задач  можна  лінійного  цілочислового програмування з булевими змінними, широко представлені в [158, 170]. За наближений розв'язок дворівневої задачі P( L, F ) вибираємо ті вектори y i ,k  Y i , i  N m , k  N qi , яким відповідають значення змінних zik  1.  Вектори  xi ,  i  Nm ,  обчислюємо в такий спосіб:  xi  tki b ,  i  N m , k  N qi , де tk i О T i . Розроблену математичну модель і метод застосовано до розв’язання задачі оптимального розподілу трансфертів при заданих бюджетних обмеженнях з метою максимізації соціального добробуту, визначеного відповідно  до  заданого  критерію  [164,  165].  Математична  модель  представлена у вигляді дворівневої лінійної задачі, що містить задачі цілочислової оптимізації нижнього рівня, оптимальні розв'язки яких використовуються при завданні області допустимих розв'язків задачі верхнього рівня. Запропонований підхід до розв'язання оптимістичної постановки дворівневої задачі дозволяє одержувати наближені розв'язки дворівневих дискретних задач із використанням ефективних алгоритмів локального пошуку.  \f181  ВИСНОВКИ У роботі одержано нові результати, що пов’язані зі збіжністю алгоритмів для варіаційних  нерівностей,  дворівневих  задач,  квазілінійних  вологоперенесення в ненасиченому пористому середовищі  та  задач задач  оптимізації руху рідини у пористому середовищі. Основні результати такі. Розроблено двоетапний метод для розв’язання варіаційних нерівностей з  псевдомонотонними  та  ліпшицевими  операторами,  що  діють  в  скінченномірному лінійному нормованому просторі. Доведено теорему збіжності методу. Розроблено варіант екстраградіентного методу з відстанню Брегмана. У методі використовується нове регулювання величини кроку, що не вимагає знання константи Ліпшиця оператора. На відміну від правил вибору величини кроку, що застосовувалися раніше, в пропонованому методі не проводиться додаткових обчислень значень оператора та проксвідображення. Доведено теорему збіжності методу. Розроблено, так званий, оптимістичний дзеркально-проксимальний алгоритм розв’язання варіаційних нерівностей з псевдомонотонними та ліпшицевими операторами. Доведено теорему збіжності та для випадку монотонного оператора та компактної опуклої допустимої множини отримано неасимптотичні оцінки ефективності. Розглянуто питання розв'язання дворівневої опуклої задачі мінімізації у гільбертовому просторі. Отримано теореми про характер збіжності методів проксимального типу у різних ситуаціях. Представлено новий прямодвоїстий алгоритм для дворівневих задач опуклого програмування з квадратичними функціями у внутрішніх задачах. Запропонований метод має розподілений характер та дозволяє реалізацію у децентралізованому розподіленому обчислювальному середовищі. Останнє робить метод цікавим для сучасної статистики та машинного навчання, оскільки часто великі дані про задачу не має можливості зберігати на одному комп’ютері.  \f182  Розглянуто нові методи екстраградієнтного типу для розв’язання дворівневих варіаційних нерівностей з монотонними операторами, які діють у гільбертовому просторі. Запропоновані нами методи мають явний характер, тобто на ітераційному кроці обчислюються лише значення операторів та здійснюється проектування на допустиму множину. Запропоновано нові адаптивні двоетапні проксимальні алгоритми для розв’язання задач про рівновагу в метричних просторах Адамара. Для псевдомонотонних біфункцій ліпшицевого типу, слабко напівнеперервних зверху по першій змінній, опуклих та напівнеперервних знизу по другій змінній, доведено теореми про слабку збіжність породжених алгоритмами послідовностей. Розроблено  варіаційний  алгоритм  ідентифікації  оптимальної  потужності точкових джерел, що дозволяє розв’язувати квазілінійні задачі вологоперенесення в ненасиченому пористому середовищі за допомогою їх лінеаризації  на  основі  перетворення  Кірхгофа  при  реалістичних  припущеннях. Обчислювальні експерименти продемонстрували високу точність методу. Запропонований метод дозволяє розв'язати актуальну задачу оптимального  вибору  параметрів  систем  краплинного  зрошення  й  підвищення їх ефективності. Проведено обґрунтування чисельних методів оптимізації лінійних розподілених систем з узагальненим керуванням, що описуються різними рівняннями руху рідини у пористому середовищі. Ми припускали, що оператор, який описує модель, задовольняє апріорні оцінки в негативних нормах. Доведено теореми про гладкість функціоналу якості задач узагальненої оптимізації лінійних систем з розподіленими параметрами. Для задач керування доведено доведено збіжність та стійкість варіантів методу лінеаризації при різних припущеннях про поведінку похибок розв’язання ітераційних підзадач.  \f183  Встановлено ряд нових результатів про існування різних видів оптимальних розв’язків задач векторної оптимізації з необмеженою допустимою множиною, в тому числі за умов можливих збурень вхідних даних. Досліджено проблему існування та оптимальності строго ефективних, Парето-оптимальних, слабо ефективних, лексикографічно оптимальних розв’язків векторних задач лінійної, опуклої та псевдоопуклої оптимізації. На основі проведеного аналізу задач з використанням властивостей конусів перспективних напрямків, рецесивних напрямків та локальних шатрів в граничних точках допустимої множини встановлено необхідні та достатні умови розв’язуваності та оптимальності розв’язків таких задач. На підґрунті введеної  класифікації  векторних  задач  оптимізації  стосовно  їх  розв’язуваності при збуренні коефіцієнтів лінійного критерію та функцій обмежень одержано достатні умови їх стійкої та нестійкої розв’язуваності й нерозв’язуваності. Ці результати є інструментом для аналізу й послаблення впливу невизначеності у вхідних даних на розв’язки зазначених задач. Розв’язання складних задач цілочислової оптимізації у наш час важливе й актуальне. На сьогоднішній день багатокритеріальні, в тому числі дворівневі задачі дискретної оптимізації, широко використовуються як математичні моделі формування і прийняття рішень в багатьох прикладних галузях, тому такі задачі актуальні і вимагають подальшого вивчення. Розроблено багатокритеріальну математичну модель та адитивний алгоритм розв’язання векторних задач цілочислової лінійної оптимізації з булевими змінними, який дозволяє одержувати Парето-оптимальні розв’язки та відповідні їм оцінки в просторі критеріїв задачі. Використання побудованої багатокритеріальної моделі та алгоритму підвищує ефективність прийняття рішень в різних галузях людської діяльності. Побудовано  та  досліджено  метод  розв’язання  оптимістичної  постановки дворівневої задачі дискретної оптимізації, що містить задачі  \f184  цілочислової оптимізації нижнього рівня, оптимальні розв'язки яких використовуються при завданні області допустимих розв'язків задачі верхнього рівня. Запропонований підхід до розв'язання оптимістичної постановки дворівневої задачі дозволяє одержувати наближені розв'язки дворівневих дискретних задач із використанням ефективних алгоритмів локального пошуку. Наукові  результати,  отримані  в  процесі  виконання  роботиі  представлені в даному звіті, пройшли апробацію на міжнародних наукових конференціях, зокрема [150, 151, 161, 167,171, 174], [179−188]. Результати НДР упроваджені в навчальний процес факультету комп’ютерних наук та кібернетики Київського національного університету імені Тараса Шевченка. Планується застосування результатів при розробці стійких методів розв'язання задач ідентифікації та оптимізації розподілених систем та варіаційних нерівностей.  \f185  ПЕРЕЛІК ДЖЕРЕЛ ПОСИЛАННЯ 1.  Konnov, I. V. Combined relaxation methods for variational inequalities  \/ I. V. Konnov. – Berlin; Heidelberg; New York: Springer-Verlag, 2001. – 181 p. 2.  Nemirovski, A. Prox-method with rate of convergence O(1\/t)  for variational inequalities with Lipschitz continuous monotone operators and smooth convex-concave saddle point problems \/ A. Nemirovski \/\/ SIAM Journal on Optimization. – 2004. – Vol. 15. – P. 229-251. 3.  Beck, A. First-Order Methods in Optimization \/ A. Beck. – Philadelphia:  Society for Industrial and Applied Mathematics, 2017. – 479 p. 4.  Allen-Zhu, Z. Linear coupling: An ultimate unification of gradient and  mirror descent \/ Z. Allen-Zhu, L. Orecchia. – e-print, 2014. – arXiv: 1407.1537. 5.  Аникин, А. С. Рандомизация и разреженность в задачах Huge-Scale  оптимизации на примере работы метода зеркального спуска \/ А. С. Аникин, А. В. Гасников, А. Ю. Горнов \/\/ Труды МФТИ. – 2016. – Том 8, № 1. – C. 11-24. 6.  Juditsky, A. Solving variational inequalities with Stochastic Mirror-Prox  algorithm \/ A. Juditsky, A. Nemirovski, C. Tauvel \/\/ Stochastic Systems. – 2011. – Vol. 1, No. 1. – P. 17-58. 7.  Попов, Л. Д. Модификация метода Эрроу-Гурвица поиска седловых  точек \/ Л. Д. Попов \/\/ Математические заметки. – 1980. – Т. 28, № 5. – С. 777-784. 8.  Малицкий, Ю. В. Вариант экстраградиентного алгоритма для монотон-  ных вариационных неравенств \/ Ю. В. Малицкий, В. В. Семенов \/\/ Кибернетика и системный анализ. – 2014. – № 2. – C.  5-131. 9.  Ведель, Я. И. Новый двухэтапный проксимальный алгоритм для  решения задачи о равновесии \/ Я. И. Ведель, В. В. Семенов \/\/ Журнал обчислювальної та прикладної математики. – 2015. – № 1 (118). – С. 15-23. 10.  Гасников, А. В. О связи имитационной логит-динамики в  популяционной теории игр и метода зеркального спуска в онлайн  \f186  оптимизации на примере задачи выбора кратчайшего маршрута \/ А. В. Гасников, А. А. Логуновская, Л. Э. Морозова \/\/ Труды МФТИ. - 2015. – Том 7, № 4. – C. 104-113. 11.  Корпелевич, Г. М. Экстраградиентный метод для отыскания седловых  точек и других задач \/ Г. М. Корпелевич \/\/ Экономика и математические методы. – 1976. – Т.  , № 4. – С. 747-756.  .  Semenov, V. V. Modified Extragradient Method with Bregman Divergence  for Variational Inequalities \/ V. V. Semenov \/\/ Journal of Automation and Information Sciences. – 2018. – Vol. 50. Issue 8. – P. 26-37. 13.  Denisov, S. V. Convergence of Extragradient Algorithm with Monotone  Step Size Strategy for Variational Inequalities and Operator Equations \/ S. V. Denisov, D. A. Nomirovskii, B. V. Rublyov, V. V. Semenov \/\/ Journal of Automation and Information Sciences. – 2019. – Vol. 51. Issue 6. – P.  -24. 14.  Nomirovskii, D. A. Convergence of Two-Stage Method with Bregman  Divergence for Solving Variational Inequalities \/ D. A. Nomirovskii, B. V. Rublyov, V. V. Semenov \/\/ Cybernetics and Systems Analysis. – 2019. – Vol. 55. Issue 3. – P. 359-368. 15.  Denisov, S. V. Bregman Extragradient Method with Monotone Rule of Step  Adjustment \/ S. V. Denisov, V. V. Semenov, P. I. Stetsyuk \/\/ Cybernetics and Systems Analysis. –2019. – Vol. 55. Issue 3. – P. 377-383. 16.  Ведель, Я. І. Збіжність брегманівського екстраградієнтного методу \/ Я.  І. Ведель, С. В. Денисов, В. В. Семѐнов \/\/ Доповіді НАН України. – 2019. – № 5. – С. 18-23. 17.  Бакушинский, А. Б. Некорректные задачи. Численные методы и  приложения \/ А. Б. Бакушинский, А. В. Гончарский. – Москва : Изд-во МГУ, 1989. – 200 с. 18.  Тихонов, А. Н. Методы решения некорректных задач \/ А. Н. Тихонов,  В. Я. Арсенин. – М.: Наука, 1979. – 288 с.  \f187  19.  Еремин, И. И. О задачах последовательного программирования. Сиб.  мат. журн. – 1973. – T. 14, № 1. – С. 53-63. 20.  Подиновский, В.В., Гаврилов В.Н. Оптимизация по последовательно  применяемым критериям. М.: Советское радио, 1975. 192 с. 21.  Калашников, В. В. Решение двухуровневого вариационного  неравенства \/ В. В. Калашников, Н. И. Калашникова \/\/ Кибернетика и системный анализ. – 1994. – № 4. – С. 178-180. 22.  Коннов, И. В. О системах вариационных неравенств \/ И. В. Коннов \/\/  Изв. вузов. Матем. – 1997. – №  . – C. 79-88. 23.  Попов, Л. Д. Об одноэтапном методе решения лексикографических  вариационных неравенств \/ Л. Д. Попов \/\/ Изв. вузов. Матем. – 1998. – №  . – C. 71-81 24.  Попов, Л. Д. Лексикографические вариационные неравенства и  некоторые приложения \/ Л. Д. Попов \/\/ Математическое программирование. Регуляризация и аппроксимация, Сборник статей. – Тр. ИММ. – T. 8, № 1. – 2002. – С. 103-115. 25.  Moudafi, A. Towards viscosity approximations of hierarchical fixed-point  problems \/ A. Moudafi, P.-E. Mainge \/\/ Fixed Point Theory Appl. – Vol. 2006, Article ID 95453. – P. 1-10. 26.  Solodov, M. An explicit descent method for bilevel convex optimization \/  M. Solodov \/\/ Journal of Convex Analysis. – 2007. – Vol. 4. – P. 227-238. 27.  Solodov, M. A bundle method for a class of bilevel nonsmooth convex  minimization problems \/ M. Solodov \/\/ SIAM Journal on Optimization. – 2007. – Vol. 18. – P. 242-259. 28.  Opial, Z. Weak convergence of the sequence of successive approximations  for nonexpansive mappings \/ Z. Opial \/\/ Bull. Amer. Math. Soc. – 1967, 73. – P. 591-597.  \f188  29.  Passty, G. B. Ergodic Convergence to a Zero of the Sum of Monotone  Operators in Hilbert Spaces \/ G. B. Passty \/\/ Journal of Mathematical Analysis and Applications. – 1979. – Vol. 72. – P. 383-390. 30.  Martinet, B. Regularisation d'inequations variationelles par approximations  successives \/ B. Martinet \/\/ Rev. Francaise Informat. Recherche Operationelle. – 1970. – V. 4. – P. 154-159. 31.  Rockafellar, R. T. Monotone operators and the proximal point algorithm \/ R.  T. Rockafellar \/\/ SIAM J. Control Optim. – 1976. – Vol. 14. – P. 877-898. 32.  Guler, O. On the convergence of the proximal point algorithm for convex  minimization \/ O. Guler \/\/ SIAM J. Control Optim. – 1991. – Vol. 29. – P. 403419. 33.  Васильев, Ф. П. Регуляризованный проксимальный метод для  выпуклых задач минимизации \/ Ф. П. Васильев, О. Обрадович \/\/ Тр. МИАН. – 1995. – 211. – С. 131-139. 34.  Денисов, С. В. Проксимальний алгоритм для дворівневих варіаційних  нерівностей: сильна збіжність \/ С. В. Денисов, В. В. Семенов \/\/ Журнал обчислювальної та прикладної математики. – 2011. – №3 (106). – C. 27-32. 35.  Acker, F., Convergence d'un schema de minimisation alternee \/ F. Acker,  M.-A. Prestel \/\/ Annales de la faculte des sciences de Toulouse. – 1980. – Vol. 2, no. 1. – Р. 1-9. 36.  Luita, A. V. A novel method for the bilevel optimization problem \/ A. V.  Luita, V. V. Semenov \/\/ XXXII International Conference ―Problems of decision making under uncertainties‖ (PDMU-2018). August 27-31, 2018. Prague, Czech Republic. Abstracts. – P. 81-82. 37.  Tseng, P. On accelerated proximal gradient methods for convex-concave  optimization [Electronic resource] \/ P. Tseng. – 2008. – Режим доступу: http:\/\/www.mit.edu\/~dimitrib\/PTseng\/papers\/apgm.pdf.  \f189  38.  Chambolle, A. A first-order primal-dual algorithm for convex problems with  applications to imaging \/ A. Chambolle, T. Pock \/\/ Journal of Mathematical Imaging and Vision. – 2011. – Vol. 40. – P.  0-145. 39.  Chambolle, A. On the ergodic convergence rates of a first-order primal-dual  algorithm \/ A. Chambolle, T. Pock \/\/ Mathematical Programming. – 2016. – Vol. 159. – 253-287 p. 40.  Киндерлерер, Д. Введение в вариационные неравенства и их  приложения \/ Д. Киндерлерер, Г. Стампаккья. – М. : Мир, 1983. – 256 c. 41.  Васин, В. В. Операторы и итерационные процессы фейеровского типа.  (Теория и приложения) \/ В. В. Васин, И. И. Еремин. – Москва ; Ижевск : Регулярная и хаотическая динамика, 2005. – 200 с. 42.  Bauschke, H. H. Convex Analysis and Monotone Operator Theory in  Hilbert Spaces \/ H. H. Bauschke, P. L. Combettes. – New York : Springer, 2011. – 408 p. 43.  Mainge, P.-E. Strong convergence of projected subgradient methods for  nonsmooth and nonstrictly convex minimization \/ P.-E. Mainge \/\/ Set-Valued Analysis. – 2008. – Vol. 16. – P. 899-9 . 44.  Апостол, Р. Я., Ітераційні алгоритми для монотонних дворівневих  варіаційних нерівностей \/ Р. Я. Апостол, А. А. Гриненко, В. В. Семенов \/\/ Журнал обчислювальної та прикладної математики. – 20 . – №1 (107). – C. 3-14. 45.  Censor, Y. The subgradient extragradient method for solving variational  inequalities in Hilbert space \/ Y. Censor, A. Gibali, S. Reich \/\/ Journal of Optimization Theory and Applications. – 2011. – Vol. 148. – P. 318-335. 46.  Ляшко, С. И. Экономичная модификация метода Корпелевич для  монотонных задач о равновесии \/ С. И. Ляшко, В. В. Семенов, Т. А. Войтова \/\/ Кибернетика и системный анализ. – 2011. – № 4. – C. 146-154.  \f190  47.  Семенов, В. В. Новый модифицированный экстраградиентный метод с  расхождением Брэгмана \/ В. В. Семенов \/\/ Доповіді НАН України. – 2018. – № 8. – C. 18-24. 48.  Верлань, Д. А. Сильно сходящийся модифицированный экстрагради-  ентный метод для вариационных неравенств с нелипшицевыми операторами \/ Д. А. Верлань, В. В. Семенов, Л. М. Чабак \/\/ Проблемы управления и информатики. – 2015. – № 4. – С. 37-50. 49.  Денисов, С. В. Сходимость модифицированного экстраградиентного  метода для вариационных неравенств с нелипшицевыми операторами \/ С. В. Денисов, В. В. Семенов, Л. М. Чабак \/\/ Кибернетика и системный анализ. – 2015. – № 5. – С. 102-110. 50.  Kassay, G. Equilibrium Problems and Applications \/ G. Kassay, V. D.  Radulescu. – London: Academic Press, 2019. – 419 p. 51.  Antipin, A. S. Equilibrium programming: Proximal methods \/ A. S. Antipin  \/\/ Comput. Math. Math. Phys. – 1997. – Vol. 37. – P.  85- 96. 52.  Mastroeni, G. On auxiliary principle for equilibrium problems \/ G.  Mastroeni \/\/ In: Daniele, P. et al. (eds.) Equilibrium Problems and Variational Models. – Kluwer Academic Publishers, Dordrecht, 2003. – P. 289-298. 53.  Combettes, P. L. Equilibrium Programming in Hilbert Spaces \/ P. L.  Combettes, S. A. Hirstoaga \/\/ J. Nonlinear Convex Anal. – 2005. – Vol. 6. – P. 117-136. 54.  Lyashko, S. I. A New Two-Step Proximal Algorithm of Solving the Problem  of Equilibrium Programming \/ S. I. Lyashko, V. V. Semenov \/\/ In: Goldengorin, B. (ed.) Optimization and Its Applications in Control and Data Sciences. Springer Optimization and Its Applications, vol. 115. – Springer, Cham, 2016. – P. 315325. 55.  Quoc, T. D. Extragradient algorithms extended to equilibrium problems \/ T.  D. Quoc, L. D. Muu, N. V. Hien \/\/ Optimization. – 2008. – Vol. 57. – P. 749-776.  \f191  56.  Chabak, L. A New Non-Euclidean Proximal Method for Equilibrium  Problems \/ L. Chabak, V. Semenov, Y. Vedel \/\/ In: Chertov O., Mylovanov T., Kondratenko Y., Kacprzyk J., Kreinovich V., Stefanuk V. (eds.) Recent Developments in Data Science and Intelligent Analysis of Information. ICDSIAI 2018. Advances in Intelligent Systems and Computing, vol. 836. – Springer, Cham, 2019. – P. 50-58. 57.  Bacak, M. Convex Analysis and Optimization in Hadamard Spaces [Текст] \/  M. Bacak. – Berlin-Boston: De Gruyter, 2014. – 185 p. 58.  Colao, V. Equilibrium problems in Hadamard manifolds \/ V. Colao, G.  Lopez, G. Marino, V. Martin-Marquez \/\/ Journal of Mathematical Analysis and Applications. – 20 . – Vol. 388. – P. 61-77. 59.  Khatibzadeh, H. Monotone and pseudo-monotone equilibrium problems in  Hadamard spaces \/ H. Khatibzadeh, V. Mohebbi \/\/ Journal of the Australian Mathematical Society. – 2019. – P. 1-23. 60.  Khatibzadeh, H. Approximating solutions of equilibrium problems in  Hadamard spaces \/ H. Khatibzadeh, V. Mohebbi \/\/ Miskolc Mathematical Notes. – 2019. – Vol. 20. No. 1. – P. 281-297. 61.  Ведель, Я. И. Двухэтапный проксимальный алгоритм для задачи о  равновесии в пространстве Адамара \/ Я. И. Ведель, В. В. Семѐнов, Л. М. Чабак \/\/ Доповіді Національної академії наук України. – 2020. – № 2. – С. 714. 62.  Ведель, Я. И. Адаптивный экстрапроксимальный метод для задачи о  равновесии в пространствах Адамара \/ Я. И. Ведель, Е. Н. Голубева, В. В. Семенов \/\/ Сучасні проблеми математичного моделювання, прогнозування та оптимізації: тези доповідей 9-ї Міжнародної наукової конференції. – Кам’янець-Подільський: Кам’янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка, 2020. – С. 87-89.  \f192  63.  Communar, G. Unsteady Infiltration from Point and Line Sources in  Laterally Confined Domains \/ G. Communar, S. Friedman \/\/ Soil Science Society of America Journal. – 2013. – Vol. 77. – No. 5. – P. 1529-1541. 64.  Communar, G. Generalized Coupled Source-Sink Model for Evaluating  Transient Water Uptake in Trickle Irrigation: I. Model Formulation for Soils with Vertical Heterogeneity \/ G. Communar, S. Friedman \/\/ Soil Science Society of America Journal. – 20 . – 76 (3). – P. 779-790. 65.  Friedman, S. P. Wetting Patterns and Relative Water-Uptake Rates from a  Ring-Shaped Water Source \/ S. P. Friedman, A. Gamliel \/\/ Soil Science Society of America Journal. – 2019. – 83(1). – P. 48-57. 66.  Hayek, M. An analytical model for steady vertical flux through unsaturated  soils with special hydraulic properties \/ M. Hayek \/\/ Journal of Hydrology. – 2015. – 527. – P. 1153-1160. 67.  Hayek, M. An exact explicit solution for one‐dimensional, transient,  nonlinear Richards' equation for modeling infiltration with special hydraulic functions \/ M. Hayek \/\/ Journal of Hydrology. – 2016. – 535. – P. 662-670. 68.  Farthing, M. W. Numerical Solution of Richards Equation: A Review of  Advances and Challenges \/ M. W. Farthing, F. L. Ogden \/\/ Soil Science Society of America Journal. – 2017. – 81 (6). – P.  57- 69. 69.  Vereecken, H. Modeling soil processes: review, key challenges, and new  perspectives \/ H. Vereecken et al. \/\/ Vadose Zone Journal. – 2016. – 15 (5). – P. 157. 70.  Paniconi, C. Physically based modeling in catchment hydrology at 50:  Survey and outlook \/ C. Paniconi, M. Putti \/\/ Water Resources Research. – 2015. – 51 (9). – P. 7090-7 9. 71.  Zha, Y. A modified Picard iteration scheme for overcoming numerical  difficulties of simulating infiltration into dry soil \/ Y. Zha et al. \/\/ Journal of Hydrology. – 2017. – 551. – P. 56-69.  \f193  72.  Casulli, V. A coupled surface-subsurface model for hydrostatic flows under  saturated and variably saturated conditions \/ V. Casulli \/\/ International Journal for Numerical Methods in Fluids. – 2017. – 85 (8). – P. 449-464. 73.  Lipnikov, K. New preconditioning strategy for Jacobian-free solvers for  variably saturated flows with Richards equation \/ K. Lipnikov, D. Moulton, D. Svyatskiy \/\/ Advances in Water Resources. – 2016. – 94. – P. 11-22. 74.  List, F. A study on iterative methods for solving Richards equation \/ F. List,  F. Radu \/\/ Computational Geoscience. – 2015. – 20 (2). – P. 341-353. 75.  Zha, Y. Comparison of noniterative algorithms based on different forms of  Richards equation \/ Y. Zha et al. \/\/ Environmental Modelling & Assessment. – 2016. – 21 (3). – P. 357-370. 76.  Zeng, J Switching the Richards equation for modeling soil water movement  under unfavorable conditions \/ J Zeng, Y Zha, J Yang \/\/ Journal of Hydrology. – 2015 – 563. – P. 942-949. 77.  Клюшин, Д. А., Чисельне моделювання тривимірного волого пере-  несення при мікрозрошенні \/ Д. А. Клюшин, В. В. Оноцький \/\/ Журнал обчислювальної та прикладної математики. – 2016. – № 1. – С. 54-64. 78.  Scudeler, C. Mass-conservative reconstruction of Galerkin velocity fields for  transport simulations \/ C. Scudeler, M. Putti, C. Paniconi \/\/ Advances in Water Resources. 2015. – 94. – P. 470-485. 79.  Mostaghimi, P. Anisotropic Mesh Adaptivity and Control Volume Finite  Element Methods for Numerical Simulation of Multiphase Flow in Porous Media \/ P. Mostaghimi et al. \/\/ Math Geosci. – 2015. – 47 (4). – P. 417-440. 80.  Lai, W. A mass-conservative finite volume predictor-corrector solution of  the 1D Richards equation \/ W. Lai, F.L. Ogden \/\/ Journal of Hydrology. – 2015. – 523. – P. 119- 7. 81.  Zhang, Z.-Y. Finite analytic method for solving the unsaturated flow  equation \/ Z.-Y. Zhang et al. \/\/ Vadose Zone Journal. – 2015 – 14. – P. 1-10.  \f194  82.  Zhang, Z.-Y. Finite analytic method based on mixed-form Richards equation  for simulating water flow in vadose zone \/ Z.-Y. Zhang et al. \/\/ Journal of Hydrology. – 2016. – 537. – P. 146-156. 83.  Berninger, H. The 2-lagrange multiplier method applied to nonlinear  transmission problems for the Richards equation in heterogeneous soil with cross points \/ H. Berninger, S. Loisel, O. Sander \/\/ SIAM Journal of. Scientific Computing. – 2014. – 36 (5). – P. 2166-2198. 84.  Berninger, H. Multidomain discretization of the Richards equation in layered  soil \/ H. Berninger, R. Kornhuber, O. Sander \/\/ Computational Geosciences. – 2015. – 19(1). – P. 213-232. 85.  Pop, I. S. Regularization schemes for degenerate Richards equations and  outflow conditions \/ I. S. Pop, B. Schweizer \/\/ Mathematical Models and Methods in the Applied Sciences. – 21 (8). – P. 1685-17 . 86.  Cockett, R. Efficient 3D inversions using the Richards equation [Текст] \/ R.  Cockett, L. J. Heagy, E. Haber \/\/ Computers & Geosciences. – 2018. – 116. – P. 91-102. 87.  Murea, C. M. Optimal control approach for a flow in unsaturated porous  media \/ C. M. Murea, J. M. Crolet \/\/ Computational Methods for Flow and Transport in Porous Media. – 2000. – 17. – P. 107-114. 88.  Farag, M. H. Computing optimal control with a quasilinear parabolic partial  differential equation \/ M. H. Farag \/\/ Surveys in Mathematics and its Applications. – 2009. – 4. – P. 139-153. 89.  Вабищевич, П. Н. Численное решение задачи идентификации правой  части параболического уравнения \/ П. Н. Вабищевич \/\/ Известия высших учебных заведений. Математика. – 2003. – № 1. – С. 29-37. 90.  Ляшко, С. И. Лагранжево-ейлеровий підхід до розв'язання оберненої  задачі конвективної дифузії \/ С. И. Ляшко, Д. А. Клюшин, В. В. Семенов, К. В. Шевченко \/\/ Доповіді НАН України. – 2007. – № 10. – С. 38-43.  \f195  91.  Tymoshenko, A. Optimal Control of Point Sources in Richards-Klute  equation \/ A. Tymoshenko, D. Klyushin, S. Lyashko \/\/ Advances in Intelligent Systems and Computing. – 2019. – 754. – P. 194-203. 92.  Lyashko, S. I. Optimal Control of Drug Delivery from Microneedle Systems  \/ S. I. Lyashko, D. A. Klyushin, V. V. Onotskyi, N. I. Lyashko \/\/ Cybernetics and System Analysis. – 2018. – 54 (3). – P. 1-9. 93.  Lyashko, S. I. Identification of age-structured contamination sources in  ground water ] \/ S. I. Lyashko, D. A. Klyushin, D. A. Nomirovsky, V. V. Semenov \/\/ In: Optimal control of age-structured populations in economy, demography, and the invironment (ed. by R. Boucekkline et all.). – London and New York: Routledge, 2013. – P. 277-292. 94.  Lyashko, S.I. Simulation and generalized optimization in  pseudohyperbolical systems \/ S. I. Lyashko, D. A. Klyushin, L. I. Palienko \/\/ Journal of Automation and Information Sciences. – 2000. – 32(5). – P. 108-117. 95.  Lyashko, S. I. Numerical solution of pseudoparabolic equations \/ S. I.  Lyashko \/\/ Cybernetics and System Analysis. – 1995. – 31 (5). – P. 718-722. 96.  Шульгин, Д. Ф. Математические модели и методы расчета  влагопереноса при внутри почвенном орошении \/ Д. Ф. Шульгин, С. Н. Новосельский \/\/ В сб. науч. тр.: Математика и проблемы водного хозяйства. – Киев: Наукова думка, 1986. – С. 73-89. 97.  Baxter, L. T. Transport of fluid and macromolecules in tumors. I. Role of  interstitial pressure and convection \/ L. T. Baxter, R. K. Jain \/\/ Microvasc. Res. – 1989. –37. – P. 77-104. 98.  Baxter, L. T. Transport of fluid and macromolecules in tumors. II. Role of  heterogeneous perfusion and lymphatics \/ L. T. Baxter, R. K. Jain \/\/ Microvasc. Res. – 1990. – 40. – P. 246-263. 99.  Baxter, L. T. Transport of fluid and macromolecules in tumors. III. Role of  binding and metabolism \/ L. T. Baxter, R. K. Jain \/\/ Microvasc. Res. – 1991. – 41. – P. 5-23.  \f196  100. Lankelma, J. A mathematical model of drug transport in human breast cancer \/ J. Lankelma, R. F. Luque, H. Dekker, W. Schinkel, H. M. Pinedo \/\/ Microvasc. Res. – 1999. – 59. – P. 149-161. 101. Ward, J. P. Mathematical modelling of drug transport in tumor multicell spheroids and monolayer cultures] \/ J. P. Ward, J. R. King \/\/ Math. Biosciences. – 2003. – 181, N 2. – P. 177-207. 102. Tzafriri, A. R. Mathematical modeling and optimization of drug delivery from intratumorally injected microspheres \/ A. R. Tzafriri, E. I. Lerner, M. Flashner-Barak, M. Hinchckiffe, E. Ratner, H. Parnas \/\/ Clinical Cancer Research. – 2005. – Vol. 11. – P. 826-834. 103. Chakrabarty, S. P. Optimal control of drug delivery to brain tumors for a distributed parameters model \/ S. P. Chakrabarty, F. B. Hanson \/\/ Proceedings of American Control Conference. – 2005. – 973.978. 104. Klyushin, D. A. Mathematical modeling and optimization of intratumor drug transport \/ D. A. Klyushin, N. I. Lyashko, Y. N. Onopchuk \/\/ Cybern. Syst. Anal. – 2007. – Volume 43, Issue 6. – P 886-892. 105. Karabin, L. D. Two-phase Stefan problem for optimal control of targeted drug delivery to malignant tumors \/ L. D. Karabin, D. A. Klyushin \/\/ Journal of Coupled Systems and Multiscale Dynamics. – 2014. – Vol. 2 (2). – P. 45-51. 106. Lyashko, S. I. Optimal Control of Drug Delivery from Microneedle Systems \/ S. I. Lyashko, D. A. Klyushin, V. V. Onotskyi et al. \/\/ Cybern. Syst. Anal. – 2018. – Volume 54, Issue 3. – P 357-365. 107. Ляшко, С. І. Дослідження лінійних розподілених систем з узагальненим керуванням \/ С. І. Ляшко, Д. А. Номіровський, В. В. Семенов \/\/ Журнал обчислювальної та прикладної математики. – 2004. – №2 (91). – С. 31-45. 108. Денисов, С. В. Задача сопряжения параболических уравнений. Неидеальный контакт \/ С. В. Денисов, В. В. Семенов \/\/ Доповіді НАН України. – 2005. – №9. – С. 14-19.  \f197  109. Lyashko, S. I. Simultaneous optimization of impulse and intensities in control problems for parabolic equations \/ S. I. Lyashko, A. A. Mankovskii \/\/ Cybernetics. 1983. – No. 5. – P. 687-690. 110. Nakonechny, A. G. On the minimax theory of estimating solutions of abstract parabolic equations \/ A. G. Nakonechny, S. I. Lyashko \/\/ Cybernet. System. Anal. – 1995. – No. 4. – P. 626-630. 111. Lyashko, S. I. On the controllability of linear distributed systems in classes of generalized actions [Текст] \/ S. I. Lyashko, V. V. Semenov \/\/ Cybernet. Systems Anal. – 2001. – No. 1. – P. 13-32. 1 . Lyashko, S. I. Trajectory and terminal controllability in hyperbolic and pseudohyperbolic systems with generalized actions \/ S. I. Lyashko, D. A. Nomirovskii, T. I. Sergienko \/\/ Cybernet. Systems Anal. – 2001. – No. 5. – P. 756-763. 113. Lyashko, S. I. Controllability of impulse parabolic systems \/ S. I. Lyashko, A. A. Mankovskii \/\/ Avtomat. Remote Control. – 1991. – No. 9, part 1. – P.  33 38. 114. Lyashko, S. I. Numerical solution of pseudoparabolic equations \/ S. I. Lyashko \/\/ Cybernet. Systems. Anal. – 1995. – No. 5. – P. 718-722. 115. Lyashko, S. I. Approximate solution of equations of pseudoparabolic type \/ S. I. Lyashko \/\/ Comput. Math. Math. Phis. – 1991. – 31. No.  . –P. 107-111. 116. Lyashko, S. I. Approximate solution of a problem of the dynamics of a viscous stratified fluid \/ S. I. Lyashko, S. E. Redko \/\/ USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics. – 1987. – 27 (3). P. 49-56. 117. Vlasenko, L. A. On the optimal impulse control in descriptor systems \/ L. A. Vlasenko, A. G. Rutkas, V. V. Semenets, A. A. Chikrii \/\/ Journal of Automation and Information Sciences. – 2019. – V. 51. Issue 5. – P. 1-15. 118. Petryk, M. R. Experimental and computer simulation studies of dehydration on microporous adsorbent of natural gas used as motor fuel \/ M. R. Petryk, A. Khimich, M. M. Petryk, J. Fraissard \/\/ Fuel. – 2019. – V. 239. – P. 1324-1330.  \f198  119. Gladkii, A. V. Optimization of wave processes in inhomogeneous media \/ A. V. Gladkii \/\/ Cybernetics and Systems Analysis. – 2003. – V. 39. Issue 5. – P. 728-736.  0. Skopetsky, V. V. Mathematical modeling of dynamics of some distributed time-space consolidation processes \/ V. V. Skopetsky, V. M. Bulavatskiy \/\/ Journal of Automation and Information Sciences. – 2009. – V. 41. Issue 9. – P. 14-25.  1. Рубинштейн, Л. М. К вопросу о процессе распространения тепла в гетерогенных средах \/ Л. М. Рубинштейн \/\/ Изв. АН СССР. Сер. геогр. и геофиз. – 1948. – т. . – №1. – С. 27-46.  2. Баренблатт, Г. И. Об основных представлениях теории фильтрации однородных жидкостей в трещиноватых породах \/ Г. И. Баренблатт, Ю. П. Желтов, И. Н. Кочина \/\/ Прикл. матем. и механика. – 1960. – т. 24. – вып. 5. – С. 852-864.  3. Ляшко, С. И. Моделирование и оптимизация подземного массопереноса \/ С. И. Ляшко, Д. А. Клюшин, А. С. Тригуб. – Киев: Наук. думка, 1998. – 239 с.  4. Ting, T. W. Certain non-steady flows of second-order fluids [Текст] \/ T. W. Ting \/\/ Arch. Rational Mech. Anal. – 1963. – N 14 . – P. 1-26.  5. Ляшко, С. И. Обобщенное управление линейными системами \/ С. И. Ляшко. – К.: Наукова думка, 1998. – 472 с.  6. Нурминский, Е. А. Численные методы решения детерминированных и стохастических минимаксных задач \/ Е. А. Нурминский. – Киев: Наук. думка, 1979. – 159 с.  7. Михалевич, В. С. Методы невыпуклой оптимизации \/ В. С. Михалевич, А. М. Гупал, В. И. Норкин. – М.: Наука, 1987. – 279 с.  8. Ляшко, С. І. Математичне моделювання та обчислювальна математика \/ С. І. Ляшко, Г. В. Сандраков, В. В. Семенов та ін. – К.: ВПЦ «Київський університет», 2020. – 222 с.  \f199   9.  Hadamard J. Sur les problemes aux derivees partielles et leur signification  physique. Bull. Univ. Princeton. 1902. N 13. P. 282286. 130. Вилкас Э.Й. Существование эффективно-равновесных точек в задаче векторной оптимизации. Литовский мат. сб. 1968. 8, № 1. С. 41–44. 131. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные решения многокритериальных задач. Москва: Наука, 1982. 256 с. 132. Рокафеллар Р. Выпуклый анализ. Москва: Мир, 1973. 470 с. 133. Сергиенко И.В., Козерацкая Л.Н., Лебедева T.T. Исследование устойчивости и параметрический анализ дискретных оптимизационных задач. Киев: Наук. думка, 1995. 171 с. 134. Smale S. Global analysis and economics, V. Pareto theory with constraints. J. Math. Econ. 1974. N 1. P. 213−221. 135. Чарин В.С. Линейные преобразования и выпуклые множества. Киев: Вища школа, 1978. 191 с. 136. Сергиенко И.В., Лебедева Т.Т., Семенова Н.В. О существовании решений в задачах векторной оптимизации. Кибернетика и систем. анализ. 2000. № 6. С. 39–46. 137. Лебєдєва Т.Т., Семенова Н.В., Сергієнко Т.І. Деякі умови оптимальності та розв’язуваності в задачах векторної оптимізації з опуклою допустимою множиною. Теорія оптимальних рішень. Київ: Ін-т кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, 2002.№ 1. С. 142 –148. 138. Лебєдєва Т.Т., Семенова Н.В., Сергієнко Т.І. Умови оптимальності та розв’язуваності в задачах лінійної векторної оптимізації з опуклою допустимою множиною. Доповіді НАН України. 2003. № 10. С. 80–85. 139. Сергиенко И.В., Козерацкая Л.Н., Кононова А.А. Устойчивость и неограниченность задач векторной оптимизации. Кибернетика и систем. анализ. 1997. № 1. С. 3–10. 140. Сергієнко Т.І. Про існування парето-оптимальних розв’язків задачі векторної оптимізації з необмеженою допустимою областю. Доповіді НАН  \f200  України. 2015, № 10. С. 27–31. 141. Ржевский С.В. Монотонные методы выпуклого программирования. Киев: Наук. думка, 1993. 315 с. 142. Пшеничный Б.Н. Выпуклый анализ и экстремальные задачи. Москва: Наука, 1980. 320 с. 143. Болтянский В.Г. Метод шатров в теории экстремальных задач. Успехи математических наук. 1975. Т.30, вып. 3, № 183. С. 3–55. 144. Ашманов С.А. Линейное программирование. Москва: Наука, 1981. 304 с. 145. Волконский В.А., Еганян Г.К., Поманский А.Б. О множестве эффективных точек в линейных многокритериальных задачах. Сибирский матем. журнал. 1983. N. 24, № 2. С. 9–17. 146. Козерацкая Л.Н. Множество строго эффективных точек задачи частично целочисленной векторной оптимизации как характеристика ее устойчивости. Кибернетика и систем. анализ. 1997, № 6. С.181–184. 147. Kozeratska L., Forbes J.F., Goebel R.J., Kresta J.V. Perturbed cones for analysis of uncertain multicriteria optimization problems. Linear algebra and its applications. 2004. N 378. P. 203–229. 148. Лебедева Т.Т., Семенова Н.В., Сергиенко Т.И. Свойства возмущенных конусов, упорядочивающих множество допустимых решений векторной оптимизационной задачи. Кибернетика и системный анализ. 2014, Т. 50, № 5. C. 71–77. 149. Семенова Н.В. Умови ефективності та стійкості розв’язків у векторних задачах дискретної оптимізації. Теорія оптимальних рішень. Київ: Ін-т кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, 2015. C. 160–164. 150. Семенова Н.В., Лебєдєва Т.Т., Сергієнко Т.І. Оптимальність та коректність в векторних задачах дискретної оптимізації. Математичне та комп’ютерне моделювання. Серія: Фізико-математичні науки. Кам’янецьПодільський національний університет імені Івана Огієнка, 2017. Вип. 15.  \f201  С. 180–185. 151. Лебедева Т.Т., Семенова Н.В., Сергиенко Т.И. Условия оптимальности решений и устойчивости векторных задач дискретной оптимизации. 6-я международная научная конференція “Математическое моделирование, оптимизация и инфомационные технологии”. ( –16 ноября, Кишинэу, 2018). Кишинэу, 2018. С. 371–376. 152. Mangasarian О.L. Pseudo-convex functions. Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics, Ser. A. Control. 1965. Vol. 3. P. 281–290. 153. Семенова Н.В., Ломага М.М. Про існування і оптимальність розв’язків векторної задачі лексикографічної опуклої оптимізації з лінійними функціями критеріїв. Науковий вісник Ужгородського університету. Серія «Математика і інформатика». 2020. № 2 (37). С. 168-175. 154. Семенова Н.В., Ломага М.М., Семенов В.В. Існування розв’язків та метод розв’язання лексикографічної задачі опуклої оптимізації з лінійними функціями критеріїв. Доповіді НАН України. 2020. №  . С. 19−27. 155. Червак Ю.Ю. Оптимізація. Непокращуваний вибір. Ужгород: Ужгородський національний університет, 2002. 3  с. 156. Семенова Н.В., Колєчкіна Л.М. Векторні задачі дискретної оптимізації на комбінаторних множинах: методи дослідження та розв’язання. Київ.: Наук. думка, 2009. 266 с. 157. Сергиенко И.В. Математические модели и методы решения задач дискретной оптимизации. Киев: Наук. думка, 1988. 472 с. 158. Сергиенко И.В., Шило В.П. Задачи дискретной оптимизации: проблемы, методы, решения, исследования. Киев: Наук. думка, 2003. 262 с. 159. Сергиенко И.В., Семенова Н.В., Семенов В.В. Двухуровневая задача оптимизации распределения межбюджетных трансфертов при заданных ограничениях. Кибернетика и системный анализ. 2019. Т. 55. № 6. С. 30–40.  \f202  160. Семенов В.В. Дворівнева оптимізація розподілу міжбюджетних трансфертів при заданих обмеженнях. Доповіді НАН України. 2019. № 10. С. 11–20. 161. Sergienko I.V., Semenova N.V., Semenov V.V. Bilevel optimization problems of distribution of interbudget transfers. ХХХIV Intern. Conf. “Problems of decision making under uncertainties”. (September 23-27, 2019, Lviv, Ukraine), Kyiv: Людмила, 2019. P. 88–89. 162. Семенова Н.В., Чайка Д.О. Адитивний алгоритм розв’язання векторних задач лінійної оптимізації з булевими змінними. Теорія оптимальних рішень. Київ: Ін-т кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України. 2018. Т.17. С. 152–159. 163. Balas E. An additive algorithm for solving linear programs with zero-one variables. Operations Research. 1965. Vol. 13, No. 4. P. 517–546. 164. Патон Б.Є., Долінський А.А., Геєць В.М. та ін. Пріоритети Національної стратегії теплозабезпечення населених пунктів України. Вісник НАН України. 2014. № 9. С. 29–47. 165. Комунальна теплоенергетика України: Стан. Проблеми. Шляхи модернізації. Колективна монографія у 2-х томах \/ ред.: А.А. Долінський. Київ: ТОВ ―Контур-Т‖, 2007. Т. 1. С. 1–396. 166. Семенов В.В., Чайка Д.О. Багатокритеріальний вибір заходів енергозаощадження в регіональних програмах. Теорія оптимальних рішень. Київ: Ін-т кібернетики імені В.М. Глушкова НАН України, 2015. C. 140–145. 167. Чайка Д.А., Семенов В.В. О решении многокритериальной задачи выбора мероприятий энергосбережения. 6-я междунар. научн. конф. “Математическое моделирование, оптимизация и информационные технологии” ( –16 ноября, Кишинэу, 2018). Кишинэу, 2018. С. 443–445. 168. Бейко І.В., Зінько П.М., Наконечний О.Г. Задачі, методи і алгоритми оптимізації. Рівне: РВВ НУВВП, 2011. 624 с.  \f203  169. Гэри М., Джонсон Д. Вычислительные машины и труднорешаемые задачи М.: Мир, 1982. 416 с. 170. Сергиенко И.В., Шило В.П. Проблемы дискретной оптимизации: сложные задачи, основные подходы к их решению. Кибернетика и системный анализ. 2006. T. 42, № 4. С. 3−25. 171. Лебєдєва Т.Т., Семенова Н.В., Сергієнко Т.І. Коректність векторних задач з необмеженою допустимою множиною. Міжнародний науковий симпозіум «Інтелектуальні рішення»: матеріали ІX міжнар. школи-семінару «Теорія прийняття рішень» (Ужгород, 15–20 квітня 2019 р.). Ужгород: Інвазор, 2019. С. 22–25. 172. Сергиенко И.В., Семенова Н.В., Семенов В.В. Двухуровневая задача оптимизации распределения межбюджетных трансфертов при заданных ограничениях. Кибернетика и системный анализ. 2019. Т. 55. № 6. С. 30–40. 173. Семенов В.В. Дворівнева оптимізація розподілу міжбюджетних трансфертів при заданих обмеженнях. Доповіді НАН України. 2019. № 10. С. 11–20. 174. Sergienko I.V., Semenova N.V., Semenov V.V. Bilevel optimization problems of distribution of interbudget transfers. ХХХIV Intern. Conf. “Problems of decision making under uncertainties”. (September 23-27, 2019, Lviv, Ukraine), Kyiv: Людмила, 2019. P. 88–89. 175. Колечкина Л.Н., Нагорная А.Н., Семенов В.В. Метод решения задачи условной оптимизации на комбинаторном множестве размещений. Проблемы управления и информатики. 2019. № 4. С. 62 – 72. 176. Ломага М.М., Семенова Н.В. Квадратичні лексикографічні задачі оптимізаціїї і відображення Лагранжа. Науковий вісник Ужгородського університету. Серія «Математика і інформатика». 2019. № 2 (35). С.  7− 133.  \f204  177. Лебедева Т.Т., Семенова Н.В., Сергиенко Т.И. Многокритериальная задача оптимизации: устойчивость к возмущениям входных данных векторного критерия. Кибернетика и систем. анализ. 2020. № 6. С. 107–114. 178. Лебєдєва Т.Т., Семенова Н.В., Сергієнко Т.І. Стійкість за векторним критерієм задачі частково цілочислової оптимізації з квадратичними критеріальними функціями. Доповіді НАН України. 2020. № 10. С. 15−21. 179. Семенова Н.В, Колєчкін В.О. Багатокритеріальні моделі комбінаторної оптимізації та їх застосування для захисту інформаційних мереж. Сучасні проблеми математичного моделювання, прогнозування та оптимізації. Тези доповідей 9-ї Міжнар. наукової конференції (14-15 травня 2020р.) Кам’янецьПодільський: Кам’янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка, 2020. 136 с. C. 70-71. 180. Семенова Н.В, Чайка Д.О., Мановицька Д.О. Багатокритеріальна модель визначення складу енергогенеруючих об’єктів регіону. Сучасні проблеми математичного моделювання, прогнозування та оптимізації. Тези доп. 9-ї Міжнар. наукової конференції (14-15 травня 2020р.) Кам’янецьПодільський: Кам’янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка, 2020. 136 с. C. 74-75. 181. Семенова Н.В., Ломага М.М. Стохастичні задачі лексикографічної оптимізації. Сучасні проблеми математичного моделювання, прогнозування та оптимізації. Тези доп. 9-ї Міжнар. наукової конференції (14-15 травня 2020р.) Кам’янець-Подільський: Кам’янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка, 2020. 136 с. C. 99. 182. Semenova N.V., Lomaha M.M. Method of solution of lexicographical optimization problems under uncertainty. ХХХV Intern. Conf. ―Problems of decision making under uncertainties‖. PDMU-2020. Abstracts. (May 11-15, 2020, Baku-Sheki, Republic of Azerbaijan). К: Вид-во ―Людмила‖. P. 81. 183. Lebedeva T.T., Semenova N.V., Sergienko T.I. On some types of stability for mixed integer quadratic vector optimization problems. ХХХV Intern. Conf.  \f205  ―Problems of decision making under uncertainties‖. PDMU-2020. Abstracts. (May 11-15, 2020, Baku-Sheki, Republic of Azerbaijan). К: Вид-во ―Людмила‖. P. 5758. 184. Semenova N.V., Manovytska D.O., Dolenko G.O. Making management decisions based on forecasted intervals between epidemics. ХХХV Intern. Conf. ―Problems of decision making under uncertainties‖. PDMU-2020. Abstracts. (May 11-15, 2020, Baku-Sheki, Republic of Azerbaijan). К: Вид-во ―Людмила‖. P. 86. 185. Semenov V.V. Koliechkin V.O. Vector problems discrete optimization: application for defense of information networks. ХХХV Intern. Conf. ―Problems of decision making under uncertainties‖. PDMU-2020. Abstracts. (May 11-15, 2020, Baku-Sheki, Republic of Azerbaijan). К: Вид-во ―Людмила‖. P. 80. 186. Ведель Я.И., Голубева Е.Н., Семенов В.В. Адаптивный экстрапроксимальный метод. Сучасні проблеми математичного моделювання, прогнозування та оптимізації: тези доповідей 9-ї Міжнародної наукової конференції. Кам’янець-Подільський: Кам’янець-Подільський національний університет імені Івана Огієнка, 2020. 136 с. C. 87-89. 187. Yana Vedel, Vladimir Semenov. Adaptive extraproximal algorithm for the equilibrium problem in Hadamard spaces. Book of abstrats of reports presented at the XI International Conferenсe on Optimization Methods and Appliсations «Optimization and Appliations (OPTIMA-2020) held online, September 28 October 2, 2020. P. 84. 188. Denisov S.V., Kharkov O., Semenov V., Vedel Ya. About regularized adaptive extra-proximal algorithm for equilibrium problems in Hadamard spaces. XХXV International Conference ―Problems of decision making under uncertainties‖. PDMU-2020. Abstracts. May 11-15, 2020, Baku-Sheki, Republic of Azerbaijan. К: Вид-во ―Людмила‖ P. 32.  \f"}}},
{"date":{"0":{"date":"2021-04-08","date_type":"registration"}},"nti":{"0":{"nti_code":"68.35.29","nti_udk":"633.1","nti_name":"Зернові культури"},"1":{"nti_code":"68.35.03","nti_udk":"633\/635:631.52","nti_name":"Селекція і насінництво сільськогосподарських культур"}},"addons":{"0":{"value":"0119U100426","key":"rk"}},"registration_number":"0221U100704","author":{"person_names":{"0":{"name_language":"en","name_first":"Svitlana","name_co":"M.","name_full":"Horbachova Svitlana M.","name_last":"Horbachova"},"1":{"name_language":"ua","name_first":"Світлана","name_co":"Миколаївна","name_full":"Горбачова Світлана Миколаївна","name_last":"Горбачова"}},"person_type":"head_work","statuses":{"0":{"status_code":"к. с.-г. н.","status_type":"degree","status_name":"Кандидат сільськогосподарських наук"},"1":{"status_code":"06.01.05","status_type":"specialty","status_name":"Селекція і насінництво"}},"person_id":21609},"description":{"0":{"description_type":"title","description_text":"To create starting material and a millet variety adapted to different growing conditions, with high yield and grain quality and increased cold tolerance","description_language":"en"},"1":{"description_type":"title","description_text":"Створити вихідний матеріал та сорт проса з високою врожайністю і якістю зерна, з підвищеною холодостійкістю, адаптований до різних умов вирощування","description_language":"ua"},"2":{"description_type":"referat","description_text":"Object: millet breeding. Purpose: to create a grain millet variety with high yield capacity, high cold tolerance, resistance to smut, high technological and biochemical indicators of grain, and adaptability to various growing conditions. Methods: field (visual); laboratory (measuring and weighing); biochemical; statistical. Results: A possibility of obtaining drought-resistant and cold-tolerant forms, which combine high plant performance with high quality indices, was proven. In 2019, five lines (L 05-3560, L 11-5613, L 05-3502, L 08-3728, and L 09-4053), which combine high yields with high cold tolerance (7 points) and drought resistance (7 points), large grains (1000-grain weight 7.96 - 8.40 g), high groats output (81.6 - 83.2%), high starch (74-77% ) and carotenoid (6.0–7.9 mg\/kg) contents, and resistance to smut, were selected and transferred to the NCPGRU. Millet variety Peremozhne giving a high yield (by 0.42-0.54 t\/ha than that from the check variety), with increased cold tolerance, resistance to smut, high technological and biochemical indicators of grain (hull content 15.4– 17.9%, groats output 81.7–82.3%, carotenoid content 6.72–7.68 mg\/kg, protein content 13.4–14.1%) was submitted for the qualifying examination. As of 2020, the Register of Plants Varieties Suitable for Cultivation in Ukraine included 10 millet varieties bred at the PPI nd.a. VYa Yuriev NAAS, five of which were added during the last three years. Over the reporting period, the area of seed crops amounted to 83.7 hectares; 81.89 tons of seeds were sold. Due to selling scientific and technical products, the Institute’s special fund got 1,998,300 UAH. The estimated cost of the work in accordance with the calendar plan and in agreement with the main institution for 2019-2020 is 456,300 UAH, ie 4.38 UAH per 1 UAH from state funds  was earned, indicating the breeding effectiveness within the project","description_language":"en"},"3":{"description_type":"referat","description_text":"Об’єкт дослідження: селекція проса. Мета дослідження: створення сорту проса зернового напряму використання з високим рівнем врожайності, підвищеною холодостійкістю, стійкістю до сажки, високими технологічними та біохімічними якостями зерна, адаптованого до різних умов вирощування. Методи дослідження: польовий (візуальний); лабораторний (вимірювально–ваговий);  біохімічний; статистичний. Результати. Доведено можливість одержання посухостійких та холодостійких форм, які поєднують високу продуктивність рослин з високим рівнем показників якості. У 2019 році після проведення досліджень виділено та передано до НЦГРРУ п’ять ліній: Л 05-3560, Л 11-5613, Л 05-3502, Л 08-3728, Л 09-4053, які характеризуються поєднанням високої врожайності з підвищеною холодостійкістю (7 балів) та посухостійкістю (7 балів), з високою крупністю зерна (маса 1000 зерен 7,96-8,40 г), високим виходом крупи (81,6-83,2%), підвищеним вмістом крохмалю (74–77%) та каротиноїдів (6,0–7,9 мг\/кг), стійкістю до сажки. Для проведення кваліфікаційної експертизи передано сорт проса Переможне з високим рівнем врожайності (перевищення врожайності над сортом стандартом дорівнює 0,42-0,54 т\/га), підвищеною холодостійкістю, стійкістю до сажки, високими технологічними та біохімічними якостями зерна: плівчастість 15,4–17,9%, вихід крупи 81,7–82,3%, вміст каротиноїдів 6,72–7,68 мг\/кг, вміст білка 13,4–14,1%. На 2020 рік до Реєстру сортів рослин, придатних до вирощування в Україні, внесено 10 сортів проса селекції ІР ім. Юр’єва НААН, п’ять з яких за останні три роки. За звітний період площа насінницьких посівів склала 83,7 га, реалізовано 81,89 т насіння, внесено до спецфонду інституту за рахунок реалізації науково-технічної продукції 1998,3 тис. грн. Кошторисна вартість робіт згідно календарного плану та відповідно до угоди з головною установою за 2019-2020 рік становить 456,3 тис. грн., тобто на 1 грн. державних коштів зароблено 4,38 грн., що вказує на ефективність селекційної роботи по завданню","description_language":"ua"},"4":{"description_type":"ntp_description","description_text":"","description_language":"ua"}},"record_type":2,"persons":{"0":{"person_names":{"0":{"name_language":"en","name_first":"Svitlana","name_co":"M.","name_full":"Horbachova Svitlana M.","name_last":"Horbachova"},"1":{"name_language":"ua","name_first":"Світлана","name_co":"Миколаївна","name_full":"Горбачова Світлана Миколаївна","name_last":"Горбачова"}},"person_type":"head_work","statuses":{"0":{"status_code":"к. с.-г. н.","status_type":"degree","status_name":"Кандидат сільськогосподарських наук"},"1":{"status_code":"06.01.05","status_type":"specialty","status_name":"Селекція і насінництво"}},"person_id":21609},"1":{"person_names":{"0":{"name_language":"en","name_first":"Liubov","name_co":"N.","name_full":"Kobyzieva Liubov N.","name_last":"Kobyzieva"},"1":{"name_language":"ua","name_first":"Любов","name_co":"Никифорівна","name_full":"Кобизєва Любов Никифорівна","name_last":"Кобизєва"}},"person_type":"head_firm","statuses":{"0":{"status_code":"д. с.-г. н.","status_type":"degree","status_name":"Доктор сільськогосподарських наук"},"1":{"status_code":"06.01.05","status_type":"specialty","status_name":"Селекція і насінництво"}},"person_id":5680},"2":{"person_names":{"0":{"name_language":"en","name_first":"Olha","name_co":"V.","name_full":"Horlachova Olha V.","name_last":"Horlachova"},"1":{"name_language":"ua","name_first":"Ольга","name_co":"Вікентіївна","name_full":"Горлачова Ольга Вікентіївна","name_last":"Горлачова"}},"person_type":"workers","statuses":{"0":{"status_code":"к. с.-г. н.","status_type":"degree","status_name":"Кандидат сільськогосподарських наук"},"1":{"status_code":"06.01.05","status_type":"specialty","status_name":"Селекція і насінництво"}},"person_id":567461},"3":{"person_names":{"0":{"name_language":"en","name_first":"Nadiia","name_co":"S.","name_full":"Ponomarenko Nadiia S.","name_last":"Ponomarenko"},"1":{"name_language":"ua","name_first":"Надія","name_co":"Сергіївна","name_full":"Пономаренко Надія Сергіївна","name_last":"Пономаренко"}},"person_type":"workers","statuses":{},"person_id":1441379}},"date_number":"2021-04-09T03:58:24Z","registration_date":"2021-04-08","firms":{"0":{"firm_name":{"0":{"firm_name":"Інститут рослинництва ім. В.Я. Юр'єва Національної академії аграрних наук України","firm_language":"ua"},"1":{"firm_name":"Plant Production Institute nd. a. V. Ya. Yuriev","firm_language":"en"}},"firm_type":"contractor","firm_edrpou":"00497176","firm_id":411,"firm_jurisdiction":"Нацiональна академія аграрних наук України"},"1":{"firm_name":{"0":{"firm_name":"Національна академія аграрних наук України","firm_language":"ua"},"1":{"firm_name":"The National Academy of Agrarian Sciences Of Ukraine","firm_language":"en"}},"firm_type":"customers","firm_edrpou":"00024360","firm_id":261,"firm_jurisdiction":"Кабінет Міністрів України"}},"id":160640,"has_texts":false},
{"date":{"0":{"date":"2021-04-18","date_type":"registration"}},"nti":{"0":{"nti_code":"68.37","nti_udk":"632.9","nti_name":"Захист сільськогосподарських рослин"}},"addons":{"0":{"value":"0119U100748","key":"rk"}},"registration_number":"0221U101258","author":{"person_names":{"0":{"name_language":"en","name_first":"Elena","name_co":"V.","name_full":"Snezhok Elena V.","name_last":"Snezhok"},"1":{"name_language":"ua","name_first":"Олена","name_co":"Василівна","name_full":"Сніжок Олена Василівна","name_last":"Сніжок"}},"person_type":"head_work","statuses":{},"person_id":80874},"description":{"0":{"description_type":"title","description_text":"Improve the technology of protecting corn from harmful organisms in different soil treatments in the Polissya area","description_language":"en"},"1":{"description_type":"title","description_text":"Удосконалити технологію захисту кукурудзи від шкідливих організмів за різних обробітків ґрунту в зоні Полісся","description_language":"ua"},"2":{"description_type":"referat","description_text":" The object of research - the species composition of pathogens, their development by different tillage technologies in maize crops.\nSubject of research - corn, pests, diseases, spraying, herbicide, fungicide, insecticide, tillage.\nResearch methods. The research is based on field experiments using the following methods: visual - to determine the phenological phases of growth and development of culture; estimated - to determine the development of diseases, pests, parameters of crop structure and grain yield, grain quality; chemical - to determine the content of nutrients in the soil; mathematical and statistical - to assess the reliability of research results; settlement and comparative - for the analysis of economic efficiency.\nThe largest number of weeds was observed in variants without herbicide spraying during surface tillage and was 545.6 pcs.\/m2, which is 2 times higher than on the shelf (277.1 pcs.\/m2). The highest technical efficiency of herbicides of 96.8% was observed on the 14th day after spraying with shelf tillage.\nIn variants without insecticide, the aphid infestation of corncob was 75-85%. The use of Belt allowed to reduce the population of plants by 3.5 times the pest.\nThe technical efficiency of the fungicide Retengo against fusarium wilt was at the level of 87.1-90.0%, gray rot - 78.3-80.1% and helminthosporiosis 79.4-81.4% depending on the tillage.\nYields at the level of 11.83 t \/ ha were observed with shelf tillage and intensive protection system. The lack of a protection system reduced this figure by 38.0-41.7%.\nThe highest economic efficiency was obtained on the option of shelf tillage with integrated plant protection conditionally net income was 30130.0 UAH \/ ha, payback of additional costs - 3.","description_language":"en"},"3":{"description_type":"referat","description_text":"Об'єкт досліджень – видо¬вий склад пато¬генів, їх розвитк за різних технологій обробітку ґрунту на посівах  кукурудзи.\nПредмет досліджень – кукурудза, шкідники, хвороби, обприскування, гербіцид,  фунгіцид, інсектицид, обробітки ґрунту.\nМетоди досліджень. В основу досліджень покладені польові досліди з використанням методів: візуального – для визначення фенологічних фаз росту і розвитку культури; підрахункового – для визначення розвитку хвороб, шкідників, параметрів структури врожаю і врожайності зерна, якості зерна; хімічного – для визначення вмісту елементів живлення в ґрунті; математико-статистичного – для оцінки достовірності результатів досліджень; розрахунково-порівняльного – для аналізу економічної ефективності.\n\tНайбільша кількість бур'янів спостерігалася на варіантах без обприскування гербіцидом за  поверхневого обробітку ґрунту  і становила 545,6 шт.\/м2, що в 2 рази вища ніж на полицевому (277,1 шт.\/м2). Найвища технічна ефективність гербіцидів 96,8% спостерігалася на 14 день після обприскування за полицевого обробітку ґрунту. \n\tНа варіантах без інсектициду заселеність попелицею кукурудзяною волохатою становила 75-85%,. Застосування Белту дозволило в 3,5 рази знизити заселеність рослин шкідником.\n\tТехнічна ефективність фунгіциду Ретенго проти фузаріозу була на рівні 87,1-90,0%, сірої гнилі – 78,3-80,1% та гельмінтоспоріозу 79,4-81,4% в залежності від обробітку ґрунту. \n\tУрожайність на рівні 11,83 т\/га відмічалася за полицевого обробітку ґрунту та інтенсивної системи захисту. Відсутність системи захисту знизило цей показник на 38,0-41,7%.\n\tНайвищу економічну ефективність одержано на варіанті за полицевого обробітку ґрунту з інтегрованим захистом рослин умовно-чистий доход становив 30130,0 грн\/га, окупність додаткових витрат - 3,7 грн.\n ","description_language":"ua"},"4":{"description_type":"ntp_description","description_text":"","description_language":"ua"}},"record_type":2,"persons":{"0":{"person_names":{"0":{"name_language":"en","name_first":"Elena","name_co":"V.","name_full":"Snezhok Elena V.","name_last":"Snezhok"},"1":{"name_language":"ua","name_first":"Олена","name_co":"Василівна","name_full":"Сніжок Олена Василівна","name_last":"Сніжок"}},"person_type":"head_work","statuses":{},"person_id":80874},"1":{"person_names":{"0":{"name_language":"en","name_first":"Volodymyr","name_co":"M.","name_full":"Polovyi Volodymyr M.","name_last":"Polovyi"},"1":{"name_language":"ua","name_first":"Володимир","name_co":"Мефодійович","name_full":"Польовий Володимир Мефодійович","name_last":"Польовий"}},"person_type":"head_firm","statuses":{"0":{"status_code":"д. с.-г. н.","status_type":"degree","status_name":"Доктор сільськогосподарських наук"},"1":{"status_code":"06.01.04","status_type":"specialty","status_name":"Агрохімія"}},"person_id":8611},"2":{"person_names":{"0":{"name_language":"en","name_first":"Bohdan","name_co":"V","name_full":"Luzhnyi Bohdan V","name_last":"Luzhnyi"},"1":{"name_language":"ua","name_first":"Богдан","name_co":"Васильович","name_full":"Лужний Богдан Васильович","name_last":"Лужний"}},"person_type":"workers","statuses":{},"person_id":826823},"3":{"person_names":{"0":{"name_language":"en","name_first":"Elena","name_co":"V.","name_full":"Snezhok Elena V.","name_last":"Snezhok"},"1":{"name_language":"ua","name_first":"Олена","name_co":"Василівна","name_full":"Сніжок Олена Василівна","name_last":"Сніжок"}},"person_type":"workers","statuses":{"0":{"status_code":"к. с.-г. н.","status_type":"degree","status_name":"Кандидат сільськогосподарських наук"}},"person_id":80863}},"date_number":"2021-04-19T04:07:38Z","registration_date":"2021-04-18","firms":{"0":{"firm_name":{"0":{"firm_name":"Інститут сільського господарства Західного Полісся","firm_language":"ua"},"1":{"firm_name":"Institute of Agriculture of Western Polissya","firm_language":"en"}},"firm_type":"contractor","firm_edrpou":"00729600","firm_id":3034,"firm_jurisdiction":"Міністерство аграрної політики України"},"1":{"firm_name":{"0":{"firm_name":"Національна академія аграрних наук України","firm_language":"ua"},"1":{"firm_name":null,"firm_language":"en"}},"firm_type":"customers","firm_edrpou":"00243600","firm_id":342,"firm_jurisdiction":""}},"id":161644,"has_texts":true,"full_text":{"0":{"filename":"1-ПНД 12 викон..pdf","text":" \f"},"1":{"filename":"1-ПНД 12.docx","text":" Національна академія аграрних наук Інститут захисту рослин НААН Інститут сільського господарства Західного Полісся с. Шубків, вул. Рівненська, 5, Рівненський р-н, Рівненська обл., 35325 тел. (362) 27-36-74 № держреєстрації 0119U100748  \"ЗАТВЕРДЖУЮ\" Директор ІСГ Західного Полісся, академік, д.с.г.н. В.П.Польовий \"__\" _______________ 2020 р.  ЗВІТ про науково-дослідну роботу   .05.00.21.П \"Удосконалити технологію захисту кукурудзи від шкідливих організмів за різних обробітків ґрунту в зоні Полісся \"(2019-2020 рр.) НТП “Захист рослин ” Відповідальний виконавець: к. с.-г. наук  Сніжок О.В. Рукопис закінчено 27 жовтня 2020 р. Результат роботи розглянуто вченою радою ІСГ Західного Полісся Протокол № 13 від 4 листопада 2020 Рівне – 2020 1  \fСПИСОК ВИКОНАВЦІВ  Керівник НДР, Вчений секретар, к.с.-г. н.:  О.В. Сніжок  Інженер з питань метрології та стандартизації  Б.В. Лужний (відповідність звіту вимогам ДСТУ 3008-15)  2  \fРЕФЕРАТ Звіт написаний на 21 сторінках, включає 7 таблиць. Об'єкт досліджень – видовий склад патогенів, їх розвитк за різних технологій обробітку ґрунту на посівах кукурудзи. Предмет досліджень – кукурудза, шкідники, хвороби, обприскування, гербіцид, фунгіцид, інсектицид, обробітки ґрунту. Методи досліджень. В основу досліджень покладені польові досліди з використанням методів: візуального – для визначення фенологічних фаз росту і розвитку культури; підрахункового – для визначення розвитку хвороб, шкідників, параметрів структури врожаю і врожайності зерна, якості зерна; хімічного – для визначення вмісту елементів живлення в ґрунті; математикостатистичного – для оцінки достовірності результатів досліджень; розрахунковопорівняльного – для аналізу економічної ефективності. Найбільша кількість бур'янів спостерігалася на варіантах без обприскування гербіцидом за поверхневого обробітку ґрунту і становила 545,6 шт.\/м2, що в 2 рази вища ніж на полицевому (277,1 шт.\/м2). Найвища технічна ефективність гербіцидів 96,8% спостерігалася на 14 день після обприскування за полицевого обробітку ґрунту. На варіантах без інсектициду заселеність попелицею кукурудзяною волохатою становила 75-85%,. Застосування Белту дозволило в 3,5 рази знизити заселеність рослин шкідником. Технічна ефективність фунгіциду Ретенго проти фузаріозу була на рівні 87,1-90,0%, сірої гнилі – 78,3-80,1% та гельмінтоспоріозу 79,4-81,4% в залежності від обробітку ґрунту. Урожайність на рівні 11,83 т\/га відмічалася за полицевого обробітку ґрунту та інтенсивної системи захисту. Відсутність системи захисту знизило цей показник на 38,0-41,7%. Найвищу економічну ефективність одержано на варіанті за полицевого обробітку ґрунту з інтегрованим захистом рослин умовно-чистий доход становив 30130,0 грн\/га, окупність додаткових витрат - 3,7 грн. КУКУРУДЗА, БУР'ЯНИ, ХВОРОБИ, ОБПРИСКУВАННЯ, ГЕРБІЦИД, ІНСЕКТИЦИДИ, ОБРОБІТКИ ҐРУНТУ  3  ФУНГІЦИД,  \fЗМІСТ Вступ………………………………………………………………….5 1. Умови та методика проведення досліджень…………………….7 1.1. Погодні умови ………………………………………………..7 1.2. Ґрунтові умови………………………………………………..9 1.3. Методика проведення досліджень …………………………..9 2. Результати досліджень ………………………………………….10 Висновки……………………………………………………………19 Перелік посилань……………………………………......................20  4  \fВСТУП Досягнення високої ефективності та сталого розвитку землеробства неможливе без збереження та відтворення родючості ґрунтів. В сучасних умовах, особливо при орендних відносинах, ґрунти розглядають як джерело і засіб одержання максимального прибутку [2,9]. Проте, мало уваги приділяється охороні та відновленню родючості сьогодні, незважаючи на те, що в майбутньому для вирішення цих питань необхідно буде витрачати значні матеріальні ресурси. Зміна пріоритетів розвитку сучасного землеробства на фоні подальшої деградації ґрунтів зумовлює необхідність удосконалення системи обробітку ґрунту під культури сівозміни в напрямку мінімалізації з урахуванням типу сівозміни,  кількості  і  якості  післяжнивних  решток,  рівня  удобрення,  фітосанітарного стану посівів, технічних можливостей господарств [ ,23,28]. Останніми роками спостерігається щорічне погіршення фітосанітарного стану посівів сільськогосподарських культур. Одним із головних чинників такого явища стала дестабілізація системи землекористування й порушення або відсутність сівозмін, що призвело до високої потенційної засміченості ґрунту насінням і веґетативними зачатками бур’янів [7,18,20,30]. У сівозмінах, порівняно з безсистемними чи повторними посівами, зміна екологічних умов, характеру взаємовідносин між культурними рослинами і бур’янами, технологічних заходів вирощування для кожної культури, зокрема обробітку ґрунту, є суттєвою перешкодою виникнення й поширення бур’янів [8,14,16,26]. Протягом трьох останніх десятиліть в Україні як у науці, так і у виробництві відбувалися суперечки між прибічниками традиційної системи землеробства, яка базувалася на оранці, і ґрунтозахисного землеробства з мінімальним обробітком  5  \fґрунту без обертання скиби та внесенні післяжнивних решток в якості добрива [10,13,18,24]. Вважається, що при застосуванні ґрунтозахисної системи обробітку ґрунту спостерігається різке збільшення забур’яненості полів та зміна видового складу бур’янів у бік збільшення частки важковикорінюваних і найбільш шкодочинних видів [11,14,20]. Водночас інші дослідники вважають, що при безполицевому обробітку ґрунту насіння бур’янів консервується в глибоких шарах ґрунту й втрачає життєздатність, створюючи умови для очищення ґрунту від насіння бур’янів [6,7]. Зауважимо, що  за літературними джерелами відмічено, що  поєднання лущення й безполицевого обробітку ґрунту забезпечує зменшення забур’яненості посівів однорічними бур’янами в 2,2 рази, а багаторічними коренепаростковими – у 10,5 разу [18,28]. Враховуючи те, що рослини кукурудзи на початку вегетаційного періоду розвиваються дуже повільно, вони не можуть конкурувати з бур’янами, які пристосовані до прохолодних весняних днів, швидко утворюючи міцну надземну частину та кореневу систему, пригнічуючи посіви культур. Забур’яненість полів призводить до зниження продуктивності культур на 35-50% [4, 15, 21]. При такому рівні потенційного засмічення, зростанні чисельності шкідників  та  розвитку  хвороб  для  збереження  врожаю  необхідне  широкомасштабне застосування хімічних засобів захисту, що є складовою комплексної інтегрованої системи захисту культурних рослин від шкідливих організмів [1,3,4,14,25,27]. Однак нераціональне застосування хімічних засобів захисту може призвести до виникнення резистентності у шкідливих об'єктів, а також забруднення навколишнього середовища [16,17,26,31]. У зв'язку з цим асортимент препаратів хімічного захисту має формуватися з урахуванням ґрунтово-кліматичних умов конкретного регіону.  6  \fУМОВИ ТА МЕТОДИКА ПРОВЕДЕННЯ ДОСЛІДЖЕНЬ  1.  1.1. Погодні умови Польові та лабораторні дослідження проводилися на території Інституту сільського господарства Західного Полісся НААН у 4-х пільній сівозміні. Територіально даний регіон відноситься до Західного Лісостепу України, який характеризується помірно-континентальним кліматом з теплим і достатньо вологим літом. Зима порівняно тепла, малосніжна, з частими відлигами. За характером вологозабезпечення належить до зони достатнього зволоження. За  даними  Гідрометеостанції  Рівненської  області  середньорічна  температура повітря становить 7,0-7,1 ºС. Максимум тепла припадає на липень, в цей час зафіксована найвища температура повітря 31,9ºС, при середньомісячній температурі  повітря  19,8ºС.  Найбільш  холодний  місяць  –  січень,  середньомісячна температура повітря становить –5,4ºС. Перші заморозки за останні роки спостерігаються з ІІ декади листопада. Відновлення весняної вегетації відмічається найраніше – ІІІ декада лютого, найпізніше – ІІ декада березня. Останні заморозки можливі в ранкові часи протягом травня, хоча в цьому місяці переважає погода літнього типу. Тривалість безморозного періоду становить 161 день, і коливається від 104 до 187 днів. Згідно  середньобагаторічних  спостережень  Гідрометеостанції  середньорічна сума опадів становить 568 мм, із них за період активної вегетації випадає 324 мм, або 57 %. Найбільша кількість опадів випадає в липні – 84 мм. За роки досліджень (2019-2020 рр.) погодні умови були типовими для зони та сприятливими для росту і розвитку кукурудзи. Січень характеризувався досить високою як для зимового місяця середньодобовою температурою повітря. Особливо це відмічалося у 2020 році даний показник становив 0,1 С, що на 5,5С вище від кліматичної норми (-5,4С) (рис. 1). У 2019-2020 рр. спостерігалася тепла зима без снігу тому промерзання грунту відбулося з 6 по 28 січня і мала глибину від 1 до 6 см. 7  \fРис.1. Відхилення середньомісячних температур повітря від  ТЕМПЕРАТУРА ПОВ.,С  середньобагаторічної за вегетаційний період (2019-2020 рр.), С 6,0 5,0 4,0 3,0 2,0 1,0 0,0 -1,0 -2,0 -3,0  I  II  III  IV  V  VI  VII  VIII  IX  2019  0,6  4,8  4,0  1,9  0,2  3,9  0,5  2,5  1,6  2020  5,5  5,6  4,0  0,8  -2,2  2,9  2,0  3,2  2,6  МІСЯЦІ  Як показано на рис.1 вже в лютому місяці середньодобова температура була вища від  кліматичної норми на 4,8-5,6 С. У 2019 році кількість опадів  була в 2,2 рази меншою за кліматичну норму (29,0 мм), а у 2020 навпаки в 1,6 раз більшою (рис.2). Рис.2 Відхилення кількості опадів від середньобагаторічного показника за вегетаційний період (2019-2020 рр.), С  ВІДХИЛЕННЯ, ММ  100,0 80,0 60,0 40,0 20,0 0,0 -20,0 -40,0 -60,0  I  II  III  IV  V  VI  VII  VIII  XI  2019  0,9  -15,8  -1,5  -7,5  79,9  -9,0  -14,8   ,4  -7,8  2020  -7,3  18,6  - ,2  -37,4  76,0  50,5  -14,2  -10,4  -1,8  МІСЯЦІ  За роки досліджень на час сівби кукурудзи (ІІІ декада квітня) середньодобова температура повітря була в межах кліматичної норми. Проте кількість  опадів  у 2020  р.  становила  лише 3,6  мм,  менше за  середньобагаторічний показник на 37,4 мм, що дещо знизило швидкість проростання зерна. 8  \fВ зоні досліджень травнь характеризується високою вологістю. Оскільки за два роки випало більше 130 мм опадів за кліматичної норми 76,0 мм. Погодні умови літніх місяців були оптимальними для вегетації кукурудзи. За період вегетації кукурудзи сума ефективних температур ( 10 С) у 2019 році становила 1199,1С, у 2020 р. - 1 1,8 С. 1.2. Ґрунтові умови Ґрунт дослідної ділянки – темно-сірий опідзолений на лесових породах з такою агрохімічною характеристикою 0 – 30см шару грунту: гідролітична кислотність (за Каппеном) 3,24 мг-екв. на 100 г ґрунту; рН сольове – 5,35; вміст гумусу (за Тюріним) 1,50 %; рухомі форми фосфору та обмінного калію (за Кірсановим)  відповідно  25,4  та  11,0  мг\/100г  ґрунту;  азоту,  що  легкогідролізується (за Корнфільдом) 8,68 мг\/100г ґрунту; сума ввібраних основ (за методом Каппена-Гільковіца) 8,4 мг-екв. на 100 г ґрунту. Дослідження проводяться по загальних фонах удобрення в нормах рекомендованих для культур сівозміни в умовах області. Сівба проводилася районованим сортом в оптимальні строки. 1.3.  Методика проведення досліджень  \"Удосконалити технологію захисту кукурудзи від шкідливих організмів за різних обробітків ґрунту в зоні Полісся\" Схема досліду № п\/п  Обробіток Система захисту грунту Полицевий Без пестицидів (контроль) на 20-22 см Гербіциди: - Фронтьєр Оптіма ( динетанамид-П 720 г\/л)- 1,2 л\/га (контроль) 1. - Мілагро 240 SC (нікосульфурон 240 г\/л) – 0,6 л\/га + ПАР 0,34 л\/га. Інсектицид:- Белт (флубендіамід 480 г\/л) – 0,15 л\/га Фунгіцид: - Ретенго (піраклостробін 200 г\/л) – 0,5 л\/га -\/\/2. Мілкий на 10-  см -\/\/-\/\/3. Поверхне вий на 6-8 см -\/\/9  \fФенологічні спостереження за „Методичними вказівками по проведенню наукових досліджень в землеробстві, рослинництві і агрохімії” (1976), та – у відповідності до методики Держсортмережі (1975). Площа облікової ділянки – 50 м2, трьохразова повторність. Попередник – пшениця озима.  Проводилися агрохімічні аналізи дослідних варіантів:  гідролітична кислотність (за Каппеном), рН сольове, вміст гумусу (за Тюріним), рухомі форми фосфору та обмінного калію (за Кірсановим), азоту (за Корнфільдом). Обприскування кукурудзи Фронтьєр Оптима проводили відразу після сівби, Мілагро – в фазі 6 листків. Фунгіцид Ретенго застосовували у фазу 8 листків, інсектицид Белт у фазу 10 листків. Облік бур'янів проводився до обприскування гербіцидом, а також через 7 та 14 днів після обприскування. Визначали видовий склад бур'янів та кількість на 1 м2 . Обліки хвороб та шкідників проводили за методикою В.П.Омелюти [22]. Для визначення хвороб брали на 10 майданчиках по 10 рослин і за фактично зайнятою грибницею або плямами площею листків, стебел за шкалою Е.Е.Гешеля [3] визначали розвиток та поширення хвороб. Технічну ефективність дії препаратів, а також їх економічну ефективність визначали за методикою С.О.Трибеля, Д.Д.Сігарьова, М.П.Секун [17]. В період збирання визначали структурний аналіз кукурудзи і сої та облік їх урожаю, проводилася математична обробка даних. 2. Результати досліджень На варіантах де проводили полицевий та мілкий обробітоки ґрунту сходи кукурудзи на зерно з’явилися на 3-5 доби раніше ніж на варіанті де проводили поверхневий обробіток ґрунту. Проте використання полицевого обробітку ґрунту сприяло скорішому проходженню фаз розвитку рослин кукурудзи на 3-4 дні, порівняно з безполицевими обробітками. 10  \fЗа роки досліджень (2019-2020 рр.) на час сходів кукурудзи на зерно за використання систем обробітку ґрунту та удобрення були задовільні запаси продуктивної вологи в 0-20 см шарі ґрунту – 31,9-40,5 мм та в 0-100 см шарі ґрунту – 147,9-178,9 мм. Бур’яновий ценоз сівозміни за 2019-2020 рр. в посівах кукурудзи мав подібний видовий склад. Проте у 2019 році найбільш чисельним бур'яном була мітлиця звичайна (42-155 шт.\/м2) та смілка гальська ( -28 шт.\/м2), а у 2020 році фіалка польова (220-579 шт.\/м2). В основному за період досліджень видовий склад бур'янів був представленний переважно: мітлицею звичайною (27,0-114,0 шт.\/м2), фіалкою польовою (22,5-303,6 шт.\/м2) ромашкою непахучою (1,0-8,0 шт.\/м2), зірочником середнім (2,0-14,5 шт.\/м2), талабаном польовим (1,2-5,2 шт.\/м2), гірчаком берізкоподібним (2,5-34,0 шт.\/м2), падалицею ріпаку (1,0-9,0 шт.\/м2), лободою білою (2,5-16,5 шт.\/м2) та інші (табл.1). Найбільша кількість бур'янів спостерігалася на варіантах без обприскування гербіцидом за поверхневого обробітку ґрунту і становила 545,6 шт.\/м2, що в 2 рази вища ніж на полицевому (277,1 шт.\/м2). Як свідчать результати досліджень за інтенсивної системи захисту прослідковувалася подібна тенденція, тобто, мінімальна кількість бур’янів як на період сходів, так і на період дозрівання кукурудзи спостерігалася за полицевого обробітку ґрунту. Перші ознаки дії гербіцидів були відмічені на 6 день після обприскування. Пожовтіння і деформація верхівок відмічалася на таких бур'янах як гірчаку берізкоподібному, лободі білій, спориші звичайному, грабельках звичайних, падалиці ріпаку. Дослідженнями  встановлено,  що  найвища  технічна  ефективність  гербіцидів спостерігалася на 14 день після обприскування, оскільки на 30 день з’являється нова хвиля бур'янів, зокрема, фіалки польової та хвоща польового (табл.1).  11  \fДослідженнями  встановлено,  що  найвища  технічна  ефективність  гербіцидів спостерігалася на 14 день після обприскування і за полицевого обробітку ґрунту (96,8%) (табл.2). Таблиця 2 Ефективність застосування гербіцидів на посівах кукурудзи (Інститут сільського господарства Західного Полісся, 2019-2020 рр. ) Варіант  Полицевий на 20-22 см  Мілкий на 10-  см  Поверхневий на 6-8 см  Без пестицидів (контроль) Інтегрована система захисту Без пестицидів (контроль) Інтегрована система захисту Без пестицидів (контроль) Інтегрована система захисту  Кількість бур’янів, шт.\/м2 1 2 3 4 облік облік облік облік  Технічна ефективність,%  Маса бур’янів, г\/м2  2 ,8  250,6  266,3  277,1  0  330,1  179,2  64,5  8,5   ,5  96,8  44,6  287,9  373,4  384,1  401,1  0  462,5  81,8  29,0  25,0  32,0  93,5  88,3  455,7  517,6  533,1  545,6  0  578,3  446,1  118,2  48,5  53,5  90,9  111,4  За роки досліджень на час збирання урожаю, маса бур’янів на варіантах без гербіцидів становила 330,1-578,3 г\/м2 в залежності від обробітку ґрунту, тоді як на варіантах де застосовувалися гербіциди 44,6-111,4 г\/м2 відповідно (табл.2). Слід відмітити, що в зоні досліджень на посівах кукурудзи значних пошкоджень шкідниками не спостерігалося. Одним з найбільш чисельних шкідників особливо з країв поля спостерігалася була попелиця кукурудзяна волохата. На варіантах без інсектициду заселеність шкідником становила 7585%,. Застосування Белту дозволило в 3,5 рази знизити заселеність рослин попелицею, при цьому кількість її в колонії була значно менша.     \fфіалка польова  лобода біла  ромашка непахуча  мітлиця звичайна  талабан польовий  зірочник середній  подорожник великий  хвощ польовий  смілка гальська  грабельки звичайні  галінсога дрібнолисткова  падалиця ріпаку  спориш звичайний  4,2   6,0  2,5  4,1  51,0  0  2,0  10,0  0   ,0  1,0  0  0  0  2 ,8  2 І-ІІІ  6,5  141,9  4,5  5,0  55,0  1,2  3,5  10,0  0  14,0  5,0  0  2,0  2,0  250,6  3 І-ІІІ  6,5  151,5  4,5  5,0  56,6  1,2  3,5  11,5  0  14,0  5,0  3,0  2,0  2,0  266,3  4 І-ІІІ  6,5  151,5  4,5  5,0  58,9  1,2  4,5  11,5  3,0  14,0  5,0  7,5  2,0  2,0  277,1  Інтегрована система захисту  1 І-ІІІ  2,5  1 ,2  3,5  0,5  31,0  0  0,5  3,0  0  24,0  0  0  1,0  1,0  179,2  2 І-ІІІ  0  53,5  0  0  10,0  0  0  1,0  0  0  0  0  0  0  64,5  3 І-ІІІ 4 І-ІІІ  0 0  3,5 3,5  0 0  0 0  5,0 5,0  0 0  0 0  0 0  0 0  0 0  0 0  0 4,0  0 0  0 0  8,5  ,5  1 І-ІІІ  8,5  199,5  5,6  1,0  35,0  1,5  2,5  3,3  3,0  23,0  3,0  0  1,0  1,0  287,9  Без пестицидів (контроль)  2 І-ІІІ  11,0 253,5  7,5  1,9  54,0  2,5  5,0  5,0  5,0  23,0  3,0  0  1,0  1,0  373,4  Інтегрована система захисту  Всього  гірчак беріз коподібний  Без пестицидів (контроль)  Кількість бур’янів, шт.\/м2  1 І-ІІІ  Обліки Мілкий на 10-  см  Полицевий на 20-22 см (контроль)  Варіант  Повторність  Вплив гербіцидів на видову забур’яненість посівів кукурудзи (Інститут сільського господарства Західного Полісся, 2019-2020 рр.)  3 І-ІІІ 13,5  254,0  9,5  2,1  59,5  2,5  5,0  5,0  5,0  23,0  3,0  0  3,0  3,0  384,1  4 І-ІІІ 15,0  257,0  9,5  2,1  59,5  2,5  5,5  5,0  7,0  23,0  3,0  6,0  3,0  3,0  401,1  1 І-ІІІ  9,5  22,5  3,2  1,0  27,0  0  3,3  1,3  2,0  10,0  2,0  0  0  0  81,8  2 І-ІІІ  0  18,0  0  0  11,0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  29,0  3 І-ІІІ  0  17,5  0  0  7,5  0  0  0  0  0  0  0  0  0  25,0  13  \fПоверхневий на 6-8 см  4 І-ІІІ Без пестицидів (контроль)  Інтегрована система захисту  0  21,5  0  0  7,5  0  0  0  0  0  0  3,0  0  0  32,0  1 І-ІІІ 18,5  268,0 13,0  6,6  104,0  3,6   ,0  1,0  1,0  14,0  2,0  0  7,0  5,0  455,7  2 І-ІІІ 31,0  295,6 15,5  8,0  109,0  4,0  14,5  2,0  2,0  18,0  4,0  0  9,0  5,0  517,6  3 І-ІІІ 31,5  299,6 16,5  8,0  114,0  4,0  14,5  3,0  4,0  18,0  4,0  2,0  9,0  5,0  533,1  4 І-ІІІ 34,0  303,6 16,5  8,0  114,0  4,0  14,5  3,0  4,0  18,0  4,0  8,0  9,0  5,0  545,6  1 І-ІІІ 22,0  292,0  8,1  5,5  63,5  5,2  10,5  5,3  0  28,0  1,0  0  3,0  2,0  446,1  2 І-ІІІ  2,5  85,5  0  1,0  25,2  1,0  0  3,0  0  0  0  0  0  0  118,2  3 І-ІІІ  0  28,5  0  1,0  19,0  0  0  0  0  0  0  0  0  0  48,5  4 І-ІІІ  0  29,5  0  1,0  19,0  0  0  0  1,0  0  0  3,0  0  0  53,5  14  \fУ 2019-2020 роках найбільш поширеними і шкодочинними хворобами на качанах кукурудзи були фузаріоз, сіра гниль та гельмінтоспоріоз. На необроблених фунгіцидами варіантах розвиток фузаріозу коливався в межах 7,9-10,1%, сірої гнилі -5,8-7,2% та гельмінтоспоріозу – 13,8-15,2% в залежності від обробітків ґрунту. За обприскування посівів фунгіцидом Ретенго розвиток хвороб був на рівні 1,0-3,3% (табл.3). Таблиця 3 Розвиток хвороб на качанах кукурудзи в фазу воскової стиглості (Інститут сільського господарства Західного Полісся, 2019-2020 рр. ) Фузаріоз Варіант  Полицевий на 20-22 см  Мілкий на 10-  см  Поверхневий на 6-8 см  Без пестицидів (контроль) Інтегрована система захисту Без пестицидів (контроль) Інтегрована система захисту Без пестицидів (контроль) Інтегрована система захисту  Сіра гниль  Гельмінтоспоріоз  розвиток розвиток поширепошире- розвиток поширехвороби, хвороби, ння,% ння,% хвороби, % ння,% % % 7,9  22,0  5,8   ,5  13,8  15,0  1,0  6,6  1,0  6,0  2,8  9,0  10,1  25,0  6,8  15,5  15,2  19,0  1,3  6,5  1,1  8,5  3,3  10,5  10,1  26,0  7,2  17,5  15,1  18,0  1,0  6,8  1,1  6,0  3,0  9,3  Слід відмітити, що спостерігалася не значна залежність розвитку хвороби від обробітку ґрунту, дещо нижчий розвиток і поширення за полицевого обробітку (табл.3).  15  \fТаблиця 4 Ефективність застосування фунгіцидів на посівах кукурудзи (Інститут сільського господарства Західного Полісся, 2019-2020 рр.) Варіант Полицевий на 20-22 см  Мілкий на 10-  см Поверхневий на 6-8 см  Технічна ефективність, % фузаріоз  сіра гниль  гельмінтоспоріоз  0  0  0  87,3  82,7  79,7  0  0  0  87,1  83,8  78,3  0  0  0  90,0  84,7  80,1  Без пестицидів (контроль) Інтегрована система захисту Без пестицидів (контроль) Інтегрована система захисту Без пестицидів (контроль) Інтегрована система захисту  За даними досліджень технічна ефективність фунгіциду Ретенго на 14 день після обприскування проти фузаріозу була на рівні 87,1-90,0%, сірої гнилі – 78,380,1% та гельмінтоспоріозу 79,4-81,4% в залежності від обробітку ґрунту (табл.4). Погодні умови вегетаційного періоду 2020 року були більш оптимальними для розвитку кукурудзи в порівнянні з 2019 роком. Так, висота рослин кукурудзи у 2020 була на 0,3-0,5 м більшою. Проте маса 1000 зерен навпаки була вищою у 2019 році. В середньому за роки досліджень встановлено, що обприскування посівів кукурудзи гербіцидами та фунгіцидами сприяло розвитку рослин та значно вплинуло на урожайність та якість зерна. Так на варіантах без гербіцидів висота рослин становила 1,7-2,1 м, в той час як за інтенсивної системи захисту їх висота була на 0,8-0,9 м вищою, довжина качана на 3,8-4,1 см більшою (17,7-19,8 см). Найбільша маса 1000 зерен відмічалася за полицевого обробітку ґрунту як на варанті без пестицидів (262,25 г), так і за інтенсивного захисту (364,77 г) в порівнянні з мілким (340,56 г) та поверхневим (321,63 г) обробітками (табл.5). Найвища урожайність (11,83 т\/га) спостерігалася за полицевого обробітку ґрунту та інтенсивної системи захисту (табл.6). Відсутність системи захисту знизило цей показник на 38,0-41,7%. 16  \fТаблиця 5 Структура врожаю кукурудзи залежно від обробітків грунту та захисту рослин (Інститут сільського господарства Західного Полісся НААН, 2019-2020 рр.)  Варіант  Довжина качанів, см  2,1  15,7  16  31  262,25  2,9  19,8  16  35  364,77  1,9  14,8  15  30  246,37  2,8  18,5  16  34  340,56  1,7  14,9  15  30  217,18  2,5  17,7  15  34  321,63  Без пестицидів (контроль) Інтегрована система захисту Без пестицидів (контроль) Інтегрована система захисту Без пестицидів (контроль)  Полицевий на 20-22 см  Мілкий на 10-  см  Кількість Кількість рядів зерен в зерен, ряду, шт. шт.  Довжина стебла, м  Поверхневий на 6-8 см Інтегрована система захисту  Маса 1000 зерен, г.  Таблиця 6 Урожайність кукурудзи залежно від обробітків грунту та захисту рослин (Інститут сільського господарства Західного Полісся НААН, 2019-2020 рр.) Повторення Варіант  Полицевий на 20-22 см  Мілкий на 10  см  Поверхневий на 6-8 см  Без пестицидів (контроль) Інтегрована система захисту Без пестицидів (контроль) Інтегрована система захисту Без пестицидів (контроль) Інтегрована система захисту  НІР05 обробітків фактор А  І  ІІ  ІІІ  Середнє  ± до контролю Фактор А  Фактор Б  6,87  6,95  6,88  6,90  -  -   ,13  11,74  11,62  11,83  -  +4,93  6,43  6,11  6,30  6,28  -0,62  -  10,52  10,63  10,74  10,63  -1,20  +4,35  5,40  5,36  5,31  5,36  -1,54  -  8,77  8,52  8,56  8,62  -3,21  +3,26  0,28  17  \fНІР05 система захисту фактор В НІР05 взаємодії  0,22 0,39  Таблиця 7 Економічна ефективність кукурудзи залежно від обробітків грунту та захисту рослин (Інститут сільського господарства Західного Полісся НААН, 2019-2020 рр.) Варіант  Полицевий Без пестицидів (контроль) на 20-22 Інтегрована см система захисту Без пестицидів Мілкий на (контроль) 10-  см Інтегрована система захисту Поверхне- Без пестицидів (контроль) вий на 6Інтегрована 8см система захисту  УроЦіна Вартість Витражай- реаліза- продукції, ти, грн ність, ції, грн.\/т грн.\/га т\/га  Умовно- Окупність чистий додаткових доход, витрат, грн. грн.\/га  6,90  4500,0  31050,0 17213,0  13837,0  -  11,83  4500,0  53235,0 23105,0  30130,0  3,7  6,28  4500,0  28260,0 16956,0  11304,0  -  10,63  4500,0  47835,0 23116,0  24719,0  3,2  5,36  4500,0  24 0,0 16769,0  7351,0  -  8,62  4500,0  38790,0 22199,0  16591,0  2,7  Розрахунки економічних показників за роки досліджень (2019-2020 рр.) показали, що найвищу економічну ефективність (умовно-чистий доход 30130,0 грн\/га) одержано на варіанті за полицевого обробітку ґрунту з інтегрованим захистом рослин, окупність додаткових витрат на якому становить 3,7 грн. Проте слід зазначити, що  ціни на зерно кукурудзи різко коливаються  щороку. Так у 2019 році ціна на зерно у Рівненській області становила 3500 грн., а у 2020 році – 5500 грн.  18  \fВисновки 1. На варіантах з полицевим та мілким обробітком ґрунту спостерігався інтенсивніший ріст і розвиток рослин порівняно з варіантам де проводили поверхневий обробіток ґрунту. 2.  Бур’яновий ценоз сівозміни за 2019-2020 рр. в посівах кукурудзи мав  подібний видовий склад. Проте у 2019 році найбільш чисельним бур'яном була мітлиця звичайна (42-155 шт.\/м2) та смілка гальська ( -28 шт.\/м2), а у 2020 році фіалка польова (220-579 шт.\/м2). В основному за період досліджень видовий склад бур'янів був представленний переважно: мітлицею звичайною (27,0-114,0 шт.\/м2), фіалкою польовою (22,5-303,6 шт.\/м2) ромашкою непахучою (1,0-8,0 шт.\/м2), зірочником середнім (2,0-14,5 шт.\/м2), талабаном польовим (1,2-5,2 шт.\/м2), гірчаком берізкоподібним (2,5-34,0 шт.\/м2), падалицею ріпаку (1,0-9,0 шт.\/м2), лободою білою (2,5-16,5 шт.\/м2) та інші. 3. Найбільша  кількість  бур'янів  спостерігалася  на  варіантах  без  обприскування гербіцидом за поверхневого обробітку ґрунту і становила 545,6 шт.\/м2, що в 2 рази вища ніж на полицевому (277,1 шт.\/м2). Найвища технічна ефективність гербіцидів 96,8% спостерігалася на 14 день після обприскування за полицевого обробітку ґрунту. 4. На варіантах без інсектициду заселеність попелицею кукурудзяною волохатою становила 75-85%,. Застосування Белту дозволило в 3,5 рази знизити заселеність рослин шкідником. 5. Технічна ефективність фунгіциду Ретенго проти фузаріозу була на рівні 87,1-90,0%, сірої гнилі – 78,3-80,1% та гельмінтоспоріозу 79,4-81,4% в залежності від обробітку ґрунту. 6. Найвища урожайність (11,83 т\/га) спостерігалася за полицевого обробітку ґрунту та інтенсивної системи захисту. Відсутність системи захисту знизило цей показник на 38,0-41,7%. 7. Найвищу економічну ефективність одержано на варіанті за полицевого обробітку ґрунту з інтегрованим захистом рослин умовно-чистий доход був на рівні 30130,0 грн\/га, окупність додаткових витрат становила 3,7 грн. 19  \fСписок використаних джерел 1. Арєшніков Б.А. Захист зернових культур від шкідників, хвороб і бур'янів при інтенсивних технологіях \/ Б.А.Арєшніков, М.П. Гончаренко, М.Г.Костюковський, М.П.Секун\/\/ – Київ: Урожай. – 1992. – 224 с. 2. Бомба М. Проблеми та перспективи розвитку землеробства на початку третього тисячоліття \/ М.Бомба \/\/ Пропозиція. – 2002. – № 10. – С. 30-32. 3. Гешель Э.Э. Основы фитопатологической оценки в селекции растений. М.: Колос, 1978. – 208 с. 4. Гутянський Р. Гербіциди на кукурудзі \/ Р. Гутянський, М. Цехмейструк, В. Тимчук, В. Зуза \/\/ Агробізнессьогодні. – 20 . - №4. 5. Доспехов Б.А. Методика полевого опыта.-М.:-Колос.-1985.-416с. 6. Исайкин И.И. Плуг – сорнякам друг\/ И.И. Исайкин, М.К. Волков \/\/ Земледелие. – 2007. – №1. – С. 23-24. 7. Іващенко О.О. Бур’яни на посівах – проблема масштабна \/ О.О. Іващенко \/\/ Карантин і захист рослин. – 2009. – №9. – С. 2-4. 8. Картамышев Н.И. Снижать засоренность полей в почвозащитном земледелии \/ Н.И. Картамышев, З.М. Шмат, Н.Ф. Гончаров \/\/ Земледелие. – 1992. – №2. – С. 55-58. 9. Коломієць М.В. Вплив систем обробітку на продуктивність культур і родючість грунту сівозміни\/ М.В. Коломієць \/\/ Землеробство. – 2000. – Вип. 74. – С. 23-30. 10. Котоврасов І.П. та ін. Ефективність енергозберігаючих засобів обробітку грунту в зерно;буряковій сівозміні \/\/ Ресурсозберігаючі системи обробітку грунту. – М.: ВО Агропромиздат. – 1990. – С. 51-58. 11. Крисько Ю.Ф. Основний обробіток грунту. Протибур’янова ефективність різних систем у сівозміні \/ Ю.Ф.Крисько, О.А.Уюк \/\/ Захист рослин. – 1998. – № 5. – С. 23.  . Лебідь Є.М. Сівозміни при інтенсивному землеробстві \/\/ Є.М. Лебідь, І.І. Андрусенко, І.А. Пабат. – К.: Урожай, 1992, – С. 82-102. 13. Макаров І.П. Задачі по розробці і впровадженню ресурсозберігаючого обробітку грунту в зональних системах землеробства \/ І.П.Макаров \/\/ Ресурсозберігаючі системи обробітку грунту. – М.: ВО Агропромиздат. – 1990. – С. 3-11. 14. Манько Ю.П. Ефективність контролю забур’яненості\/ Ю.П. Манько, Л.П. Кобзиста, \/\/ Карантин і захист рослин. – 2009. – №2. – С. 21-23. 15. Мегалов В.А. Выявление вредителей полевых культур\/ Мегалов В.А. \/\/ М.:-Колос.-1968.-с.113- 5.  20  \f16. Мельник П.О. Фітосанітарна безпека та біоекологія застосування пестицидів\/ П.О. Мельник, В.Я.Даньков \/\/ Чернівці.- Бояни.: 2010. – с.68-95 17. Методика випробування і застосування пестицидів \/ С.О.Трибель, Д.Д.Сігарьова, М.П.Секун, О.О.Іващенко та ін.\/\/ К.: Світ, 2001. – 448 с. 18. Мітрошин А.М. Засміченість посівів зернових культур в короткоротаційних сівозмінах \/ А.М. Мітрошин, Б.А. Павлов, Г.Г. Рощупкіна [та ін.] \/\/ Зб. наук. праць ЛНАУ. – 2006. – №58(81) – С. 81-84. 19. Максимчук І.П. Вплив систем основного обробітку грунту на родючість і врожайність культур польової сівозміни Лісостепу України \/ І.П.Максимчук \/\/ Ресурсозберігаючі системи основного обробітку грунту: – М.: ВО Агропромиздат, 1990. – С. 153-161. 20.Нечаев Л.А. Состав сорняков в зернопаропропашном севообороте\/Л.А. Нечаев, В.М. Новиков, В.И. Коротеев \/\/ Аграрная наука. – 2009. – №3. – С. 20-21. 21.Надь Я.Кукурудза \/Я.Надь \/\/ - Вінниця: ФОП Корзун Д.Ю., 20 . – 580 с. 22. Обліки шкідників і хвороб сільськогосподарських культур.\/\/ За редакцією Омелюти В.П..-К.:-Урожай.-1986.-202 с. 23. Ретьман С.В. Враховуючи зональні особливості \/ С.В. Ретьман, І.М. Сторчоус, С.М. Бабич \/\/ Захист рослин. - № 2. – 2005 р. С.1-8. 24. Рубін С.С. Землеробство.\/ С.С. Рубін, А.Г. Михайлівський, В.П. Ступаков– К.: Вища школа. –1980. – 285 с. 25. Сергієнко В. Гербіцидний контроль на кукурудзі \/ В.Сергієнко, Т. Горбач \/\/ Агробізнес сьогодні. – 20 . - №4. 26.Швартау В.В. Розробка та впровадження екологічно безпечних технологій боротьби з бурянами \/ Швартау В.В., Мордерер Є.Ю. \/\/ Карантин і захист рослин.-2010.-№9.-с.10-22. 27.Шиліна Л.І., Гринчук П.Д., Єрмолаєв М.М., Літвінов Д.В. Основіні програмні і методичні питання з вивчення сівозмін у стаціонарних дослідженнях. – ВД «ЕКМО», 2008. – С.32. 28. Яровенко В.В. Способи обробітку ґрунту і розміщення насіння бур’янів по шарах ґрунту\/ В.В. Яровенко, В.І. Зінченко, К.Г. Женченко\/\/ Вісник аграрної науки. – 1997. – №8 (532). – С. 5-7. 29. Food and Agriculture Organization of the United Nations. FAOSTAT, 2003, http:\/\/www.fao.org\/. 30. Fertilization for Sustainable Plant Production and Soil Fertility. 11th World Fertilizer Congress. GentBelgium. C.I.E.C. 1997. 331 p. 31. 11th Nitrogen Workshop. Reims. France. INRA. 2001. 538 p.  21  \fРЕКОМЕНДАЦІЇ ВИРОБНИЦТВУ В умовах Західного Полісся за вирощування культур кукурудзи на зерно за інтенсивною технологією з метою енергозбереження в системі основного обробітку ґрунту для відтворення родючості ґрунту та ефективного захисту посівів кукурудзи від шкідливих організмів рекомендуються: - проведення безполицевого на 10-  см обробітку ґрунту на фоні внесення рекомендованих доз добрив; - перед сівбою або після сівби провести обприскування ґрунтовим гербіцидом, зокрема, Фронтьєр Оптима в нормі 1,2 л\/га; - в фазу 3-6 листків посіви кукурудзи проти дводольних та однорічних злакових бур'янів обробити гербіцидом - Мілагро 240 SC в нормі 0,6 л\/га + ПАР 0,34 л\/га; - проти фузаріозу, гельмінтоспоріозу, сірої гнилі у фазу 8 листків посіви обприскувати фунгіцидом Ретенго (0,5 л\/га); - у фазу 10 листків проти шкідників застосовувати інсектицид Белт– 0,15 л\/га.  22  \f"},"2":{"filename":"1-ПНД 12.pdf","text":" \f"}}},
{"date":{"0":{"date":"2021-02-24","date_type":"defense"},"1":{"date":"2021-08-01","date_type":"registration"}},"nti":{"0":{"nti_code":"14.35.05","nti_udk":"378.02","nti_name":"Виховання у вищій професійній школі"}},"addons":{"0":{"value":"472","key":"count_pages"},"1":{"value":"7","key":"count_app"},"2":{"value":"7","key":"count_ill"},"3":{"value":"32","key":"count_tabl"},"4":{"value":null,"key":"count_schemes"},"5":{"value":"474","key":"count_origin"},"6":{"value":"38","key":"count_publications"},"7":{"value":null,"key":"count_patents"},"8":{"value":"6","key":"intro"},"9":{"value":"0105U000264","key":"theme_relations"},"10":{"value":"22","key":"diser_totals"},"11":{"value":"ua","key":"language"},"12":{"value":"22 - Теоретичне узагальнення і вирішення важливої наукової проблеми","key":"diser_totals_text"},"13":{"value":"Українська","key":"language_text"}},"registration_number":"0521U100178","author":{"person_names":{"0":{"name_language":"en","name_first":"Serhii","name_co":"Yuriiovych","name_full":"Hurov Serhii Yuriiovych","name_last":"Hurov"},"1":{"name_language":"ua","name_first":"Сергій","name_co":"Юрійович","name_full":"Гуров  Сергій  Юрійович","name_last":"Гуров"}},"person_type":"author","statuses":{"0":{"status_code":"к. геол. н.","status_type":"degree","status_name":"Кандидат геологічних наук"},"1":{"status_code":"13.00.04","status_type":"specialty","status_name":"Теорія і методика професійної освіти"}},"person_id":1449784},"description":{"0":{"description_type":"title","description_text":"Formation of spiritual and moral values of students of humanitarian specialties by means of fiction","description_language":"en"},"1":{"description_type":"title","description_text":"Формування духовно-моральних цінностей студентів гуманітарних спеціальностей засобами художньої літератури","description_language":"ua"},"2":{"description_type":"referat","description_text":"In the dissertation the complex research of formation of spiritual and moral values of students of humanitarian specialties by means of fiction is carried out. From the theoretical and methodological standpoint, the leading approaches to the spiritual and moral education of student youth are substantiated, the essence and content of spiritual and moral values are revealed. The age characteristics of humanitarian students, features of their behavior in the context of cultural, social, psychological and pedagogical patterns of development and formation of personality are studied.\nThe essence of spiritual and moral values is determined; the conceptual provisions of the organization and implementation of the process of formation of spiritual and moral values of students of humanities are substantiated. The components of the process of formation of spiritual and moral values are characterized and the model of formation of spiritual and moral values of students of humanities is developed. Criteria and indicators of levels of formation of spiritual and moral values are determined; principles and psychological and pedagogical conditions of the process of formation of students of humanities specialties of spiritual and moral values by means of fiction are determined.\nTheoretical analysis of the problem proved that the spiritual and moral formation of future specialists should outline axiological, hermeneutical, differentiated, dialogic, competence, cultural, personal approaches. The main direction of the educational process should be the attraction of the students to the assimilation of universal spiritual values developed by humanity, the creation of social, pedagogical, psychological conditions for the realization of their own potential in the education of spiritual consciousness, the manifestation of moral feelings, the implementation of spiritual and moral actions.\nDuring the analysis of scientific papers, we found that today the order for effective educational technologies and methods of spiritual and moral education of future specialists is formed. Among a number of factors that determine the need to develop this problem is an increase in the role of fiction both in the system of cultures of modern society, and in the moral face of each individual; the growth of society's requirements for the future specialist, his moral development and moral competence; the powerful influence of modern trends aimed at destroying moral values or replacing them with others.\nThe author determines psychologically-pedagogical conditions for forming spiritual and moral values: 1) creation of axiologically directed educational space and involvement of students in activity on mastering of spiritual and moral values in it; 2) reliance on the value potential of fiction as a means of educating spiritual and moral values; 3) promoting comfortable communication, interaction, cooperation and co-creation in the educational process; 4) organization of the process of education on the basis of the developed course «Fiction as a factor in the formation of spiritual and moral personality of the student», which provides for the creation of situations for constant dialogue as a form of interaction between participants; 5) systematic introduction into the educational process of the idea of humanism, achievements of national and world fiction, on the basis of which the worldview of the student's personality is formed.\nMethodical materials in the form of the program of a special course on education of spiritual and moral values of students of humanitarian specialties are developed.","description_language":"en"},"3":{"description_type":"referat","description_text":"У дисертації здійснено комплексне дослідження формування духовно-моральних цінностей студентів гуманітарних спеціальностей засобами художньої літератури. З теоретико-методологічних позицій обґрунтовано провідні підходи до духовно-морального виховання студентської молоді, розкрито сутність та зміст духовно-моральних цінностей. Проаналізовано вікові характеристики студентів-гуманітаріїв, особливості їхньої поведінки в контексті культурних, соціальних, психолого-педагогічних закономірностей розвитку та становлення особистості. \nЗ’ясовано сутність духовно-моральних цінностей; обґрунтовано концептуальні положення щодо організації та здійснення процесу формування духовно-моральних цінностей студентів гуманітарних спеціальностей. Схарактеризовано складники процесу формування духовно-моральних цінностей і розроблено теоретико-методичну модель формування духовно-моральних цінностей студентів гуманітарних спеціальностей. Визначено критерії та показники рівнів вихованості духовно-моральних цінностей; принципи й психолого-педагогічні умови процесу виховання у студентів гуманітарних спеціальностей духовно-моральних цінностей засобами художньої літератури. \nРозроблено методичні матеріали, зокрема програму спецкурсу з формування духовно-моральних цінностей студентів гуманітарних спеціальностей.","description_language":"ua"}},"record_type":5,"persons":{"0":{"person_names":{"0":{"name_language":"en","name_first":"Serhii","name_co":"Yuriiovych","name_full":"Hurov Serhii Yuriiovych","name_last":"Hurov"},"1":{"name_language":"ua","name_first":"Сергій","name_co":"Юрійович","name_full":"Гуров  Сергій  Юрійович","name_last":"Гуров"}},"person_type":"author","statuses":{"0":{"status_code":"к. геол. н.","status_type":"degree","status_name":"Кандидат геологічних наук"},"1":{"status_code":"13.00.04","status_type":"specialty","status_name":"Теорія і методика професійної освіти"}},"person_id":1449784},"1":{"person_names":{"0":{"name_language":"en","name_first":"Halyna","name_co":"Pavlivna","name_full":"Shevchenko Halyna Pavlivna","name_last":"Shevchenko"},"1":{"name_language":"ua","name_first":"Галина","name_co":"Павлівна","name_full":"Шевченко  Галина  Павлівна","name_last":"Шевченко"}},"person_type":"head","statuses":{"0":{"status_code":"д. пед. н.","status_type":"degree","status_name":"Доктор педагогічних наук"},"1":{"status_code":"13.00.07","status_type":"specialty","status_name":"Теорія і методика виховання"}},"person_id":1449785},"2":{"person_names":{"0":{"name_language":"en","name_first":"Halyna","name_co":"Pavlivna","name_full":"Shevchenko Halyna Pavlivna","name_last":"Shevchenko"},"1":{"name_language":"ua","name_first":"Галина","name_co":"Павлівна","name_full":"Шевченко Галина Павлівна","name_last":"Шевченко"}},"person_type":"advisor","statuses":{"0":{"status_code":"д. пед. н.","status_type":"degree","status_name":"Доктор педагогічних наук"},"1":{"status_code":"13.00.07","status_type":"specialty","status_name":"Теорія і методика виховання"}},"person_id":102112},"3":{"person_names":{"0":{"name_language":"en","name_first":"Nataliia","name_co":"Ye.","name_full":"Myropolska Nataliia Ye.","name_last":"Myropolska"},"1":{"name_language":"ua","name_first":"Наталія","name_co":"Євгенівна","name_full":"Миропольська Наталія Євгенівна","name_last":"Миропольська"}},"person_type":"opponent","statuses":{"0":{"status_code":"д. пед. н.","status_type":"degree","status_name":"Доктор педагогічних наук"},"1":{"status_code":"13.00.07","status_type":"specialty","status_name":"Теорія і методика виховання"}},"person_id":27492},"4":{"person_names":{"0":{"name_language":"en","name_first":"Eduaed","name_co":"Oleksandrovych","name_full":"Pomytkin Eduaed Oleksandrovych","name_last":"Pomytkin"},"1":{"name_language":"ua","name_first":"Едуард","name_co":"Олександрович","name_full":"Помиткін Едуард Олександрович","name_last":"Помиткін"}},"person_type":"opponent","statuses":{"0":{"status_code":"д. психол. н.","status_type":"degree","status_name":"Доктор психологічних наук"},"1":{"status_code":"19.00.07","status_type":"specialty","status_name":"Педагогічна та вікова психологія"}},"person_id":99358},"5":{"person_names":{"0":{"name_language":"en","name_first":"Galina","name_co":"Fedorivna","name_full":"Ponomaryova Galina Fedorivna","name_last":"Ponomaryova"},"1":{"name_language":"ua","name_first":"Галина","name_co":"Федорівна","name_full":"Пономарьова Галина Федорівна","name_last":"Пономарьова"}},"person_type":"opponent","statuses":{"0":{"status_code":"д. пед. н.","status_type":"degree","status_name":"Доктор педагогічних наук"},"1":{"status_code":"13.00.07","status_type":"specialty","status_name":"Теорія і методика виховання"}},"person_id":141024}},"date_number":"2021-08-02T03:49:38Z","registration_date":"2021-08-01","statuses":{"0":{"status_code":"д. пед. н.","status_type":"degree","status_name":"Доктор педагогічних наук"},"1":{"status_code":"13.00.07","status_type":"specialty","status_name":"Теорія і методика виховання"}},"firms":{"0":{"firm_name":{"0":{"firm_name":"Східноукраїнський національний університет імені Володимира Даля","firm_language":"ua"},"1":{"firm_name":"Volodymyr Dahl East-Ukrainian National University","firm_language":"en"}},"firm_type":"rada","firm_edrpou":"02070714.","firm_id":273,"firm_jurisdiction":"Міністерство освіти і науки України"},"1":{"firm_name":{"0":{"firm_name":"Мелітопольський державний педагогічний університет імені Богдана Хмельницького","firm_language":"ua"},"1":{"firm_name":"Bogdan Khmelnitsky Melitopol State Pedagogical University","firm_language":"en"}},"firm_type":"workplace","firm_edrpou":"02125237","firm_id":563,"firm_jurisdiction":"Міністерство освіти і науки України"},"2":{"firm_name":{"0":{"firm_name":"Східноукраїнський національний університет імені Володимира Даля","firm_language":"ua"},"1":{"firm_name":"Volodymyr Dahl East Ukrainian National University","firm_language":"en"}},"firm_type":"made","firm_edrpou":"02070714","firm_id":518,"firm_jurisdiction":"Міністерство освіти і науки України"}},"id":157037,"has_texts":true,"full_text":{"0":{"filename":"autoreferat-aref.doc","text":" 1 МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ СХІДНОУКРАЇНСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ ІМЕНІ ВОЛОДИМИРА ДАЛЯ  ГУРОВ СЕРГІЙ ЮРІЙОВИЧ  УДК [378.015.31:17.022.1]:82(043.3)  ФОРМУВАННЯ ДУХОВНО-МОРАЛЬНИХ ЦІННОСТЕЙ СТУДЕНТІВ ГУМАНІТАРНИХ СПЕЦІАЛЬНОСТЕЙ ЗАСОБАМИ ХУДОЖНЬОЇ ЛІТЕРАТУРИ 13.00.07 – теорія і методика виховання  Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня доктора педагогічних наук  Київ – 2021  \f2 Дисертацією є рукопис. Роботу виконано в Східноукраїнському національному університеті імені Володимира Даля, Міністерство освіти і науки України (Сєвєродонецьк). Науковий консультант:  дійсний член НАПН України, доктор педагогічних наук, професор ШЕВЧЕНКО Галина Павлівна, Східноукраїнський національний університет імені Володимира Даля, завідувач кафедри педагогіки.  Офіційні опоненти:  доктор психологічних наук, професор ПОМИТКІН Едуард Олександрович, Інститут педагогічної освіти і освіти дорослих імені Івана Зязюна НАПН України, провідний науковий співробітник відділу психології праці; доктор педагогічних наук, професор МИРОПОЛЬСЬКА Наталія Євгенівна, Інститут проблем виховання Національної академії педагогічних наук України, головний науковий співробітник лабораторії естетичного виховання та мистецької освіти; доктор педагогічних наук, професор ПОНОМАРЬОВА Галина Федорівна, Комунальний заклад «Харківська гуманітарнопедагогічна академія» Харківської обласної ради, ректор.  Захист дисертації відбудеться «24» лютого 2021 р. об 11.00 годині на засіданні спеціалізованої вченої ради Д 29.051.06 у Східноукраїнському національному університеті імені Володимира Даля за адресою: 04053, м. Київ, вул. Січових Стрільців, 52-А, Президія НАПН України, конференц-зала (1 поверх). Із дисертацією можна ознайомитися на офіційному сайті Східноукраїнського національного університету імені Володимира Даля https:\/\/snu.edu.ua та в науковій бібліотеці СНУ імені Володимира Даля за адресою: 93400, м. Сєверодонецьк, вул. Наукова, 41 (2 поверх). Автореферат розіслано «22» січня 2021 року. Учений секретар спеціалізованої вченої ради  Н. С. Сідаш  \f1 ЗАГАЛЬНА ХАРАКТЕРИСТИКА РОБОТИ Актуальність дослідження. На сучасному етапі розвитку України, коли суспільство все більше стає споживацьким, технократичним, а матеріальні цінності в ньому переважають над духовними, суттєво зростає роль виховання в процесі становлення духовної особистості. Особливої значущості ця проблема набуває під час підготовки майбутніх фахівців із високоморальною свідомістю, творчим мисленням, національно-культурною ідентичністю, громадянською відповідальністю, духовно-моральними якостями та ідеалами, які виявляються в повсякденній діяльності та культурі вчинку. Духовність – важлива ознака громадянської зрілості, критерій художньо-естетичних і духовно-моральних цінностей студентської молоді. З огляду на це, виникає нагальна потреба виховання у сучасних студентів життєстверджувальної сили духовноморальних цінностей та культури, що допомагає жити в гармонії з оточенням, з природою, з іншими культурами, бути гуманними, людиноцентрованими, творчими, альтруїстичними. На процес формування духовно-моральних цінностей студентської молоді значний вплив має мистецтво, яке за допомогою художнього образу прищеплює молоді любов до прекрасного, створює ідеал позитивної, духовної, гармонійної, висококультурної, патріотичної особистості. Твори мистецтва дивують красою ідеальних художніх образів, фантазійністю, пробуджують почуття піднесеного, прекрасного й засуджують потворне та огидне. З огляду на це, постає необхідність використання різних видів мистецтва як художньо-естетичного засобу формування духовно-моральних цінностей студентської молоді. Тож на сьогодні проблема формування духовноморальних цінностей студентської молоді засобами художньої літератури, у якій всебічно висвітлені різні аспекти людського життя в площині ідеальних зразків і життєвих колізій, набуває особливої гостроти. Майбутній фахівець має бути людиною з чіткою світоглядною позицією, глибокою культурою та духовністю, зі сформованими ідеалами. Аналіз наукової літератури, державних документів, рішень та постанов, нормативно-правових актів дав змогу визначити пріоритетні напрями діяльності у сфері вищої освіти і науки: європейський рівень якості та доступності освіти, духовна зорієнтованість освіти, демократизація освіти, соціальний захист викладачів і студентів, розвиток суспільства на основі нових знань. На сучасному етапі найважливішим завданням для науковопедагогічної та всієї освітянської громадськості є реалізація нової стратегії національної освіти України, в основі якої – духовне відродження нації. Щоб виробити основи нового світогляду, що ґрунтується на загальнолюдських цінностях, необхідно актуалізувати процес виховання духовності студентської молоді. Ці завдання знайшли своє підтвердження в Законах України «Про освіту», «Про вищу освіту», у Концепції виховання особистості в умовах розвитку української державності, Концепції національного виховання студентської молоді, у Стратегії національно-патріотичного виховання дітей та молоді, де основною метою розвитку системи виховання визнано духовне  \f2 вдосконалювання особистості, формування її інтелектуального і культурного потенціалу як вищої цінності нації. Для розв’язання цієї важливої національної проблеми вагомого значення набувають психолого-педагогічні дослідження, провідним завданням яких є оцінка багатого педагогічного досвіду формування духовності. Прагнення імплементації наукових підходів до вивчення різноманітних засобів виховання відповідає потребам сучасного суспільства, зорієнтованого на взаємоінтеграцію українських і світових творчих новацій. Це підтверджує актуальність дисертаційної роботи, що визначається потребою в глибокому психологопедагогічному аналізі нових напрямів розвитку духовності особистості, у виявленні тенденцій та закономірностей її духовного поступу, у необхідності дослідження умов та обґрунтування засобу художньої літератури, що не лише має пізнавальне значення, а й виступає цінністю її духовної сутності. Вивчення філософської, мистецтвознавчої, психолого-педагогічної літератури дає підстави твердити, що останнім часом предметом наукових досліджень стала професійна підготовка студентської молоді з високим рівнем духовно-моральної культури. Однак, попри фундаментальне опрацювання проблеми духовності, педагогічний аналіз досвіду формування духовноморальних цінностей студентської молоді засобами художньої літератури представлений у доробках науковців лише фрагментарно, а загалом порушена проблема спеціально не розглядалась. Водночас теоретико-методологічне розроблення сутності духовності та особливості духовно-моральних цінностей знайшли відображення в наукових працях як зарубіжних, так і українських учених. Теоретико-методологічну значущість для розв’язання проблеми розвитку духовності та духовно-моральних цінностей мають фундаментальні наукові дослідження І. Александрова, А. Алексєєнко, В. Андрущенка, Т. Антоненко, О. Базалука, І. Беха, Л. Буєвої, В. Воронкової, Л. Губерського, А. Гусейнова, А. Запесоцького, М. Кагана, В. Кременя, С. Кримського, В. Кутирьова, В. Онищенка, С. Пролєєва, Е. Помиткіна, І. Силуянова, В. Табачківського, Г. Шевченко та ін. Цінний внесок у теорію духовно-морального розвитку зроблений такими науковцями, як Л. Байкова, В. Безрукова, С. Гончаренко, І. Зязюн, Д. Колесов, Г. Курмишев, Н. Маслова, Н. Миропольська, О. Олексюк, В. Оржеховська, І. Подласий, Г. Пономарьова, М. Роганова, Г. Сагач, М. Чурсін та ін. Взаємозв’язок моральності та мистецтва розкрито в працях Л. Альохіної, Л. Бутенко, Л. Кунчевої, Д. Лихачова, В. Разумного, О. Шкуріна, Г. Шевченко та ін., формування духовно-моральних цінностей засобами художньої літератури представлено в роботах Ф. Узунколова, В. Кутирьова, Н. Богатирьової та ін. Актуальність теми посилюється потребою подолання таких суперечностей: – між потребою держави у створенні нової духовної реальності на тлі розгортання українського і світового ментального простору та вимушеним конформізмом у культурному житті суспільства;  \f3 – між поширенням тенденції щодо проведення міждисциплінарних досліджень, що декларують ставлення до людини як до найвищої цінності, та браком різноманітних методологій, завдяки яким з’являється можливість розроблення цілісної теорії та ефективної методики формування духовноморальних цінностей особистості засобами художньої літератури; – між необхідністю розкриття невичерпного духовно-морального потенціалу майбутніх фахівців, що є запорукою духовної безпеки, захищеності, самозбереження й подальшого розвитку суспільства, та недостатньою розробленістю положень теорії організації процесу формування духовноморальних цінностей у закладах вищої освіти; – між соціальним замовленням суспільства на якісну професійну підготовку конкурентоспроможного фахівця вищої школи та відсутністю оновленої виховної системи закладів вищої освіти, здатної підготувати такого фахівця; – між новими вимогами до науково-педагогічних працівників у вихованні духовно-моральних цінностей майбутнього фахівця та нагальною потребою в розробленні моделі формування духовно-моральних цінностей, яка стане соціально активною в наступні десятиліття й буде придатною для використання в процесі викладання гуманітарних дисциплін. Потреба в подоланні окреслених суперечностей і необхідність розв’язання складних питань виховання духовно-моральних цінностей студентів гуманітарних спеціальностей дають змогу сформулювати проблему нашого дослідження, яка полягає у вивченні теоретичних і методичних засад виховання у студентів гуманітарних спеціальностей духовно-моральних цінностей, а також розробити його понятійний апарат. Це сприятиме оптимізації та якісному вдосконаленню процесу виховання студентів гуманітарних спеціальностей в Україні, спрямуванню його на забезпечення високого рівня вихованості духовно-моральних цінностей особистості, акцентуванню на феноменальному явищі резервуару духовності людства, що наповнюється шедеврами світової та української художньої літератури. З огляду на вищезазначене, було сформульовано тему дисертаційного дослідження – «Формування духовно-моральних цінностей студентів гуманітарних спеціальностей засобами художньої літератури». Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційну роботу виконано відповідно до тематичних планів науководослідної роботи кафедри педагогіки Східноукраїнського національного університету імені Володимира Даля в межах комплексної теми «Духовний розвиток особистості: методологія, теорія і практика (№ 0105U000264). Тему дисертації затверджено на засіданні вченої ради Східноукраїнського національного університету імені Володимира Даля (протокол № 9 від 27.05.2016 р.). Мета дослідження полягає в обґрунтуванні теоретичних і методичних засад формування духовно-моральних цінностей студентів гуманітарних спеціальностей і розробленні теоретико-методичної моделі формування духовно-моральних цінностей студентів гуманітарних спеціальностей засобами  \f4 художньої літератури. Об’єкт дослідження – процес формування духовно-моральних цінностей студентів гуманітарних спеціальностей. Предмет дослідження – теоретичні й методичні засади формування духовно-моральних цінностей студентів гуманітарних спеціальностей у закладах вищої освіти засобами художньої літератури. Відповідно до мети, об’єкта і предмета було визначено такі завдання дослідження: 1. Визначити методологічні підходи до духовно-морального виховання студентської молоді засобами художньої літератури. 2. Розкрити виховний потенціал художньої літератури як засобу формування духовно-моральних цінностей. 3. Обґрунтувати концептуальні положення процесу формування духовноморальних цінностей у студентів гуманітарних спеціальностей засобами художньої літератури. 4. Розробити й теоретично обґрунтувати теоретико-методичну модель формування духовно-моральних цінностей у студентів гуманітарних спеціальностей, здійснити її експериментальну перевірку у виховному процесі закладів вищої освіти. 5. Визначити критерії та показники рівнів сформованості духовноморальних цінностей у студентів гуманітарних спеціальностей. 6. Обґрунтувати психолого-педагогічні умови процесу формування у студентів гуманітарних спеціальностей духовно-моральних цінностей засобами художньої літератури. 7. Розробити програму спецкурсу з формування духовно-моральних цінностей у студентів гуманітарних спеціальностей. Концептуальною ідеєю дисертаційної роботи є положення про те, що духовно-моральні цінності – це компоненти світогляду людини, що являє собою духовне інтегральне утворення. Духовність виявляється в прагненні людини будувати свої відносини з навколишнім світом на основі гармонійного єднання Добра, Істини, Краси. Провідними якостями духовності є совість, віра, любов. Формування духовно-моральних цінностей особистості має спрямовуватися на вдосконалення свідомості особистості, збагачення її духовно-моральних почуттів, конструювання системи моральних учинків у єдину лінію поведінки, що базується на морально-естетичних ідеалах нашого народу. Теоретичний концепт дослідження передбачає: концепцію, модель, технологію, критерії та показники рівнів сформованості духовно-моральних цінностей, психолого-педагогічні умови їх виховання. Розроблення й упровадження психолого-педагогічної діагностики як діяльності, спрямованої на визначення рівнів сформованості духовноморальних цінностей у студентів гуманітарних спеціальностей, дають змогу відмовитися від трафаретних рішень та виявити наявні недоліки, провести відповідну корекцію, спрогнозувавши психолого-педагогічні умови і здійснивши їх апробацію.  \f5 Здійснення методологічної рефлексії сутності процесу духовноморального виховання студентів гуманітарних спеціальностей засобами художньої літератури дало змогу визнати ціннісно-герменевтичний підхід одним з провідних у дослідженні й окреслити основу, на якій базується виховна діяльність науково-педагогічних працівників у закладах вищої освіти, застосувавши систему принципів виховання людини духовної і специфічний спосіб організації мисленнєвої діяльності символічними образами, що живляться значеннєво-смисловими інваріантами зі скарбниці духовної культури людства. Сутність ціннісно-герменевтичного підходу полягає в сприйнятті художньої літератури як світу цінностей, складної ієрархії ідеалів і смислів, які є вагомими для суспільства й людини. Цей підхід не може бути нав’язаний студентам ззовні, оскільки він зумовлений внутрішньо і постає як шлях відтворення у власних вчинках повноцінних ідей, систематизованих для досягнення мети, що відкидає ознаки вторинності та є продуктом духовноморальної ціннісної самосвідомості особистості. Ціннісно-герменевтичний компонент змісту освіти імпліцитно наявний у всіх дисциплінах, які вивчають студенти гуманітарних спеціальностей. Герменевтика (від лат. hermeneutica) розглядається як спосіб діяльності, метод тлумачення, інтерпретації, розуміння основних смислів літературного твору й того, на що вони спрямовані. Герменевтика, що вивчається студентами гуманітарних спеціальностей як мистецтво тлумачення текстів, у нашому дослідженні постає механізмом, придатним для формування ціннісних орієнтацій, адже в процесі його вивчення відбувається метасинтез специфічної комунікативної діяльності, функційна взаємодія з текстом, ультрасучасний діалог – з літературним твором. Об’єктом герменевтичного розуміння та інтерпретації є літературні твори з усією сукупністю експресивних засобів вираження, використаних у них. Авторська концепція дослідження ґрунтується на таких положеннях: 1. Духовно-моральне виховання формує стрижень особистості, впливає на всі сторони і форми взаємовідносин людини зі світом: на її етичний і естетичний розвиток, на моральні судження, світоглядну систему, громадянську позицію, патріотичну та сімейну орієнтацію, інтелектуальний потенціал, емоційний стан, загальний фізичний і психічний розвиток. 2. Методологічною основою формування духовно-моральних цінностей є норми і традиції художньої літератури, що спираються на національні звичаї та приклади з української та світової історії і культури й розкриваються в різних аспектах: у контексті пошуку літературним героєм сенсу буття, розуміння ним мети життя й смислу стосунків з іншими людьми, його погляду на події. 3. Реалізація формування духовно-моральних цінностей студентів гуманітарних спеціальностей передбачає розроблення теоретико-методичнної моделі та її впровадження у виховний процес закладу вищої освіти. Модель охоплює такі елементи: цільові (мета та завдання формування духовноморальних цінностей у студентів гуманітарних спеціальностей), теоретикометодологічні засади формування духовно-моральних цінностей, концептуальні положення теорії організації процесу формування духовно-моральних  \f6 цінностей, загальні та конкретні принципи виховної роботи); технологічнопроцесуальні компоненти (діагностика, аналіз і самоаналіз рівнів сформованості духовно-моральних цінностей, планування виховної роботи, вибір виховних програм, організація та корегування процесу формування духовно-моральних цінностей засобами художньої літератури, оцінка його результативності) та передбачає результат (позитивна мотивація до підвищення рівня духовно-моральних цінностей, сукупність спеціальних знань і умінь, що допоможуть обрати правильну позицію, готовність до здійснення духовноморальних учинків). 4. Процес формування духовно-моральних цінностей здійснюється поетапно (установчий, теоретичний, практичний етапи). Це відображається в цільовому, змістовому, організаційному, оцінювально-результативному компонентах системи виховання й передбачає: підвищення мотивації студентів до здобуття знань про духовно-моральні цінності, активне застосування методик діагностико-корекційної роботи, визначення рівнів сформованості духовно-моральних цінностей у студентів, їхньої самооцінки; створення цілісної системи знань про теоретичні та методичні аспекти формування духовно-моральних цінностей, основи організації виховного процесу, розроблення й використання миследіяльнісного інструментарію для виконання завдань виховання з урахуванням його специфічних функцій. Загальну методологію дослідження становлять такі наукові підходи щодо формування духовно-моральних цінностей: аксіологічний (С. Анісімов, І. Бех, О. Дробницький, А. Кирьякова, В. Краєвський та ін.); культурологічний (І. Балхарова, Л. Виготський, О. Лурія, Є. Баллер, В. Біблер, І. Зязюн, М. Каган, І. Колмолгорова О. Леонтьєв, В. Тушев та ін.); герменевтичний (Х.-Г. Гадамер, Д. Назаров, Н. Чепелєва); синергетичний (О. Бочкарьов, В. Виненко, С. Клепко, В. Кушнір, В. Маткін, Л. Сурчалова, Ю. Талагаєв, М. Федорова та ін.); філософсько-культурологічні положення про єдність і цілісність процесів та явищ об’єктивної дійсності, їх діалектичний взаємозв’язок, взаємообумовленість, взаємовплив; концептуальні положення педагогічної науки про гуманні цінності духовно-морального виховання; принципи гуманізації та демократизації; осмислення категорій «духовність», «мораль», «цінність», «особистість», сучасні наукові положення про формування духовноморальних цінностей. Теоретичну основу дослідження становлять наукові праці в галузі освіти та виховання. Значний внесок у розроблення теоретичних основ цієї проблеми зробили: М. Бердяєв, І. Ільїн, Г. Сковорода, В. Соловйов, А. Швейцер та ін. (філософія проблеми духовності); І. Бех, М. Боришевський, Т. Власова, У. Віртц, Р. Еммонс, О. Зеліченко, Б. Лихачов, О. Леонтьєв, Г. Ноумен, О. Олексюк, Е. Помиткін, С. Рубінштейн, М. Савчин, Д. Соммер, В. Сухомлинський, Т. Флоренська, Дж. Фішер, Дж. Хочхеймер, Г. Шевченко, Ж. Юзвак (психологія та педагогіка духовності особистості); І. Андрущенко, Л. Буєва, В. Кремінь, Л. Губерський, А. Комарова, С. Кримський, В. Кутирьов, С. Пролєєв, Г. Сагач, П. Симонов, В. Табачківський, А. Титаренко та ін. (духовно-моральні цінності); Т. Антоненко, Т. Білоус, Г. Блазій, Г. Васянович,  \f7 Ю. Пелех, М. Роганова, В. Шадриков, Г. Шевченко та ін. (проблеми духовноморального виховання); В. Баранівський, Л. Геник, І. Мищишин, М. Стельмахович, Л. Сохань, Ю. Щербяк та ін. (формування духовноморальних цінностей молоді); О. Баранов, В. Бондаровська, В. Бойко, М. Булатов, А. Лапутін, С. Лещенко, Н. Миропольська, В. Платонов та ін. (формування морально-естетичного ідеалу особистості); Є. Бажин, К. Карпинський, Л. Карпушина, С. Мааді, Г. Олпорт, Г. Пономарьова, М. Рокич, І. Сенін, О. Фанталова, Ш. Шварц та ін. (теоретико-методичні засади діагностики ціннісної сфери студентів). Для реалізації поставлених завдань використовувалися такі методи дослідження: аналітичні: історико-логічний – для з’ясування теоретичних основ проблеми дослідження; теоретичні: (класифікаційний аналіз, синтез, індукція та дедукція, порівняння, систематизація, зіставлення, аналогія) – для визначення вихідних теоретико-методологічних позицій дослідження; емпіричні: вивчення виховного досвіду закладів вищої освіти в реальному процесі підготовки майбутніх фахівців (анкетування, опитування, тестування, бесіди, інтерв’ю, тренінг, спостереження за духовно-моральною діяльністю студентів, експертна оцінка) – для збирання емпіричного матеріалу; констатувальний та формувальний експерименти; методи математичної статистики – для кількісного (комплекс програмного забезпечення для прогностичної аналітики PASW Statistics) та якісного аналізу емпіричних даних. Наукова новизна і теоретичне значення одержаних результатів полягає в тому, що: уперше обґрунтовано теоретичні й методичні засади виховання у студентів гуманітарних спеціальностей духовно-моральних цінностей; розроблено концептуальні положення теорії організації процесу формування духовно-моральних цінностей студентів гуманітарних спеціальностей засобами художньої літератури в закладах вищої освіти; обґрунтовано застосування ціннісно-герменевтичного підходу до формування духовно-моральних цінностей студентів гуманітарних спеціальностей засобами художньої літератури; розроблено й теоретично обґрунтовано теоретико-методичну модель формування духовно-моральних цінностей; визначено систему критеріїв і відповідних показників рівнів сформованості духовно-моральних цінностей у студентів гуманітарних спеціальностей засобами художньої літератури; визначено психолого-педагогічні умови формування духовноморальних цінностей студентів; уточнено зміст ціннісно-герменевтичного підходу до формування духовно-моральних цінностей у студентів гуманітарних спеціальностей; удосконалено зміст виховного процесу в закладах вищої освіти в частині оновлення виховних програм, навчальних дисциплін для студентів гуманітарних спеціальностей, у межах яких відбувається формування духовноморальних цінностей особистості; подальшого розвитку набули форми, методи і прийоми духовноморального виховання студентів гуманітарних спеціальностей засобами  \f8 художньої літератури в процесі вивчення ними дисциплін, у позанавчальній діяльності тощо. Практичне значення результатів дослідження полягає в розробленні навчально-методичних матеріалів для підвищення рівня сформованості духовно-моральних цінностей майбутніх фахівців гуманітарних спеціальностей, у розробленні програми спецкурсу «Художня література як чинник становлення духовно-моральної особистості студента», у впровадженні виховної компоненти в зміст лекційних та семінарських занять для студентів. Основні положення, результати й висновки дисертаційної роботи можна використовувати в дослідженнях з теорії і методики виховання, у виховній діяльності установ професійної освіти для студентів гуманітарних спеціальностей з метою гуманізації освітньо-виховного простору, інтеграції виховання в культуру, вивчення динамічних змін професійних та особистісних якостей студентів. Напрацьовані автором матеріали можуть бути використані під час викладання таких дисциплін, як «Історія України», «Вступ до спеціальності», «Загальна психологія», «Загальна педагогіка», «Теорія та історія соціального виховання», «Філософія», «Культурологія», «Історія педагогіки», «Методика виховної роботи», «Літературознавство», «Зарубіжна література», «Сучасна українська література», «Етика та естетика», «Педагогіка», «Етнопедагогіка», «Вікова психологія», «Релігієзнавство», «Основи педагогічної майстерності», «Педагогічна психологія» та ін. Результати дослідження можуть слугувати основою для розроблення інноваційних виховних методик для позааудиторної роботи зі студентами. Публікації. Основний зміст та результати дисертації висвітлено в 38 наукових та науково-методичних працях (33 – одноосібні), серед яких: 1 монографія, 1 методичні рекомендації, 20 статей у фахових збірниках наукових праць, 7 статей у зарубіжних наукових виданнях (4 з яких – у наукометричних базах Scopus та Web of Science), 9 – у журналах, матеріалах і тезах конференцій (зокрема 1 стаття в електронному науково-освітньому журналі, 1 тези, розміщені на інтернет-сайті). Особистий внесок автора. Дисертаційна робота є самостійно виконаною науковою працею. У статті «The religious ethics impact as evaluative element of culture on the personality development of the future teacher: the person measurement approach» (у співавторстві з Л. Москальовою та Т. Гуровою) особистий внесок автора полягає у виокремленні методу обчислення рівня духовного розвитку (SQ) та наданні характеристики рівнів духовного розвитку особистості; у статті «Innovative Technologies in The Formation of Future English Teachers’ Intercultural Communicative Competence» (у співавторстві з Л. Москальовою та Т. Гуровою) автору належить презентація інноваційних технологій формування компетентності майбутнього вчителя англійської мови; у статті «Pedagogy of argumentation: Teaching the skills of argumentation to older teens» (у співавторстві з Т. Гуровою, Л. Москальовою, О. Максимовим, В. Яковлевою) автором визначені етичні норми аргументації (моральні судження), що застосовуються у виховній роботі, і розмежовані морально-етичні цінності в процесі навчання  \f9 педагогіки аргументації. У статті «Использование образовательной технологии Б. Блума для формирования ИКТ-компетентности будущих учителей» (у співавторстві з Т. Гуровою, Т. Тарасенко, Л. Журавльовою) автору належить опис засадничого принципу комунікаційної технології, необхідної для набуття ІКТ-компетенцій майбутніми вчителями; у статті «Empirical studies of sociopsychological conditions of formation of ideas about the spiritual ideal in primary school children» (у співавторстві з Л. Помиткіною, Л. Москальовою, Ю. Подкопаєвою, С. Подпльотою, В. Злагодух) автором розкрите значення духовного ідеалу особистості; у статті «Tutors' psychological readiness for professional activity in Ukraine» (у співавторстві з О. Максимовим, О. Федоровою, В. Яковлевою, М. Федоровим, С. Дубягою) автору належить опис методології та методів саморозвитку особистості. Результати дослідження впроваджено в навчально-виховний процес Полтавського національного педагогічного університету імені В. Г. Короленка (акт про впровадження результатів дисертації № 1319\/01-60\/54 від 07.05.2019 р.), Харківської гуманітарно-педагогічної академії (акт про впровадження результатів дисертації № 01-13\/ 282 від 24.04.2019 р.), Національного педагогічного університету імені М. П. Драгоманова (акт про впровадження результатів дисертації № 07-10\/865 від 19.04.2019 р.), Східноєвропейського національного університету імені Лесі Українки (акт про впровадження результатів дисертації № 03-28\/02\/1427 від 25.06.2019 р.), Донецького національного технічного університету (акт про впровадження результатів дисертації № 9 від 19.04.2019 р.), а також Центру післядипломної освіти та доуніверситетської підготовки Дрогобицького державного педагогічного університету імені Івана Франка (акт про впровадження результатів дисертації № 63 від 23.04.2019 р.). Апробація результатів дослідження. Основні теоретичні положення та практичні результати роботи доповідалися й обговорювалися на конференціях, симпозіумах, семінарах різного рівня, а саме: на Всеукраїнській науковопрактичній конференції «Християнська етика в історії України і сучасний діалог світоглядно-духовних ідентичностей» (Мелітополь, 2014), науковопрактичній конференції «Preset winter school for developing teaching skills» (Київ, 2015), ХIII міжнародній конференції «Комунікація в освіті – сьогодні та завтра» (м. Седльце, Польща, 2015), Всеукраїнській науково-практичній конференції студентів і молодих учених «Роль освіти у формуванні життєвих цінностей молоді» (Мелітополь, 2015), ІІІ міжнародній науково-практичній конференції «Актуальні проблеми функціонування мови і літератури в сучасному поліетнічному суспільстві» (Мелітополь, 2016), науковопрактичній конференції «Preset winter school for developing teaching skills» (Львів, 2016), міжвузівському науково-практичному семінарі «Мова і література в контексті сучасної освіти» (Мелітополь, 2016), Всеукраїнській науково-практичній сесії «Preset summer school for developing teaching skills» (Рахів, 2016), І міжнародній науковій конференції Української асоціації дослідників освіти «Емпіричні дослідження для реформування освіти в Україні» (Київ, 2017), науково-практичному семінарі «Побудова  \f10 інклюзивного простору у системі освіти: теорія та практика» (Мелітополь, 2017), Міжнародній науково-практичній конференції «Preset winter school for developing teaching skills» (Львів, 2017), науково-методичному семінарі «Практичні аспекти тьюторської діяльності» (Мелітополь, 2017), студентському науково-практичному форумі «Сучасна філологія: наукові проблеми та їх дослідження» (Мелітополь, 2017), ІV міжнародній науковопрактичній конференції «Актуальні проблеми функціонування мови і літератури в сучасному полікультурному суспільстві» (Мелітополь, 2018), науково-практичних діалогах «Методична майстерня вчителя Нової української школи» (Мелітополь, 2018), Міжнародній науково-практичній інтернетконференції «Інновації в сучасній освіті: український та світовий контекст» (Умань, 2018), Всеукраїнській науково-практичній конференції з міжнародною участю «Особистісно-професійний розвиток учителя Нової української школи: світові освітні практики, український контекст» (Мелітополь, 2019), Міжнародній науково-практичній конференції «Preset winter school for developing teaching skills» (Львів, 2019), VІІІ міжнародній заочній науковій конференції «Концептуальні проблеми функціонування мови в полікультурному просторі» (Мелітополь, 2019), V міжнародній науковопрактичній конференції «Актуальні проблеми функціонування мови і літератури в сучасному полікультурному суспільстві» (Мелітополь, 2020). Про хід та результати дисертаційного дослідження доповідалося на засіданнях кафедри педагогіки Східноукраїнського національного університету імені Володимира Даля (2016–2019). Кандидатська дисертація «Формування художнього смаку майбутнього вчителя музики у процесі професійної підготовки» за спеціальністю 13.00.04 була захищена в 2008 році у Вінницькому державному педагогічному університеті імені Михайла Коцюбинського. Матеріали кандидатської дисертації для докторської роботи не використовувалися. Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків до розділів, загальних висновків, списку використаних джерел, 7 додатків на 76 сторінках. Загальний обсяг дисертації – 472 сторінки, основна частина – 367 сторінок. Список використаних джерел містить 474 найменувань (з них 38 – роботи автора; 37 джерел – іноземними мовами). У роботі 32 таблиці на 11 сторінках, 7 ілюстрацій на 6 сторінках. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ ДИСЕРТАЦІЇ У вступі обґрунтовано актуальність і доцільність дослідження, визначено його об’єкт і предмет, сформульовано мету та завдання, окреслено джерельну базу, висвітлено концепцію та методологічну основу, схарактеризовано методи, розкрито наукову новизну, теоретичне і практичне значення та особистий внесок здобувача, основні публікації автора за змістом роботи, наведено дані про впровадження та апробацію результатів дослідження, представлено його структуру й обсяг.  \f11 У першому розділі «Теоретико-методологічні засади формування духовно-моральних цінностей особистості майбутніх фахівців гуманітарних спеціальностей» представлено теоретичний аналіз проблеми формування духовно-моральних цінностей особистості майбутніх фахівців, визначено основні підходи до виховання особистості в духовно-моральному напрямі – аксіологічний, культурологічний, герменевтичний, синергетичний тощо. Аксіологічний (ціннісний) підхід (В. Баришніков, І. Бех, Н. Ганнусенко, К. Чорна, Г. Васянович, М. Даніленко, І. Мельніченко, В. Дряпіка, П. Ігнатенко, Г. Кардаш, А. Кір’якова, В. Приходько, М. Приходько, О. Сухомлинська, Н. Щуркова та ін.), відповідно до якого виховання будується як процес засвоєння цінностей, який має наступні етапи: подання цінності в реальних умовах виховання; первинне оцінювання та забезпечення емоційно позитивного відгуку до цієї цінності; виявлення сенсу цінності та її змісту; прийняття усвідомленої цінності; закріплення ціннісного ставлення в діяльності та поведінці вихованців. Важливим є те, як забезпечується ціннісний результат, а саме: засвоєння цінностей йде через усвідомлення; ступінь засвоєння цінностей; результат виховання пов’язаний з ціннісним ставленням, яке має трикомпонентну структуру: когнітивний компонент (поняття і уявлення); емоційно-оцінний компонент (переживання, оцінка явища) і поведінковий компонент (досвід дії, вміння, навички, поведінкова готовність до певних дій) (А. Кір’якова). Таким чином, аксіологічний підхід до проблеми формування духовноморальних цінностей має широкий діапазон для використання і може бути представлений у контексті розробки навчальних дисциплін, спецкурсів, мети і завдань різноманітних виховних програм. З позицій аксіологічного підходу сутність діяльності педагога вищої школи має постати в іншому вигляді, що, у свою чергу, має відбитися у реформах освітнього процесу вищої школи. Цей підхід є методологічним підґрунтям для створення теоретико-методичної моделі формування духовно-моральних цінностей в майбутніх фахівців гуманітарних спеціальностей. Культурологічний підхід (М. Алдошина, Ш. Амонашвілі, А. Анохін, В. Біблер, Є. Бондаревська, В. Гриньова, Р. Гришкова, Т. Іванова, Л. Ілларіонова, М. Лещенко, Л. Хомич, О. Шевченко, Н. Щуркова та ін.) базується на ідеї інтеграції особистості в світову культуру і полягає в опорі на таку закономірність: виховання особистості стане більш ефективним, за умови інтеграції в контекст культури. Він визначає культурологічні проблеми освіти, особливо ті, що засновані на людиноцентричній картині світу, ідеях розвитку виховання ціннісного ідеалу в контексті культури, гуманізації освіти та виховання. Культурологічний підхід до формування духовно-моральних цінностей спрямовує педагога на те, що саме художня література має стати основою виховного процесу з орієнтацією на духовно-моральні цінності. Герменевтичний підхід (А. Закірова, В. Зінченко, Н. Чепелєва та ін.) – є зверненням до психічного досвіду особистості, який проявляється як переживання. Важливими рисами виховного процесу стають пісні, вірші, есе,  \f  автобіографічні записки, щоденники, листи, художні фільми, художня література, твори живопису та ін. Ці творчі продукти повинні бути прийняті як особистісна цінність, таким чином визнаючи особливу важливість системи цінностей особистості. Герменевтичний підхід є розглядом ціннісно-смислової сфери особистості майбутніх студентів гуманітарних спеціальностей у контексті ціннісних категорій. Він більш націлений на ідентифікацію цінностей, тому важливий для формування ціннісного ставлення до особистості. Синергетичний підхід (В. Ігнатова, С. Кульневич, Н. Таланчук та ін.) відстоює значимість внутрішнього потенціалу особистості, який зобов’язаний враховуватися в процесі педагогічного впливу. Синергетичний підхід уможливлює розвиток креативності й гнучкості мислення студентської молоді, адже саме креативність і гнучкість мислення забезпечує адаптацію до постійної змінності, якою характеризується сучасний етап суспільного розвитку. Головні тенденції зміни особистості виникають у сфері цінностей і моральних установок. Синергетичний підхід до виховання означає опору на внутрішній потенціал особистості, зосередженість виховних зусиль на формуванні духовно-моральних цінностей. Аналіз провідних підходів до розв’язання проблеми формування духовноморальних цінностей молоді, а саме аксіологічний, культурологічний, герменевтичний та синергетичний показав, що вони сприяють задоволенню вимог суспільства до підготовки особистості майбутнього фахівця гуманітарних спеціальностей, здатного здійснювати духовно-моральні вчинки, виокремлювати смисли та приховані резерви, що криються в художній літературі, а основним напрямком цього процесу має стати залучення студентів до засвоєння вироблених людством універсальних духовних цінностей, створення психолого-педагогічних умов для реалізації власного потенціалу в розвитку духовної свідомості, символізації у виявленні моральних почуттів, здійсненні духовно-моральних вчинків. Новий підхід, що матиме суттєвий вплив на формування у студентів духовно-моральних цінностей, має спиратися на їх сукупність як на основу процесу становлення особистості. Необхідно, на наш погляд, брати до уваги те дієве, те ефективне, завдяки чому при розробці теоретико-методичної моделі, технології й методики виховання духовно-моральних цінностей майбутніх фахівців засобами художньої літератури можна досягти ефективних результатів. Концепція духовно-морального розвитку і виховання особистості може бути переосмислена в контексті кожного з педагогічних підходів. Аналіз основних можливостей для формування духовно-моральних цінностей особистості в означених підходах сприяв виникненню мислесхем для виявлення основних суперечностей. Це дало змогу зауважити, що кожний з цих підходів охоплює істотну частину дійсності, але загалом не відображає потребу всього суспільства в підготовці фахівця, здатного насамперед здійснювати духовно-моральні вчинки, змінювати якість життя завдяки створенню та апробації новітніх методик і технологій самовиховання.  \f13 Проаналізовані наукові праці І. Александрова, А. Алексєєнко, В. Андрущенка, О. Базалука, В. Беха, Л. Буєвої, В. Воронкової, Л. Губерського, А. Гусейнова, А. Запесоцького, М. Кагана, В. Кременя, С. Кримського, В. Кутирьова, В. Онищенка, С. Пролєєва, І. Силуянова, В. Табачківського, Г. Шевченко та ін. дають змогу констатувати, що на сьогодні сформовано замовлення на ефективні виховні технології та методики духовно-морального виховання майбутніх фахівців. Серед низки чинників, що зумовлюють необхідність розроблення цієї проблеми, є підвищення ролі художньої літератури як у системі культур сучасного суспільства, так і в моральному обличчі кожної особистості; зростання вимог суспільства до майбутнього фахівця, його морального розвитку та моральної компетентності; поява декларативної порожнечі, що означає загрозу для педагогічного практикування у закладах вищої освіти. Мистецтво, зокрема художня література, є ідеальним втіленням морального досвіду людства, описом настановчих практик наднаціонального змісту. Методологічною основою виокремлення художньої літератури як одного з оптимальних засобів формування духовно-моральних цінностей особистості є положення про те, що саме в ній так широко представлені моральні конфлікти епох, цивілізацій, духовно-моральні почуття й поведінка людини. Художній твір здатний створити ідеальний поетичний образ певного історичного часу з характерними для нього рисами, розкриваючи водночас питання про те, якими можуть бути протилежні ідеали (антиподи ідеалів). Людина здатна відчути добро як щось прекрасне тоді, коли ознайомлюється з літературним шедевром, вивчає особистість його творця й занурюється в розпочатий ним діалог. Саме тоді прекрасне асоціюється зі створенням, наполегливою працею, шанобливим ставленням до письменницької творчості. Здебільшого високохудожні твори мають моральну й гуманістичну основу, оскільки в центрі їх – людина та її відносини з навколишнім світом. Мораль і художня література тісно пов’язані між собою, оскільки остання оспівує вічні цінності (добро, справедливість, чесність, відповідальність та обов’язок, честь, гідність та любов). Отже, художня література – це могутній засіб впливу на духовний світ людини, зокрема на її моральне виховання і становлення. Теоретичним підґрунтям для вивчення взаємозв’язку художньої літератури й духовно-морального виховання особистості є концептуальні положення про єдність етичного й естетичного в розвитку людини, про взаємодію мистецтва й моралі в процесі духовно-морального розвитку. Протягом століть мислителі різних країн намагалися розгадати таємниці впливу прекрасного й досконалого на внутрішній світ людини. Вплив естетичного на особистість пов’язаний із пробудженням людської душі, здатної реагувати на красу світу, природи й усього, що оточує людину. Ідеї поєднання естетичного й морального всеохопно репрезентують світ поезії, філософії, культури та мистецтва: єдність правди, добра і краси стала виразною лінією в поетичних образах І. Гете; нюансоване розуміння естетичних почуттів, в основі яких – добро і моральність, відрізняє роботи В. Бєлінського;  \f14 привабливість, що розкривається через наявність естетичного смаку, оцінка прекрасного, за І. Кантом, є основою моральності в її зовнішньому вияві. «Мистецтво – це вікно у світ і необхідно відродити у молоді гордість своєю начитаністю, знанням пам’ятників класичної літератури (і культури взагалі), своєї естетичною вимогливістю» (Д. Лихачов). Ціннісне сприйняття художнього твору – це також процес його розуміння у вигляді онтологічного аспекту пізнання, який відображає «убудованість» інтерпретатора в світ природи і культури (М. Бахтін). Духовно-моральні цінності, представлені літературними творами, абсолютно особливі, де своєрідність полягає в обов’язковій присутності емоційної оцінки. «Цінності не передаються тим же шляхом, що і знання, вміння, навички. Шлях їх освоєння лежить, насамперед, через переживання» (О. Леонтьєв). Вплив художньої літератури на особистість може відбутися тільки тоді, коли ціннісні світи художнього твору і читача збігаються. Особливістю художньої літератури є те, що вона генерує естетичні цінності суспільства. Моральні та естетичні цінності (Істина, Добро, Краса) є відображенням у моральній та естетичній свідомості таких здібностей, які реалізуються в будьякій сфері людської діяльності. Витоки єдності морального та естетичного слід шукати на перетині естетичного й морального способів пізнання світу. Особливо яскраво зв’язок етичного й естетичного виявляється в почутті піднесеного, яке так уміло відображено в творах художньої літератури. Естетичне переживання піднесеного, створеного майстрами художньої літератури, змушує читача дивуватися, пишатися, захоплюватися й знаходити в собі нові духовні сили. У роботі підкреслено, що естетичне, як одна з найважливіших ознак людської духовності, пронизує всі сфери людського буття. Коли людина стикається з певним природним або соціальним феноменом, вона може оцінювати його не лише з боку користі й прагматичних настанов, а й з позиції його краси, що дарує духовну насолоду. На думку вчених (Г. Брандт, Л. Кунчева, М. Лейзеров та ін.), в основу художнього освоєння світу покладено естетичне ставлення людини до дійсності. Естетичне представлено в художній літературі, яка є унікальною формою фіксації внутрішнього світу людини й універсальним залученням до нього. У художніх цінностей є відносна самостійність, специфічність і, водночас, вони є носіями всезагального естетичного. Аналіз розвитку духовно-морального виховання студентської молоді показав, що на сучасному етапі важливими є такі тенденції, як: орієнтація національної системи виховання на розвиток сутнісних сил особистості, що спонукає багатьох вчених до переосмислення ролі, мети, змісту духовноморального виховання; розуміння процесу виховання особистості як формування її ціннісного ставлення до себе та оточення. Художня література, з якою найбільше стикаються студенти гуманітарних спеціальностей, – потужна рушійна сила у формуванні духовно-моральних цінностей особистості,  \f15 оскільки вона не лише передає інформацію від автора до читача, а й слугує могутнім виховним чинником у суспільстві загалом. Розглянувши основні вікові особливості майбутніх фахівців гуманітарних спеціальностей у контексті інтелектуальних, соціальних, культурних і психофізіологічних закономірностей розвитку особистості, ми дійшли висновку, що їх дослідження має не тільки гносеологічне, а й наукове, психолого-педагогічне значення. Уведення в дисертацію даних про вікові особливості майбутніх фахівців гуманітарних спеціальностей допомагає розв’язати не тільки теоретико-організаційні проблеми, а й питання вибору діагностичних методик, побудови теоретико-методичної моделі формування духовно-моральних цінностей майбутніх фахівців гуманітарних спеціальностей засобами художньої літератури. У другому розділі «Теоретико-методичне обґрунтування організації процесу формування у студентів гуманітарних спеціальностей духовноморальних цінностей засобами художньої літератури» розкрито особливості організації процесу формування духовно-моральних цінностей у студентів гуманітарних спеціальностей. Аналіз особливостей процесу формування духовно-моральних цінностей особистості свідчить про постійну увагу з боку вчених різних наукових галузей до проблеми виховання духовності й моралі на методологічному, теоретичному і практичному рівнях. Це доводять роботи Л. Байкової, В. Безрукової, С. Гончаренка, І. Зязюна, Д. Колесова, Г. Курмишева, Н. Маслової, О. Олексюк, В. Оржеховської, І. Подласого, Е. Помиткіна, Г. Пономарьової, М. Роганової, Г. Сагач, М. Чурсіна, Г. Шевченко та ін. Обґрунтовуючи концептуальні положення теорії організації формування духовно-моральних цінностей студентів гуманітарних спеціальностей, ми виходили з того, що ця теорія є частиною загальної теорії виховання студентської молоді, у якій приділено достатньо уваги питанням формування у студентів сталих моральних якостей, почуттів і потреб, а також поведінки, в основі якої – певні ідеали, норми та цінності. Зауважено, що нестабільний економічний і соціокультурний стан суспільства загострив проблему формування у сучасної молоді духовноморальних цінностей зокрема й духовно-моральної культури загалом. Формування духовно-моральних цінностей у студентів гуманітарних спеціальностей – це насамперед проблема набуття ними таких якостей, як сумління, доброта, милосердя, людяність, чуйність та відповідальність, які необхідні для вироблення стійкого життєвого ідеалу й практичного керівництва до конструктивної взаємодії в суспільстві. Водночас слід зазначити, що в контексті сучасного розуміння духовно-моральної культури людина розглядається як найвища цінність. Із урахуванням педагогічного контексту дослідження формування духовно-моральних цінностей (О. Олексюк, Ю. Пелех, М. Роганова, Г. Шевченко), у розділі обґрунтовано ціннісно-герменевтичний підхід, як такий, що є більш сприятливим для майбутніх фахівців гуманітарних спеціальностей, визначено зміст і структуру формування духовно-моральних  \f16 цінностей. Доведено, що формування духовно-моральних цінностей сприяє розвитку в людини таких почуттів, як сумління, обов’язок, віра, відповідальність, патріотизм; таких моральних якостей, як терпіння, милосердя, лагідність, незлостивість; такої моральної позиції, як здатність відрізняти добро від зла, самовіддана любов, готовність до подолання життєвих випробувань; такої духовно-моральної поведінки, що виявляється в готовності служити людям і Батьківщині, у проявах духовної розсудливості, слухняності, доброї волі. Потлумачення сутності духовно-моральних цінностей українськими і зарубіжними вченими (В. Жуковський, І. Зязюн, Д. Соммер, В. Сухомлинський, Т. Флоренська, Дж. Фішер, Дж. Хочхеймер, Г. Шевченко, Ж. Юзвак) пов’язано із визнанням місії виховання студентів гуманітарних спеціальностей у процесі занять не тільки звертати їхню увагу на високі моральні якості літературних героїв, а й розкривати змістовну сутність таких цінностей, як віра, благо, любов, істина, сумління, добро, краса, людське життя, здоров’я, свобода, знання, мудрість тощо. У розділі також схарактеризовано поняттєво-термінологічний апарат дослідження. Зокрема термін «мораль» (від лат. «moralis» – норов, характер, стан душі, звичка; від лат. «mores» – звичаї, мода, поведінка) ми розглядаємо в поєднанні з терміном «духовність» («spiritualis» или «spiritalis», від давньогрецької «πνευματικός» – дух, душа, те, що не є «матеріальним, тілесним), що зумовлено їхньою взаємопов’язаністю. Поняття «виховання» використано в дослідженні як базовий термін педагогічної науки (В. Андрущенко, C. Анісімов, І. Бех, Є. Бистрицький, Є. Бондаревська, І. Зязюн, В. Кремень, С. Кримський, Б. Лихачов, Б. Новіков, О. Олексюк, Г. Пономарьова, Р. Сопівник, Г. Шевченко, Г. Філіпчук, В. Яковенко та ін.). Із урахуванням позицій (І. Бех, Б. Лихачов, О. Олексюк, Г. Шевченко) у закладі вищої освіти під вихованням студентів гуманітарних спеціальностей слід розуміти процес залучення їх до цінностей, втілених у художньому задумі, створення сприятливих умов для реалізації внутрішнього потенціалу, що має бути спрямованим на здійснення духовно-морального вчинку. Теоретичний аналіз проблеми формування духовно-моральних цінностей особистості здійснювався з урахуванням принципів науковості, структурності, поліфункціональності, багатоаспектності. З огляду на це, важливими для дослідження є: • з’ясування сучасних тенденцій у формуванні духовно-моральних цінностей особистості майбутнього фахівця; • розгляд проблеми формування духовно-моральних цінностей студентів гуманітарних спеціальностей засобами художньої літератури у зв’язку з рівнями реалізації виховного процесу у вищих навчальних закладах (інтраперсональний, міжособистісний, соціально-груповий, інституціональний, соцієнтарний);  \f17 • визначення чинників, умов, специфічних особливостей формування духовно-моральних цінностей студентів гуманітарних спеціальностей засобами художньої літератури. Для виховання особистості важливими є побудова ієрархії цінностей, формування ціннісного ставлення до різних явищ дійсності, а також відповідної поведінки в суспільстві. Це тривалий і складний процес, на який впливають родина, окремі соціальні інститути і групи, засоби масової інформації, суспільство тощо. Зауважимо, що особливу роль у процесі виховання цінностей виконує система освіти. Сутність виховання молоді в освітніх установах, насамперед у вищій школі, полягає у створенні належних умов, за яких усі позитивні цінності, визначені системою освіти, поступово стають надбанням особистості. Через наявність великої кількості тлумачень поняття «цінності», що поширені в науковій літературі, змістовне наповнення поняття «духовноморальні цінності» ще не набуло достатньо чіткої концептуалізації. У нашому дослідженні духовно-моральні цінності розглядаються як складники світогляду людини, що є духовним інтегральним утворенням. Моральність – це компонент духовності, зміст якого формують етичні цінності, що становлять основу свідомості (І. Зязюн, Д. Колесов, Н. Маслова, О. Олексюк, І. Підласий, Г. Пономарьова, М. Роганова, М. Чурсін та ін.). Моральність – це здатність людини діяти, думати й відчувати відповідно до свого духовного начала. Духовність і моральність є поняттями, що існують у нерозривній єдності і за браком яких починається розпад особистості та культури. Моральність прийнято розуміти як сукупність загальних принципів і норм поведінки людей у суспільстві стосовно одне одного (Л. Байкова, В. Безрукова, С. Гончаренко, В. Оржеховська, Г. Сагач та ін.). Моральність регулює почуття, бажання й поведінку людини відповідно до моральних принципів певного світогляду. В основі моральності – безумовні й позаісторичні культурні начала. У розділі акцентовано на тому, що для належної організації формування духовно-моральних цінностей у майбутніх фахівців гуманітарних спеціальностей потрібно: 1) цілісно представити майбутнім фахівцям гуманітарних спеціальностей необхідність формування в процесі професійної підготовки духовно-моральних цінностей, розкрити їхню унікальну фундаментальну основу; забезпечити позитивну мотивацію до самовдосконалення, здійснення моральних вчинків; 2) показати, використовуючи цікаві й нетривіальні приклади з художньої літератури, вплив духовно-моральних цінностей на розвиток суспільства й окремої особистості та сформувати в майбутніх фахівців гуманітарних спеціальностей настанову на неприйняття аморальних явищ у всіх формах і виявах; 3) виявити за допомогою діагностики та самодіагностики позицію кожної особистості щодо усвідомлення нею значущості процесу формування духовноморальних цінностей; уміння розрізняти категорії «добро» і «зло», що можуть виражатися в завуальованих формах; готовність до самовиховання  \f18 й самовдосконалення протягом життя; 4) вибрати оптимальні форми і методи для побудови індивідуальних програм формування духовно-моральних цінностей і здійснення моральних учинків та розробити методичні рекомендації для різних видів аудиторної роботи. Специфіка процесу формування духовно-моральних цінностей студентства цілком розкривається за умови усвідомлення змісту, раціонального застосування та визнання значення кожної з функцій управління виховним процесом. До таких функцій належать: планування, визначення мети, організація, стимулювання та мотивування, прогнозування і контроль, координація та регулювання, забезпечення розвитку творчого мислення та креативності суб’єктів виховного процесу, ефективне управління інформаційними, комунікативними, дослідницькими, перетворювальними процесами в закладі вищої освіти тощо. У розділі обґрунтовано загальні та конкретні принципи формування духовно-моральних цінностей, серед яких: принцип відкритості, що забезпечує як викладачам так і студентам широкий вибір форм та методів взаєморозуміння та взаємодії; принцип демократичності, завдяки якому стає пріоритетним вільний розвиток майбутніх фахівців, орієнтації їх на загальнолюдські та загальнонаціональні цінності; принцип єдності навчальної та виховної діяльності, що проявляється через наближення процесу виховання духовноморальних цінностей до процесу професійної підготовки; принцип послідовності, за допомогою якого реалізується поетапність виховання духовно-моральних цінностей на основі поступового здійснення виховних завдань; принципи системності і наскрізності, що вимагають послідовного процесу зміни стадій, кожна з яких ґрунтується на попередній і виступає підґрунтям для наступної; принцип диференціації та індивідуалізації, що реалізується через вибір завдань для виховання духовно-моральних цінностей кожного студента; принцип єдності теорії та практики, що пояснюється рішенням актуальних завдань виховання духовно-моральних цінностей з опорою на теоретичні положення і практичні рекомендації для духовноморального виховання. У розділі виокремлено ефективні форми і методи, що подані нами у тісному взаємозв’язку, а саме: метод просвіти для проведення виховних заходів, метод роз’яснення для усвідомлення студентами категорій цінностей, метод заохочення для закріплення вірних відповідей студентів, метод консультації для аналізу художніх творів, метод драматизації для проведення постанов художніх творів, метод порівняння для оцінки та вибору художнього твору, прикладу, метод тематичного добору, метод асоціацій для написання творчих робіт тощо. У розділі спроектовано технологію організації виховного процесу у вигляді системи взаємопов’язаних етапів, схарактеризовано сучасний стан організації та управління процесом формування духовно-моральних цінностей, визначено основні проблеми та окреслено шляхи їх розв’язання.  \f19 Технологія процесу виховання майбутніх фахівців в освітній системі на сучасному етапі не зводиться лише до запам’ятовування інструкцій і проголошування норм. Вона, на наше переконання, має формуватися у вигляді системи взаємопов’язаних етапів, що утворюються з певних операцій і процедур: розроблення стратегії формування духовно-моральних цінностей з урахуванням специфіки зазначених гуманітарних спеціальностей; надання інформації про ефективні форми та методи формування духовно-моральних цінностей; ухвалення рішення щодо впровадження розробленої стратегії в навчально-виховний процес; апробація та практичне застосування теоретикометодичної моделі формування духовно-моральних цінностей (упровадження виховних програм, миследіяльнісного інструментарію у відповідні дисципліни, розроблення спецкурсів, курсів за вибором тощо); оцінювання та корегування результатів проведеної роботи. Доведено, що оцінювання рівня сформованості духовно-моральних цінностей майбутніх фахівців гуманітарних спеціальностей має відбуватися процесуально, тобто, під час виконання максимально наближених до них професійних завдань, що передбачають, зокрема, тлумачення смислів текстів художньої літератури. Серед форм, які сприяють процесуальному оцінюванню, ми виділили такі: круглі столи, де обговорюються питання духовно-моральних цінностей, літературні майстерності, де проводиться збір даних аналізу культурних кодів, що визначаються образами й символами художніх текстів, літературні кав’ярні, де розроблюються сценарії виховної роботи, публічні виступи з питань формування духовно-моральних цінностей тощо. У практиці навчальних закладів сьогодні ці завдання можуть бути реалізовані через діяльність спеціальних клубів, секцій, гуртків, що пропонують аналогічні форми вдосконалення; через організацію зустрічей з письменниками, онлайнконференцій, чатів для обговорення літературних творів у позанавчальний час, щоб студенти могли з користю проводити свій вільний час. Саме на процесуальне оцінювання рівня сформованості духовно-моральних цінностей орієнтовані такі види роботи у вищих навчальних закладах, як ділові ігри, проекти, що передбачають обґрунтування різних поглядів на поведінку людини, її роздуми і почуття з позицій загальнолюдських цінностей тощо. Підкреслено, що найбільших змін зазнають організаційно-методичні фактори через уведення спецкурсу і вдосконалення змісту навчальних дисциплін шляхом дидактичної обробки навчального матеріалу, вибору форм і методів виховної діяльності; через зміщення акцентів у керівництві виховним процесом студентів гуманітарних спеціальностей, що виявляється в більш тісному співробітництві з ними; через застосування не лише методів контролю й оцінювання виховного процесу, результатів діяльності з боку викладачів, а й методів самоконтролю і взаємоконтролю студентів. Провідною метою освіти в закладах вищої освіти є здобуття певних галузевих знань і набуття професійних навичок, натомість виховання цінностей не декларується як основне завдання науково-педагогічних працівників. Уважаємо, що причиною цього є брак чітко окресленої програми формування духовно-моральних цінностей, через що викладачі не виявляють бажання  \f20 виховувати студентів, а в адміністративному плані процес виховання зміщується в бік соціального захисту. У розділі окреслено основні завдання виховної роботи зі студентами гуманітарних спеціальностей, що сприяють формуванню духовно-моральних цінностей: • орієнтація на занурення в знаковий арсенал духовно-моральних цінностей, накопичений світовою і українською художньою літературою, формування високого смаку, мотивації на спротив застиглості образів, перетворення їх на живу матерію для тлумачення смислів, неприйняття асоціальних явищ та зміцнення активної життєвої позиції; • збереження найкращих традицій практики засвоєння духовних ідеалів, виховання студентів на найкращих зразках української художньої літератури, що сьогодні є рівною серед інших літератур; розвиток літературної творчості; • створення дискусійних студентських клубів і об’єднань, зорієнтованих на особистісний розвиток і формування творчих нахилів студентів, що ідентифікують себе як майбутніх фахівців, здатних осмислювати дивовижні комбінації характерів, норовів, зображених у художній літературі; • виховання у студентів високих духовно-моральних якостей і засвоєння ними норм поведінки, залучення їх до відкриття порталів із творами української та світової художньої літератури в сучасних умовах розвитку суспільства; • залучення до художньої самодіяльності, до життя творчих колективів університету для підвищення загального культурного рівня студентства, культури поведінки, мови і спілкування та розвитку естетичного смаку. Окреслені завдання, на нашу думку, можуть стати джерелом натхнення для представників закладів вищої освіти, а процес формування духовноморальних цінностей у студентів гуманітарних спеціальностей стане більш ефективним за таких психолого-педагогічних умов: • усвідомлення студентами значень понять «духовність», «мораль», «цінності в художній літературі», «цінності власної професії», «самовиховання» й «саморегуляція»; • розроблення різноманітних організаційних форм і методів навчальновиховної роботи, що спрямовані на набуття вміння здійснювати рефлексію духовно-морального досвіду; • поступове накопичення майбутніми фахівцями досвіду розв’язання духовно-моральних проблем. Для модернізації процесу формування духовно-моральних цінностей студентів у закладах вищої освіти необхідно упровадити в освітній процес систему знань про духовно-моральні цінності; діагностику рівнів сформованості у студентів духовно-моральних цінностей; визначити зміст і форму спеціалізованих програм корекції для студентів, що мають труднощі. Однією з ланок нової системи вищої освіти має стати створення центрів (лабораторій) виховної роботи, чиїм завданням на перших етапах буде максимально широке обстеження студентів перших курсів, що до певної міри матиме превентивний характер запобігання небажаним проявам їхньої  \f21 діяльності. Результатами такої виховної діяльності можуть стати: високий рівень сформованості духовно-моральних цінностей у майбутніх фахівців, досконале управління виховним процесом, професійне виконання завдань духовно-морального спрямування, що постають перед закладами вищої освіти, де навчаються студенти гуманітарних спеціальностей. У третьому розділі «Науково-методичне забезпечення формування у студентів гуманітарних спеціальностей духовно-моральних цінностей засобами художньої літератури» презентовано теоретико-методичну модель формування духовно-моральних цінностей у студентів гуманітарних спеціальностей засобами художньої літератури, визначено змістові компоненти, критерії, показники і рівні сформованості духовно-моральних цінностей особистості, запропоновано літературно-методичне забезпечення для підвищення рівня сформованості духовно-моральних цінностей у студентів гуманітарних спеціальностей. Відповідно до мети та завдань наукового дослідження педагогічне моделювання системи формування духовно-моральних цінностей у студентів гуманітарних спеціальностей ми використовували як цілеспрямований процес створення моделі об’єкта-аналога, що відображає структурні, ієрархічні та функціональні властивості системи формування цього аксіологічного феномену в майбутніх фахівців. Моделювання як метод дослідницької діяльності забезпечило можливість розбудови теоретичної конструкції процесу формування духовно-моральних цінностей у студентів гуманітарних спеціальностей, у якій втілено спосіб розуміння та пояснення сутності й природи досліджуваного об’єкта (Є. Бондаревська, М. Боришевський, І. Липський, Г. Олпорт, М. Роганова, Г. Селевко, Г. Шевченко). У теоретико-методичної моделі, яку ми створюємо у дослідженні, враховано такі функції: власне моделювання як спосіб відображення та перетворення об'єкта; гносеологічного інструменту пізнання, інноваційності, прогнозування і визначення стратегії формування духовно-моральних цінностей у студентів гуманітарних спеціальностей засобами художньої літератури; оперування з об’єктами, щодо яких знання не представлено в певному обсязі і реалізації у практичних умовах освітньо-виховного середовища закладів вищої освіти. Спроєктована теоретико-методична модель складається з таких компонентів: ціле-мотиваційного, теоретичного, технологічно-процесуального, змістовного, операційно-діяльнісного, формувального, результативного. Останній передбачає наявність прогнозованого результату: сформованість духовно-моральних цінностей, що виявляється в розвитку особистісної духовно-моральної культури учасника взаємодії і відповідає встановленим критеріям та рівням вихованості. Згідно з цією моделлю, у дослідженні схарактеризовано вияви, що відображають теоретичний рівень опису вихованості духовно-моральних цінностей особистості. Розроблена модель експериментально перевірялась в процесі виховної роботи зі студентами гуманітарних спеціальностей, а також під час впровадження в освітній процес  \f22 спецкурсу «Художня література як чинник становлення духовно-моральної особистості студента». Формування духовно-моральних цінностей у студентів гуманітарних спеціальностей засобами художньої літератури передбачає декілька етапів, а саме: етап усвідомлення образу духовно-моральних цінностей, етап застосування набутих знань про духовно-моральні цінності у власній поведінці та етап аналізу і рефлексії власної поведінки щодо відповідності духовноморальним цінностям. Перший етап передбачає ознайомлення студентів з поняттям «духовно-моральні цінності» та дає їм змогу осягнути потенціал художньої літератури для формування власної системи духовно-моральних цінностей. Другий етап – етап застосування набутих знань про духовноморальні цінності у власній поведінці – це ціннісно-смислове визначення себе в контексті цінностей, виражених у літературі. Воно виявляється в прагненні та бажанні студента чинити відповідно до системи духовно-моральних цінностей. Третій етап процесу формування духовно-моральних цінностей студентів гуманітарних спеціальностей є етапом аналізу та рефлексії студентом власної поведінки в контексті її відповідності духовно-моральним цінностям, що розкриваються в художніх творах. Термінологічна невизначеність поняття «духовно-моральні цінності», на нашу думку, у практиці вищої школи призводить до недостатньої сформованості уявлень про їхній зміст і структуру, що, своєю чергою, спричинює невизначеність дієвих механізмів і факторів, що забезпечують продуктивне формування, розвиток і функціонування системи виховання закладів вищої освіти. Відповідно, виховна, розвивальна і корекційна робота в цьому напрямі не може бути проведена на високому рівні, оскільки учасники цього процесу мають справу не з виявом окремих компонентів свідомості особистості як елементів внутрішнього світу людини або сенсу її життя, як об’єктивної реальності, а з продуктивною системою індивідуальних особистісних новоутворень, що визначає весь процес життєдіяльності людини. Для якісної оцінки рівнів сформованості духовно-моральних цінностей студентів гуманітарних спеціальностей було розроблено інформаційнокогнітивний, мотиваційно-ціннісний та інструментально-поведінковий критерії. Визначаючи й доповнюючи один одного, вони через відповідні показники характеризують кількісний і якісний аспекти особистості студента та відображають наявність, стихійність, широту, дієвість вияву духовноморальних цінностей у різних видах діяльності. Так, інформаційно-когнітивний критерій передбачає усвідомленість, повноту та конкретну суму знань про духовність, основи моралі, духовноморальні цінності. Згідно з цим критерієм, студенти повинні вміти використовувати ці знання на практиці, роблячи вибір між добром і злом у вчинках, між ілюзорним і справжнім – у почуттях, між протистоянням і консенсуальністю – у відносинах. Мотиваційно-ціннісний критерій спирається на емоційне переживання індивідом свого ставлення до тієї чи іншої духовно-моральної цінності й  \f23 відображає вияв духовно-моральних почуттів, позитивну емоційну настанову, а також внутрішню мотивацію до наслідування духовно-моральних цінностей. Інструментально-поведінковий критерій спирається на результати взаємодії перших двох компонентів і виявляється в моральній стійкості та активності в різних життєвих ситуаціях, у вмінні використовувати знання під час аналізу власної поведінки й поведінки інших людей. Саме завдяки пізнанню дійсності через художні образи, виведені в літературі, у студентів формуються ціннісні переживання й готовність діяти відповідно до визначеної мети. Основним напрямом роботи за цим критерієм уважаємо реалізацію ціннісногерменевтичного підходу з метою створення умов для розвитку гармонійної, духовно багатої, морально досконалої, соціально активної і професійно компетентної особистості студента гуманітарних спеціальностей. Для діагностики стану вихованості духовно-моральних цінностей студентів гуманітарних спеціальностей було застосовано рівневу класифікацію. Спираючись на обґрунтовані критерії та показники духовно-моральних цінностей, ми виділили три рівні сформованості духовно-моральних цінностей у студентів гуманітарних спеціальностей: високий, середній, початковий. З огляду на викладене вище, можемо твердити, що всі три рівні тісно пов’язані між собою, і кожний попередній рівень зумовлює наступний. Загалом формування духовно-моральних цінностей студентів гуманітарних спеціальностей відбувається не спонтанно, а чітко, системно та послідовно. У розділі розглянуто доцільність використання миследіяльнісного інструментарію для виконання виховних завдань, його структуру, вимоги до розроблення, а також наголошено на необхідності впровадження в навчальновиховний процес спецкурсу «Художня література як чинник становлення духовно-моральної особистості студента». В основі спецкурсу – робота зі студентами гуманітарних спеціальностей над усвідомленням мети і змісту формування духовно-моральних цінностей за допомогою засобів художньої літератури; побудова системи духовноморальних відносин у навчально-виховному процесі, настанова на читання «корисної літератури, що живить талановиту молодь» і сприяє самовдосконаленню, самопізнанню й самовихованню. У розділі на основі аналізу освітніх програм гуманітарних спеціальностей: (\/031\/ Релігієзнавство, \/032\/ Історія та археологія, \/033\/ Філософія, \/034\/ Культурологія, \/035\/ Філологія) розроблено літературнометодичне забезпечення процесу для формування духовно-моральних цінностей студентів гуманітарних спеціальностей, що передбачає як аудиторні, так і позааудиторні форми. Підтверджено, що передумовою формування духовно-моральних цінностей у студентів гуманітарних спеціальностей є глибоке усвідомлення ними значень духовно-моральних понять, духовноморальних цінностей, потенціалу художньої літератури у вихованні цих цінностей. Основний напрям літературно-методичного супроводу для підвищення рівня духовно-моральних цінностей у вищих навчальних закладах, де здійснюється підготовка фахівців гуманітарних спеціальностей, визначається  \f24 специфічним впливом викладачів на всі критерії сформованості духовноморальних цінностей особистості та забезпечується педагогічним спостереженням за змінами, що відбуваються в різних видах діяльності студентів, зокрема й літературній. Формувальний етап дослідно-експериментальної роботи передбачав вироблення духовно-моральних цінностей шляхом створення вищеозначених психолого-педагогічних умов, які реалізовувалися поетапно: від етапу усвідомлення і прийняття духовно-моральних цінностей до етапу переваги й етапу самореалізації. Розроблення кожної умови відбувалося на основі педагогічних методів, які відображали мету досліджуваного процесу. На завершальному етапі дослідно-експериментальної роботи було здійснено порівняльний аналіз результатів роботи, систематизацію та статистичну обробку експериментальних даних для перевірки ефективності створених умов. Формування у студентів духовно-моральних цінностей засобами художньої літератури було доповнено використанням інтерактивного педагогічного спілкування, що передбачало дотримання таких вимог: залучення всіх студентів до діяльності, пов’язаної з підготовкою та проведенням навчально-виховного процесу або виховного заходу з використанням нетрадиційних форм; стимулювання активності кожної особистості в педагогічному інтерактивному спілкуванні та взаємодії з іншими одногрупниками під час обговорювання літературних творів; детальна підготовка та чітка організація інтерактивних методів навчання та виховних заходів; визначення всього прогресивного для кожної особистості студента в контексті формування духовно-моральних цінностей; емоційне прилучення майбутніх фахівців гуманітарних спеціальностей до власної діяльності під час навчально-виховного процесу; високий пізнавальний та духовно-моральний рівень навчально-виховних заходів; позитивне налаштування учасників на проведення інтерактивного педагогічного спілкування; вплив діяльності студентів на їхню поведінку, а саме: вияв терпимості у взаємовідносинах, спілкуванні, спільній діяльності, власних поведінкових ситуаціях. Запропонована в розділі головна психолого-педагогічна умова формування духовно-моральних цінностей розроблена з урахуванням забезпечення педагогічно доцільної відповідності теоретичної та практичної підготовки студентів гуманітарних спеціальностей. Використання різноманітних методик та вправ («Незавершені речення», «Світ моїх цінностей», «Нова книга», «Ціннісні орієнтації», «Опиши власні почуття», «Мої улюблені книжки», завдання «Кейс із ситуаціями», вправа «Побажання»), ґрунтується на варіюванні та поступовому ускладненні тлумачення смислів у творах художньої літератури: створення аксіологічно спрямованого освітньовиховного простору й залучення студентів до діяльності, що передбачає засвоєння духовно-моральних цінностей у ньому; застосування миследіяльнісного інструментарію для виконання виховних завдань, різноманітних за змістом і формою, з опорою на ціннісний потенціал художньої літератури як засобу формування духовно-моральних цінностей; створення умов для комфортного спілкування, взаємодії, співпраці і співтворчості в  \f25 навчально-виховному процесі; організація процесу виховання на основі розробленого спецкурсу «Художня література як чинник становлення духовноморальної особистості студента», у якому передбачено створення ситуацій провокативного діалогу як форми взаємодії між учасниками; системне впровадження в навчально-виховний процес ідеї гуманізму, досягнень національної та світової художньої літератури, на засадах яких формується світоглядна система особистості студента. Під час дослідно-експериментальної роботи було визначено основні компоненти процесу формування духовно-моральних цінностей, на реалізацію яких спрямовується діяльність учасників навчально-виховного процесу закладу вищої освіти, а саме: • визначення мети і завдань формування духовно-моральних цінностей у студентів; • забезпечення участі студентів гуманітарних спеціальностей в організації навчально-виховного процесу закладів вищої освіти; • реалізація різноманітних форм і змісту навчально-виховної роботи, вибору миследіяльнісного інструментарію для виконання виховних завдань, додаткових завдань, а також визначення способів їх виконання; • формування мотивації до тлумачення смислів у творах художньої літератури для більшого занурення в атмосферу духовних світів, естетики позитивного як дзеркального відображення сакральної атмосфери розвитку особистості в суспільстві; • використання різних форм виявлення двозначних сенсів художньої культури, що засвідчують дихотомічність дійсності, фрагментів зніяковілості й мовчання літературних героїв під час відмови їх від цінностей, що неминуче призводить до краху; • заохочення студентів гуманітарних спеціальностей до самостійного прочитання творів художньої літератури з метою формування духовноморальних цінностей, звернення їхньої уваги на спроби підміни цінностей; • діагностика й оцінювання рівнів сформованості духовно-моральних цінностей майбутніх фахівців гуманітарних спеціальностей. Отже, розроблена методика формування духовно-моральних цінностей студентів реалізується поетапно: від етапу засвоєння до етапу переваг і далі – до етапу самореалізації. Етап засвоєння передбачає сприйняття студентами гуманітарних спеціальностей духовно-моральних цінностей, розуміння їх глибинної сутності. Етап переваг характеризується позитивною особистою оцінкою таких цінностей і визнанням їх орієнтирами в житті. Етап самореалізації пов’язаний з більш повним виявом студентами духовноморальних цінностей у їхній життєдіяльності. У четвертому розділі «Експериментальна робота з формування духовно-моральних цінностей студентів гуманітарних спеціальностей» проведено психолого-педагогічну діагностику рівнів сформованості духовноморальних цінностей студентів гуманітарних спеціальностей у сучасних умовах роботи вищих закладів освіти, висвітлено особливості виховної роботи зі студентами гуманітарних спеціальностей, спрямованої на підвищення рівня  \f26 сформованості духовно-моральних цінностей, впроваджено методику формування духовно-моральних цінностей у студентів гуманітарних спеціальностей засобами художньої літератури. Оскільки вчинки та дії слугують показниками рівня сформованості духовно-моральних цінностей за інструментально-поведінковим критерієм, то в розділі саме на його діагностуванні було зроблено акцент. Показниками цього критерію є: практичне використання духовно-моральних цінностей у власній поведінці та різних видах діяльності, зокрема й літературно-творчій; уміння здійснювати духовно-моральні вчинки та рефлексію духовно-морального досвіду; здатність до доброчинності, толерантності, гуманізму, поміркованості; здатність до самовиховання, саморегуляції поведінки відповідно до духовноморального аспекту; уміння узгоджувати особистісні інтереси з духовноморальними потребами суспільства. Застосування критеріїв і показників допомогло з’ясувати, наскільки духовно-моральні уявлення, погляди, оцінки, орієнтації, вчинки та дії можуть свідчити про сформованість у студента духовно-моральних цінностей. Виявлення духовно-моральних вимог до себе на одному з етапів цілеспрямованого виховання дало змогу дійти висновку про існування переходу зовнішніх виховних можливостей у внутрішні духовно-моральні якості студента, що розглядається як підвищення рівня сформованості духовноморальних цінностей. Із урахуванням положень І. Беха, Ф. Узунколова, В. Кутирьова, Н. Богатирьової загальними вимогами до виокремлення рівнів сформованості духовно-моральних цінностей у студентів гуманітарних спеціальностей стали такі: рівні мають слугувати індикаторами якісних змін об’єкта; перехід від одного рівня до іншого відображає ступінь зміни об’єкта; кожний рівень вступає у взаємодію з усіма рівнями. Процедура діагностування рівня вихованості духовно-моральних цінностей студентів гуманітарних спеціальностей передбачає три етапи: 1) збирання діагностичної інформації; 2) встановлення рівня сформованості духовно-моральних цінностей особистості; 3) формулювання узагальнювальних висновків. У розділі йдеться про психолого-педагогічну діагностичну діяльність, спрямовану на виявлення особливостей мотивації майбутніх фахівців гуманітарних спеціальностей до самовдосконалення й на розроблення методичних рекомендацій щодо проведення роботи над ним. Запропоновано під час роботи оцінювати показники та критерії рівня сформованості духовноморальних цінностей за допомогою різних запитань, завдань та вправ, літературних проб, тестових завдань, які можна варіювати відповідно до ситуації та профілю навчальної дисципліни. Отримані дані запропоновано вносити в діагностичні карти відповідних блоків з орієнтацією на методи спостереження та експертної оцінки, згідно з виявленими показниками. У розділі наведено результати експериментальної роботи, що складалася з декількох етапів та передбачала такі напрями: мотивація студентів до тлумачення смислів у творах художньої літератури, презентація методик  \f27 діагностико-корекційної роботи, визначення рівнів духовно-моральних цінностей студентів, самооцінка тощо; формування системи знань про духовноморальні цінності, основи організації виховного процесу, добір і використання миследіяльнісного інструментарію для виконання виховних завдань, рефлексія; розкриття технологічних можливостей інформації, в основі якої – комбінування матеріальних і духовних цінностей; технологічна ефективність організації виховного процесу, запровадження літературно-творчої діяльності, орієнтація на досвід виховної роботи. Дані, отримані в процесі констатувального експерименту, свідчать про суперечливі процеси в системі формування духовно-моральних цінностей у студентів гуманітарних спеціальностей засобами художньої літератури. Багато фактів, виявлених нами за допомогою опитування, бесід, інтерв’ю, вказують на значні перешкоди на шляху до формування духовно-моральних цінностей студентів-гуманітаріїв. Це виявляється в категоричності їхніх думок, у великій розбіжності духовно-моральних суджень, у наявності незначного морального досвіду, формалізації в тлумаченні творів художньої літератури, у суттєвих порушеннях їхньої взаємодії з оточенням; підтверджується нелогічністю в оцінюванні впливу дисциплін на виховання, зміст яких спрямований (цілком або частково) на поповнення теоретичних знань і набуття практичних навичок у сфері формування духовно-моральних цінностей. У процесі експериментальної роботи використовувались різноманітні методи і форми, спрямовані на опанування студентами теоретичних основ проблеми формування духовно-моральних цінностей та їх практичного використання: виконання відповідних завдань і розв’язування ситуацій духовно-морального характеру, проведення багатофункціональних ділових ігор для пошуку метафор як у буденній символіці, так і в ментальному просторі творів художньої літератури; заданого протоколювання та індивідуального аналізу результатів діяльності, зокрема й літературно-творчої. Основною закономірністю процесу формування духовно-моральних цінностей студентів гуманітарних спеціальностей є зміна їхньої позиції: майбутні фахівці-гуманітарії починають здобувати професійні знання, стають активними учасниками студентського життя, беруть участь у виховних програмах на різних рівнях. Усвідомлення студентами своєї нової позиції – як майбутніх фахівців – зумовлює перебудову їхнього ставлення до процесу навчання, до правил студентської співпраці в розв’язанні різних проблем духовно-морального характеру. Під час організації професійної підготовки виникають суперечності, які знижують виховну функцію предметів гуманітарного та професійного циклу підготовки. З огляду на це, необхідними стають: пошук напрямів формування духовно-моральних цінностей у студентів гуманітарних спеціальностей під час їхньої професійної підготовки; формулювання на засадах ціннісно-герменевтичного підходу концептуальних положень про організацію процесу формування духовно-моральних цінностей в закладах вищої освіти; доцільне використання змісту навчального предмета для розвитку вміння студентів узгоджувати особистісні інтереси з духовноморальними потребами суспільства.  \f28 Аналіз результатів діагностичного дослідження, який передбачав виявлення рівнів вихованості духовно-моральних цінностей особистості, доводить складність і самостійність якісного процесу виховання, що має враховувати специфіку та напрям підготовки фахівців-гуманітаріїв, комплексність оцінки викладача, куратора і методистів, що керують практикою, а також роботу над духовно-моральними якостями студента під час оцінювання, адже в запропонованій методиці діагностичної роботи надається значення процесам внутрішнього самостворення, занурення у внутрішній світ, виховання та реалізації прагнення до самовдосконалення духовно-моральних цінностей. Проведення експериментальної роботи передбачало декілька етапів: • установчий: мотивація студентів гуманітарних спеціальностей до виховного процесу через специфічне тлумачення смислів творів художньої літератури, презентація методик діагностико-корекційної роботи, визначення рівнів стану сформованості духовно-моральних цінностей у студентів гуманітарних спеціальностей, самооцінка тощо; • теоретичний: формування системи знань про сутність духовноморальних цінностей та їхню структуру, формування глосарію основних понять у сфері духовно-моральних цінностей, укладання списку корисної художньої літератури для формування духовно-моральних цінностей особистості та знаходження шляхів виходу з духовної кризи, добір і застосування миследіяльнісного інструментарію для виконання виховних завдань, рефлексія; • практичний: розкриття важливості формування духовно-моральних цінностей особистості, технологічна ефективність організації виховного процесу, упровадження спецкурсу «Художня література як чинник становлення духовно-моральної особистості студента». Експериментальна система формування духовно-моральних цінностей студентів-гуманітаріїв містить також елементи (цільовий, змістовний, організаційний, оцінювальнорезультативний), що виявляються на всіх етапах. На установчому етапі використовувалися як уже відомі та апробовані діагностичні матеріали, вправи та завдання для самооцінки, так і авторські, що стосуються безпосередньо рівня сформованості духовно-моральних цінностей студентів гуманітарних спеціальностей (прийом «Нова книга», спрямований на виявлення духовно-моральних цінностей у поведінці, тобто вміння студентів визначати цінність запропонованої до прочитання книги за наданою анотацією; «Тест на здатність до здійснення духовно-моральних вчинків»; інтерактивна діагностична вправа «Зрозумій мене»; вправа «Опиши свої враження» – для виявлення емоційної реакції студентів на прочитані художні твори). Теоретичний етап передбачав оволодіння студентами системою знань про сутність духовно-моральних цінностей та їхню структуру, вивчення основних понять у сфері духовно-моральних цінностей, бесіди, під час яких з’ясовувалась різниця між такими категоріями, як «добро і «зло», «сакральне» і «профанне», «священне» і «низинне»; студенти вчилися оцінювати запропоновані твори, уривки з творів художньої літератури та притчі з позиції духовно-моральних цінностей. За основу було взято розроблений нами  \f29 спецкурс «Художня література як чинник становлення духовно-моральної особистості студента» (90 годин \/ 3 кредити). Зауважимо, що спецкурс впроваджувався як дисципліна за самостійним вибором студента на третьому та четвертому курсах, оскільки в цей час було забезпечено міждисциплінарні зв’язки з таким дисциплінами циклу гуманітарної підготовки, як філософія, релігієзнавство, етика та естетика, культурологія. Основними темами спецкурсу є: цінності як основа духовно-морального виховання; наукові засади та принципи формування духовно-моральних цінностей особистості; нормативна документація та законодавчі аспекти регулювання у сфері формування духовно-моральних цінностей українського суспільства; діагностика, аналіз та самоаналіз рівнів вихованості духовноморальних цінностей; сутність духовно-морального виховання особистості; художня література як засіб формування духовно-моральних цінностей; приклади духовно-моральних вчинків у художній літературі; поняття «ідеали і норми моралі» в художній літературі, «літературний герой як впізнаваний прийом творення ментальності в суспільстві»; визначення критеріїв відбору «якісної» художньої літератури (тієї, що спрямована на формування духовноморальних цінностей студентської молоді); оцінка результативності формування духовно-моральних цінностей особистості; теоретико-методична модель формування духовно-моральних цінностей особистості; розроблення та апробація авторських виховних програм та миследіяльнісного інструментарію для виконання завдань виховання; тренінгова робота, спрямована на формування і розвиток почуттів духовного і морального характеру, здатності до самоактуалізації та духовно-моральної рефлексії. На заняттях було використано поетичні твори світової та української художньої літератури, серед яких: вірш Ліни Костенко («Крила»), де уславлюються духовні поривання людини; вірш Василя Симоненка («Ти знаєш, що ти людина»), де утверджується думка про неповторність кожної людини, та оспівується цінність любові; вірш Дмитра Павличка («Був день, коли ніхто не плаче»), де йдеться про важливість підтримки ближнього та духовну єдність людей; вірш Бориса Пастернака («Зимова ніч»), де оспівується цінність людського життя; вірш Анни Ахматової («Мужність»), де уславлюється цінність мужності людей у боротьбі за власну свободу і культуру; вірш Редьярда Кіплінга («Заповіт»), в якому порушуються морально-етичні теми і філософські проблеми життя, що спрямовує читача до самопізнання, рефлексії та власного вірного вибору у житті. На заняттях також обговорювались прозаїчні твори світової та української художньої літератури, серед яких варто відзначити: роман Олеся Гончара («Собор»), в якому відображено боротьбу українського народу за свою духовність, збереження національної історичної пам’яті, висвітлюється внутрішня боротьба людини на шляху до утвердження високих моральних цінностей; кіноповість Олександра Довженка («Зачарована Десна»), де оспівується цінність праці в житті людини, цінність краси природи та рідного краю; роман в романі Михайла Булгакова («Майстер і Маргарита»), в якому  \f30 стверджується цінність любові і віри та повернення людині віри у високі ідеали, відновлення істини всупереч обставинам життя; повість-притча («Старий і море») Ернеста Хемінгуея, в якій представлена цінність людської гідності і життя; філософський роман Оскара Уайльда («Портрет Доріана Грея»), де простежується конфлікт між мистецтвом, красою і мораллю. Під час аудиторних занять зі спецкурсу використовувались різноманітні методи і форми, спрямовані на опанування студентами теоретичних основ проблеми формування духовно-моральних цінностей та їх практичне використання: виконання відповідних завдань і розв’язування ситуацій духовно-морального характеру, проведення ігор, у яких спеціально загострювалися пошуки ідентифікації особистості; читання творів художньої літератури, анотацій до них та аналіз їх щодо наявності потенціалу до формування духовно-моральних цінностей. Ці методи і форми застосовувалися не ізольовано, а в певній системі, з урахуванням структури та етапів процесу формування духовно-моральних цінностей у студентів гуманітарних спеціальностей. Ретельно продуманий, аргументований, чітко викладений теоретичний матеріал і система літературно-методичного забезпечення, яка містила запитання і завдання для майбутніх фахівців гуманітарних спеціальностей продуктивного (частково-пошукового і дослідницького) характеру, спонукали студентів до роздумів, порівнянь, аналізу явищ духовно-морального характеру. Теоретичні положення були проілюстровані фактами з життя художників і митців та супроводжувалися різноманітними зразками-варіантами розв’язування ситуацій духовно-морального характеру, зразками реалізації окремих форм, методів і прийомів взаємодії між образами людей, які трансформують духовні світи і перетворюють ментальні ландшафти. Спецкурс складається з трьох модулів, що передбачає відповідну логіку його побудови. Основою першого модуля – «Духовно-ціннісне засвоєння світу» – є: ознайомлення студентів із сутністю, змістом і значенням духовноморальних цінностей; утілення духовно-моральної ідеї в мету й у завдання; проведення тренінгу, який дає змогу через спеціально розроблені завдання усвідомити значущість духовно-моральних цінностей для людини зокрема й для суспільства загалом; розроблення варіантів реалізації концепції самовиховання з орієнтацією на оптимальний результат; добір діагностичних вправ; конструювання форм, методів і засобів, необхідних для реалізації процесу формування духовно-моральних цінностей. На цьому етапі студенти писали есе та розпочали роботу з електронним портфоліо «Знавець художньої літератури». У другому модулі – «Подорож у світ художньої літератури» – заняття були спрямовані: на підвищення мотивації до виховання духовно-моральних цінностей особистості засобами художньої літератури, на виховання читацького інтересу та створення мотивації у майбутніх фахівців гуманітарних спеціальностей до читання та тлумачення смислів; на вироблення вміння аналізувати художні твори з позиції наявності або відсутності в них потенціалу, необхідного для формування духовно-моральних цінностей; на набуття вміння  \f31 надавати моральну аргументацію щодо тих художніх творів, які не відповідають духовно-моральному критерію відбору, а також спільному розгляду основних параметрів, за якими відбувається вибір художнього твору. На цьому етапі ми використовували інтерактивні методи виховання, серед яких – «Мікрофон» для вираження думок з приводу прочитаного, «Робота в малих групах» для створення спільного аналізу художнього твору, дискусії для обговорення вчинків літературних героїв, лекції з проблемним викладом для викладу матеріалу про категорії духовно-моральних цінностей, евристична бесіда для спонукання студентів самостійно на основі їхніх знань, уявлень, життєвого досвіду, спостережень приходити до певних висновків щодо ціннісних ідеалів, відображених у творах, семінари у формі дискусії або дебатів для відстоювання власної точки зору студентів; використання кейс-технологій для створення ситуацій та розв’язання проблем; круглий стіл; мозковий штурм для пошуку загальних ідей; використання засобів мультимедіа для презентації обговореного матеріалу; метод проектів для створення творчого портфоліо; педагогічний колаж; робота з духовно-моральними афоризмами; інсценування та емпіричне освоєння цінностей особистості тощо. Метою третього модуля – «Якісна книга як життєвий орієнтир» – є узагальнення здобутих студентами знань про духовно-моральні цінності та надання їм можливості виявити такі цінності в поведінці. У процесі роботи ми користувалися й методами рефлексії – самоспостереженням, самопізнанням та самоаналізом. Гарний педагогічний ефект був отриманий від аналізу проблемних ситуацій, коли студенти шукали вихід із них, а також під час розігрування рольових постановок за темами: «Як би ти вчинив, якщо…», «Якщо ти є упорядником літературних творів для майбутнього покоління, то …». Завершенням роботи зі спецкурсу стало підсумкове заняття з демонстрацією власного літературно-творчого портфоліо. Для виявлення рівнів сформованості духовно-моральних цінностей у студентів-гуманітаріїв було проведено експериментальну роботу. На констатувальному етапі ми умовно виділили три рівні сформованості духовно-моральних цінностей – високий, середній та початковий. В експериментальній групі (ЕГ) нараховувалось 456 студентів, серед яких високий рівень продемонстрували 19,24%, середній – 58,75%, а початковий – 22,25% респондентів. У контрольній групі (КГ), де налічувалося 450 студентів, кількісні та якісні показники були майже ідентичними (18,90% студентів продемонстрували високий рівень, 59,39% – середній і 21,97% – початковий). Узагальнення результатів експериментальної роботи здійснювалося за попередньо розробленими критеріями. Аналіз виявив такі зміни серед студентів КГ: під час констатувального експерименту 21,1% респондентів умовно були визначені як студенти з початковим рівнем сформованості духовно-моральних цінностей, а наприкінці формувального експерименту їх кількість зменшилася до 19,65%. Кількість студентів із середнім рівнем зросла з 59,39% до 60,48%, а з високим – з 18,9% до 19,87%. Натомість у студентів ЕГ зафіксовано значні зміни рівнів сформованості духовно-моральних цінностей. Так, кількість студентів із початковим рівнем зменшилася з 22,25% до 1,56%, із середнім –  \f32 зменшилася з 61,78% до 58,75% із високим – збільшилася майже вдвічі (з 19,24% до 41,69%). Порівняльна діаграма результатів проведення експерименту з формування духовно-моральних цінностей у студентів-гуманітаріїв (початковий етап, проміжний зріз, кінцевий етап) Діаграма  У розділі наведено результати проміжного та контрольного зрізів, результати опитування студентів ЕГ та КГ. Доведено, що зміни в показниках були зумовлені: уведенням в освітній процес матеріалів про сутність духовноморальних цінностей, застосуванням специфічних методик («Незавершені речення», «Кейс із ситуаціями», «Побажання», «Здатність до вияву любові й милосердя»); вправ («Зрозумій мене», «Опиши власні почуття», «Мої улюблені книжки»), рефлексії духовно-морального досвіду студентів, проведенням постановок літературних творів, розробкою глосарію основних понять у сфері духовно-моральних цінностей через впровадження спецкурсу. З’ясовано, що цінність використання запропонованих методик, завдань і ситуацій духовно-морального характеру в процесі формування духовноморальних цінностей у студентів гуманітарних спеціальностей полягає в тому, що ситуації духовно-морального характеру виступають проміжною ланкою між педагогічною теорією і безпосередньою моральною діяльністю та моральним вчинком особистості майбутнього фахівця. У зміст аудиторних занять та позааудиторної діяльності було включено ситуації з буденного життя, аналіз яких спонукав студентів до активного здобуття знань і набуття вмінь. Процес  \f33 обговорення й розв’язування питань духовно-морального характеру, що виникають під час навчання, розв’язування ситуацій духовно-морального характеру, програвання різних видів моральних вчинків з творів художньої літератури відбувався за безпосередньої участі викладача, який за необхідності здійснював оперативну корекцію й оцінку моральних вчинків студентів. Проведене дослідження дало змогу розробити методичні рекомендації зі створення й упровадження ефективної теоретико-методичної моделі формування духовно-моральних цінностей засобами художньої літератури, що орієнтується на ціннісно-герменевтичний підхід, ураховує загальні та конкретні принципи, форми і методи виховної роботи й доводить у такий спосіб поступове розв’язання порушеної в дослідженні проблеми. ВИСНОВКИ У дисертації здійснено теоретичне узагальнення проблеми формування духовно-моральних цінностей студентів гуманітарних спеціальностей і запропоновано новий підхід до її розв’язання, що полягає у визначенні концепції, моделі, технології, критеріїв та показників рівнів вихованості духовно-моральних цінностей, соціальних, психологічних, педагогічних умов та впровадження в практику навчально-виховної роботи з майбутніми фахівцями ціннісно-герменевтичного підходу, доцільних форм і методів виховної діяльності. Результати проведеного теоретичного та експериментального дослідження підтвердили правомірність провідних концептуальних положень висунутої гіпотези, засвідчили ефективність виконання поставлених завдань і дали підстави для формулювання таких висновків: 1. Аналіз провідних підходів до розв’язання проблеми формування духовно-моральних цінностей молоді (аксіологічний, культурологічний, герменевтичний та синергетичний) показав, що вони сприяють задоволенню вимог суспільства до підготовки особистості майбутнього фахівця гуманітарних спеціальностей, здатного здійснювати духовно-моральні вчинки, виокремлювати смисли та приховані резерви, що криються в художній літературі. Новий підхід, що має суттєвий вплив на формування у студентів духовно-моральних цінностей, повинний спиратися на їх сукупність як на основу процесу становлення особистості. Водночас основними напрямами виховного процесу повинні стати: прилучення студентів до засвоєння вироблених людством універсальних духовних цінностей, створення психолого-педагогічних умов для реалізації власного потенціалу у формуванні духовної свідомості, вияв моральних почуттів, здійснення духовно-моральних вчинків. Сутність та зміст цінностей, властивих майбутньому фахівцю, полягають у максимальному розкритті в особистісній поведінці таких якостей і рис, як відповідальність та обов’язок, честь і гідність, справедливість, авторитет, любов. 2. Доведено, що художня література може стати засобом формування духовно-моральних цінностей у студентів гуманітарних спеціальностей. Для  \f34 того, щоб знання стали невіддільною частиною особистості, її переконаннями і принципами, зміст освіти повинен мати ціннісну спрямованість, а його засвоєння – відбуватися в різних навчальних закладах з використанням активних форм діяльності. Мистецтво, зокрема література, є ідеальним втіленням морального досвіду людства, своєрідним визвольним рухом народу проти злочинності, декларативності, конформізму. Методологічною основою виокремлення літературного мистецтва як одного з оптимальних засобів формування духовно-моральних цінностей особистості є положення про те, що саме в ньому широко представлені моральні конфлікти епох, цивілізацій, духовно-моральні почуття і поведінка людини. Теоретичною основою вивчення взаємозв’язку художньої літератури і сформованості духовно-моральних цінностей особистості є концептуальні положення про взаємозв’язок етичного та естетичного в розвитку людини, взаємодії мистецтва і моралі в процесі духовно-морального розвитку. Виховний потенціал художньої літератури полягає не тільки в передачі знань, а й в засвоєнні понять і цінностей людського життя, своєрідного кодексу «життя людини, що випручується з убогості», у якому провідними є любов до землі, рідного дому, шанобливе ставлення до батьків, турбота про людей з особливими потребами, милосердя, соборність, доброта, справедливість, честь та гідність. 3. Під час розроблення концептуальних положень організації процесу набуття студентами гуманітарних спеціальностей духовно-моральних цінностей ураховано закони педагогіки духовності, основні принципи, яким має відповідати сучасне виховання студентської молоді, а також технологічні аспекти забезпечення цього процесу. Запропоновано переглянути зміст професійної освіти майбутніх фахівців, оновити форми і способи організації навчально-виховного процесу, створити принципово нове технологічне забезпечення, що задовольнить вимоги суспільства до вихованості майбутніх студентів-гуманітаріїв. 4. Створено теоретико-методичну модель формування духовноморальних цінностей у студентів гуманітарних спеціальностей, що містить ціле-мотиваційний, теоретичний, технологічно-процесуальний, змістовний, операційно-діяльнісний, формувальний і результaтивний компоненти. Метою створення теоретико-методичної моделі є досягнення високого рівня сформованості духовно-моральних цінностей у студентів гуманітарних спеціальностей засобами художньої літератури. Завданням – забезпечення інтересу до процесу формування духовно-моральних цінностей; формування позитивної мотивації до підвищення рівня сформованості духовно-моральних цінностей засобами художньої літератури; формування позитивних духовноморальних якостей і викорінення негативних; розширення інформаційного фонду знань про сутність та структуру духовно-моральних цінностей особистості, навчання вміння рефлексії духовно-морального досвіду та його актуалізації як захисного механізму особистості, формування духовноморального мислення; розвиток духовно-моральних почуттів, навичок духовноморальної поведінки, проєктування власної поведінкової програми. Технологічно-процесуальні складники моделі передбачають  \f35 використання системи методів і засобів діагностики виховного процесу, забезпечують вчасне вимірювання його ефективності та спрямовуються на результат (позитивна мотивація до підвищення рівня сформованості духовноморальних цінностей, сукупність спеціальних знань і умінь, готовність майбутніх фахівців до самовиховання). 5. Визначено критерії і показники рівнів сформованості духовноморальних цінностей у студентів гуманітарних спеціальностей. До показників інформаційно-когнітивного критерію належать: 1) знання про сутність духовноморальних цінностей та їхню структуру; 2) наявність глосарію основних понять у сфері духовно-моральних цінностей, уміння розрізняти категорії «добро» і «зло» в творах художньої літератури; 3) здатність до духовно-моральної оцінки творів художньої літератури, усвідомлення значень духовно-моральних цінностей у художній літературі. До показників мотиваційно-ціннісного критерію належать: 1) наявність сталих духовно-ціннісних орієнтацій у здійсненні морального вибору, позитивна мотивація до самовдосконалення; 2) духовно-етичні ідеали, духовноморальні переконання, інтереси, здатність виявляти любов, емпатію, шляхетність; 3) визнання важливості формування духовно-моральних цінностей, потреба у розв’язанні проблем духовного-морального характеру, наявність емоційної реакції на твори художньої літератури. До показників інструментально-поведінкового критерію належать: 1) практичне використання духовно-моральних цінностей у власній поведінці та професійній діяльності, здійснення духовно-моральних вчинків; 2) уміння здійснювати рефлексію духовно-морального досвіду, здатність до доброчинності; 3) здатність до самовиховання, саморегуляції поведінки відповідно до духовно-морального аспекту; уміння узгоджувати особистісні інтереси з духовно-моральними потребами суспільства. 6. Обґрунтовано психолого-педагогічні умови формування духовноморальних цінностей у студентів гуманітарних спеціальностей, а саме: створення аксіологічно спрямованого освітньо-виховного простору і залучення студентів до діяльності, спрямованої на засвоєння духовно-моральних цінностей у ньому; опора на ціннісний потенціал художньої літератури як засобу формування духовно-моральних цінностей; сприяння комфортному спілкуванню, взаємодії, співпраці і співтворчості в навчально-виховному процесі; організація процесу виховання на основі розробленого спецкурсу «Художня література як чинник становлення духовно-моральної особистості студента», у якому передбачено створення ситуацій для постійного діалогу як форми взаємодії між учасниками; системне впровадження в навчальновиховний процес ідеї гуманізму, досягнень національної та світової художніх літератур, на засадах яких формується світогляд особистості студента. 7. Розроблено методичні матеріали, зокрема програму спецкурсу «Художня література як чинник становлення духовно-моральної особистості студента», засадничим принципом якої є синтез та інтеграція навчального матеріалу декількох професійно-орієнтованих дисциплін, що вивчаються в закладах вищої освіти («Психологія», «Педагогіка», «Основи педагогічної  \f36 майстерності», «Актуальні проблеми зарубіжної літератури», «Зарубіжна література», «Культурологія», «Історія зарубіжної літератури» та ін.). Розроблено специфічні методики «Незавершені речення», «Кейс із ситуаціями», «Побажання», «Здатність до вияву любові й милосердя»; вправи «Зрозумій мене», «Опиши власні почуття», «Мої улюблені книжки» для діагностики рівнів сформованості духовно-моральних цінностей. Проведене дослідження не вичерпує всіх аспектів проблеми формування духовно-моральних цінностей у студентів гуманітарних спеціальностей. Перспективними є наукові розробки теоретичного і методичного аспектів цієї проблеми в конкретизації напрямів: теорія і методика управління виховним процесом; духовно-моральне виховання студентської молоді; методика практичного застосування інноваційних виховних технологій у процесі формування духовно-моральної свідомості студентської молоді; розроблення інформаційного забезпечення духовно-морального розвитку студентів. СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ Наукові праці, у яких опубліковані основні наукові результати дисертації Монографії 1. Гуров С. Ю. Проблеми вдосконалення духовно-ціннісної сфери студентів гуманітарних спеціальностей: теоретичні та методичні аспекти: монографія. Мелітополь: ФОП Однорог Т. В., 2020. 366 с. Статті в наукових фахових виданнях (зокрема ті, які індексуються в наукометричних базах) 2. Гуров С. Ю. Зміст та структура педагогічної практики майбутнього вчителя англійської мови і літератури. Проблеми сучасної педагогічної освіти. Сер.: Педагогіка і психологія: зб. статей. Ялта: РВВ КГУ, 2009. Вип. 23. Ч. 1. С. 70–78. 3. Гуров С. Ю. Об’єктивні чинники формування художнього смаку майбутнього вчителя англійської мови та літератури в процесі професійної підготовки. Проблеми сучасної педагогічної освіти. Сер.: Педагогіка і психологія: зб. статей: Ялта: РВВ КГУ, 2010. Вип. 27. Ч. 1. С. 89–95. 4. Гуров C. Ю. Аналіз освітньо-кваліфікаційних характеристик у студентів гуманітарних спеціальностей з метою формування духовно-моральних цінностей засобами літературного мистецтва. Наукові записки Бердянського державного педагогічного університету. Філологічні науки. 2016. Вип. 10. С. 116– 3. 5. Гуров С. Ю. Аспекти формування духовно-моральних цінностей особистості. Гуманітарний вісник ДВНЗ «Переяслав-Хмельницький державний педагогічний університет імені Г. Сковороди». Додаток 1 до Вип. 31. Т. 8(50):  \f37 Тематичний вип. «Вища освіта України у контексті інтеграції до європейського освітнього простору». Київ: Гнозис, 2014. С. 133–143. 6. Гуров С. Ю. Відображення системи цінностей в англійській художній літературі. Науковий вісник Мелітопольського державного педагогічного університету імені Богдана Хмельницького. Серія: Педагогіка. 2020. Вип. 1(24). С. 6–10. 7. Гуров С. Ю. Духовне вдосконалення студентської молоді засобами художньої літератури. Духовність особистості: методологія, теорія і практика: зб. наук. праць. Сєверодонецьк: Вид-во СНУ ім. В. Даля, 2019. Вип. 3(90). Ч. 2. С. 72–83. 8. Гуров С. Ю. Духовно-ціннісне вдосконалення студентів гуманітарних спеціальностей засобами художньої літератури Науковий вісник Мелітопольського державного педагогічного університету імені Богдана Хмельницького. Серія: Педагогіка. 2019. Вип. 2(23). С. 23–28. 9. Гуров С. Ю. Еволюція духовно-моральних цінностей в античній літературі. Духовність особистості: методологія, теорія і практика: зб. наук. праць. Сєверодонецьк: Вид-во СНУ ім. В. Даля, 2019. Вип. 4(91). С. 72–83. 10. Гуров С. Ю. Закони, закономірності, форми та методи формування духовно-моральних цінностей у студентів гуманітарних спеціальностей засобами літературного мистецтва. Науковий вісник Мелітопольського державного педагогічного університету імені Богдана Хмельницького. Серія: Педагогіка. 2017. Вип. 1(18). С. 73–80. 11. Гуров С. Ю. Методичні основи формування духовно-моральних цінностей особистості. Науковий вісник Мелітопольського державного педагогічного університету імені Богдана Хмельницького. Серія: Педагогіка. 2013. Вип. 1(11). С. 110–116.  . Гуров С. Ю. Моделювання процесу формування духовно-моральних цінностей у студентів гуманітарних спеціальностей. Молодь і ринок : наук.-пед. журнал. Дрогобич, 2018. № 4 (160). С. 57–63. 13. Гуров С. Ю. Педагогічна діагностика рівнів вихованості духовноморальних цінностей студентів гуманітарних спеціальностей. Педагогіка формування творчої особистості у вищій і загальноосвітній школах: зб. наук. праць. Запоріжжя: Класичний приватний університет, 2019. № 67. Т. 1. С. 173– 178. 14. Гуров С. Ю. Розвиток літературного мистецтва як форми вираження духовно-моральних цінностей у період до XVIII ст. Науковий вісник Мелітопольського державного педагогічного університету імені Богдана Хмельницького. Серія: Педагогіка. 2014. Вип. 1(13). С. 39–44. 15. Гуров С. Ю. Розвиток літературного мистецтва як форми вираження духовно-моральних цінностей (ХVIII – початок ХХІ ст.). Науковий вісник Мелітопольського державного педагогічного університету імені Богдана Хмельницького. Серія: Педагогіка. 2015. Вип. 2(15). С. 9–14. 16. Гуров С.Ю. Сутність духовно-моральних цінностей особистості у філософсько-педагогічному дискурсі Молодь і ринок : наук.-пед. журнал. Дрогобич, 2018. № 6 (161). С. 85–89.  \f38 17. Гуров С. Ю. Сутність і проблеми формування духовно-моральних цінностей. Збірник наукових праць Уманського державного педагогічного університету. 2019. № 4. С. 33–41. 18. Гуров С. Ю. Теоретичний аналіз різних типологій і класифікацій студентів для реалізації програм, спрямованих на формування духовноморальних цінностей майбутніх фахівців. Науковий вісник Мелітопольського державного педагогічного університету імені Богдана Хмельницького. Серія: Педагогіка. 2015. Вип. 1(14). С. 184–190. 19. Гуров С. Ю. Технологія проведення діагностичної роботи зі студентами гуманітарних спеціальностей для підвищення рівня вихованості духовноморальних цінностей. Психолого-педагогічні проблеми сучасної школи. 2020. № 1(3). Ч. 1. С. 49–58. 20. Гуров С.Ю. Формування у студентів гуманітарних спеціальностей духовно-моральних цінностей засобами художньої літератури на заняттях з культурології, етики та естетики, філософії й релігієзнавства. Науковий вісник Мелітопольського державного педагогічного університету імені Богдана Хмельницького. Серія: Педагогіка. 2017. Вип. 2(19). С. 100–104. 21. Гуров С. Ю. Характеристика професійно значущих якостей майбутнього вчителя, підготовленого до особистісно орієнтованого викладання англійської мови. Педагогіка формування творчої особистості у вищій і загальноосвітній школах: зб. наук. праць. Запоріжжя: Класичний приватний університет, 2010. Вип. 9(62). С. 288–292. Статті в зарубіжних наукових виданнях 22. Гуров С. Ю. Исторический аспект формирования личности в обществе. Scientific letters of academic society of Michal Baludansky. 2013. Vol 1(4). P. 60–63. 23. Moskalyova L., Gurov S., Gurova T. The religious ethics impact as evaluative element of culture on the personality development of the future teacher: the person measurement approach. American Journal of Educational Research. 2014. Vol 2(1). URL: http:\/\/pubs.sciepub.com\/education\/2\/1\/4\/index.html. DOI: 10. 691\/ education-2-1-4. 24. Gurova T., Gurov S., Moskalyova L. Innovative Technologies in The Formation of Future English Teachers’ Intercultural Communicative Competence. Science and Education. 2017. Вип. 6. С. 44–50. URL: http:\/\/scienceandeducation.pdpu.edu.ua\/uk\/articles\/2017-6-doc\/2017-6-st7 Web of Science. 25. Гуров С. Ю. Conceptual theses of literature impact on education of students' spiritual and moral values. Освіта і суспільство – IV: міжнар. зб. наук. праць. Бердянський державний педагогічний університет; Вид-во Вищої технічної школи в Катовіце, Польща, 2019. C. 93–100. ISBN 978-83-952000-9-0. 26. Pomytkina L., Moskalyova L., Podkopaieva Y., Gurov S., Podplota S., Zlahodukh V. Empirical studies of socio-psychological conditions of formation of ideas about the spiritual ideal in primary school children. International Journal of  \f39 Children's Spirituality. 2019. Vol. 24. Issue 4. URL:https:\/\/www.tandfonline.com. DOI: abs\/10.1080\/1364436X.2019.1672626 Scopus, Web of Science. 27. Moskalyova L., Maksymov O., Gurov S., Gurova T., Yakovleva V. Pedagogy of argumentation: Teaching the skills of argumentation to older teens. Tarih Kultur Sanat arastirmalari Dergisi-Journal Of History Culture and Art Research. 2019. Vol. 9. Issue 1. P. 156–171. URL: http:\/\/kutaksam.karabuk.edu.tr\/index.php\/ilk \/article\/view\/2402\/1721 Web of Science. 28. Maksymov O., Fedorova O., Yakovleva V., Gurov S., Fedorov M., Dubiaga S. Tutors' psychological readiness for professional activity in Ukraine. Journal of organizational behavior research. 2020. Vol. 5. Issue 1, Р. 1–8. URL: http:\/\/apps.webofknowledge.com\/full_record.do?product=WOS&search_mode=Gene ralSearch&qid=1&SID=C6HurQhFBMi28NVVfZH&page=5&doc=43 Scopus, Web of Science. Наукові праці, які засвідчують апробацію матеріалів дисертації 29. Гуров С. Ю. «Християнська етика в історії України і сучасний діалог світоглядно-духовних ідентичностей» (Мелітополь, 2014). Сертифікат виданий 28.11.2014 р. 30. Гурова Т. Ю., Гуров С. Ю. Тарасенко Т. В., Журавльова Л. С. Использование образовательной технологии Б. Блума для формирования ИКТкомпетентности будущих учителей. Коммуникация в образовании – сегодня и завтра : материалы ХIII междунар. конф. (г. Седльце, Польша, 2015 г.). С. 101–110. 31. Гуров С. Ю. Всеукраїнська науково-практична конференція студентів і молодих учених «Роль освіти у формуванні життєвих цінностей молоді» (Мелітополь, 2015). Сертифікат виданий 30.10.2015 р. 32. Гуров С. Ю. ІІІ міжнародна науково-практична конференція «Актуальні проблеми функціонування мови і літератури в сучасному поліетнічному суспільстві» (Мелітополь, 2016). Сертифікат виданий 30.10.2016 р. 33. Гуров С. Ю. Науково-практичний семінар «Побудова інклюзивного простору у системі освіти: теорія та практика» (Мелітополь, 2017). Сертифікат виданий 07.11.2017 р. 34. Гуров С. Ю. Науково-методичний семінар «Практичні аспекти тьюторської діяльності» (Мелітополь, 2017). Сертифікат виданий 18. .2017 р. 35. Гуров С. Ю. Формування духовно-моральних цінностей студентів гуманітарних спеціальностей як педагогічна проблема. Інновації в сучасній освіті: український та світовий контекст : матеріали міжнар. наук.-практ. інтернет-конф. (Умань, 2018). Сертифікат виданий 28.09.2018 р. 36. Гуров С. Ю. Міжнародна науково-практична конференція «Актуальні проблеми функціонування мови і літератури в сучасному полікультурному суспільстві» (Мелітополь, 2018). Сертифікат виданий 28.09.2018 р.  \f40 37. Гуров С. Ю. Міжнародна науково-практична конференція «Актуальні проблеми функціонування мови і літератури в сучасному полікультурному суспільстві» (Мелітополь, 2020). Сертифікат виданий 26.09.2020 р. Методичні рекомендації 38. Гуров С. Ю. Лінгвостилістичний аналіз англомовного тексту: методичні рекомендації. Мелітополь, 2013. 50 с. АНОТАЦІЇ Гуров С. Ю. Формування духовно-моральних цінностей студентів гуманітарних спеціальностей засобами художньої літератури. – Кваліфікаційна наукова праця на правах рукопису. Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора педагогічних наук за спеціальністю 13.00.07 – теорія і методика виховання. – Східноукраїнський національний університет імені Володимира Даля, Міністерство освіти і науки України. – Київ, 2021. У дисертації здійснено комплексне дослідження формування духовноморальних цінностей студентів гуманітарних спеціальностей засобами художньої літератури. З теоретико-методологічних позицій обґрунтовано провідні підходи до духовно-морального виховання студентської молоді, розкрито сутність та зміст духовно-моральних цінностей. Проаналізовано вікові характеристики студентів-гуманітаріїв, особливості їхньої поведінки в контексті культурних, соціальних, психолого-педагогічних закономірностей розвитку та становлення особистості. З’ясовано сутність духовно-моральних цінностей; обґрунтовано концептуальні положення щодо організації та здійснення процесу формування духовно-моральних цінностей студентів гуманітарних спеціальностей. Схарактеризовано складники процесу формування духовно-моральних цінностей і розроблено теоретико-методичну модель формування духовноморальних цінностей студентів гуманітарних спеціальностей. Визначено критерії та показники рівнів вихованості духовно-моральних цінностей; принципи й психолого-педагогічні умови процесу виховання у студентів гуманітарних спеціальностей духовно-моральних цінностей засобами художньої літератури. Розроблено методичні матеріали, зокрема програму спецкурсу з формування духовно-моральних цінностей студентів гуманітарних спеціальностей. Ключові слова: духовність, мораль, цінності, духовно-моральні цінності, ціннісно-герменевтичний підхід, художня література, духовно-моральна особистість, студенти гуманітарних спеціальностей.  \f41 Гуров С. Ю. Формирование духовно-нравственных ценностей у студентов гуманитарных специальностей средствами художественной литературы. – Квалификационный научный труд на правах рукописи. Диссертация на соискание ученой степени доктора педагогических наук по специальности 13.00.07 – теория и методика воспитания. – Восточноукраинский национальный университет имени Владимира Даля, Министерство образования и науки Украины. – Киев, 2021. В диссертации осуществлено комплексное исследование воспитание духовно-нравственных ценностей студентов гуманитарных специальностей средствами художественной литературы. С теоретико-методологических позиций обоснованы ведущие подходы к духовно-нравственному воспитанию студенческой молодежи, раскрыта сущность и содержание духовнонравственных ценностей. Изучены возрастные характеристики студентовгуманитариев, особенности их поведения в контексте культурных, социальных, психолого-педагогических закономерностей развития и становления личности. Раскрыта сущность духовно-нравственных ценностей; обоснованы концептуальные положения организации и осуществления процесса воспитания духовно-нравственных ценностей у студентов гуманитарных специальностей. Охарактеризованы составляющие процесса воспитания духовно-нравственных ценностей и разработана теоретико-методическая модель воспитания духовнонравственных ценностей у студентов гуманитарных специальностей. Определены критерии и показатели уровней сформированности духовнонравственных ценностей; принципы и психолого-педагогические условия процесса вопситания у студентов гуманитарных специальностей духовнонравственных ценностей средствами художественной литературы. Разработаны методические материалы, в частности программа спецкурса по воспитанию духовно-нравственных ценностей у студентов гуманитарных специальностей. Ключевые слова: духовность, мораль, ценности, духовно-нравственные ценности, ценностно-герменевтический подход, художественная литература, духовно-нравственная личность, студенты гуманитарных специальностей. Gurov S. Yu. Formation of spiritual and moral values of students of humanitarian specialties by means of fiction. – Qualifying scientific work as a manuscript. Thesis for a Doctor’s Degree in Pedagogy, specialty 13.00.07 ‒ Theory and a technique of education – Volodymyr Dahl East Ukrainian National University, Kyiv, 2021. In the dissertation the complex research of formation of spiritual and moral values of students of humanitarian specialties by means of fiction is carried out. From the theoretical and methodological standpoint, the leading approaches to the spiritual and moral education of student youth are substantiated, the essence and content of spiritual and moral values are revealed. The age characteristics of humanitarian students, features of their behavior in the context of cultural, social, psychological and pedagogical patterns of development and formation of personality are studied.  \f42 The essence of spiritual and moral values is determined; the conceptual provisions of the organization and implementation of the process of formation of spiritual and moral values of students of humanities are substantiated. The components of the process of formation of spiritual and moral values are characterized and the model of formation of spiritual and moral values of students of humanities is developed. Criteria and indicators of levels of formation of spiritual and moral values are determined; principles and psychological and pedagogical conditions of the process of formation of students of humanities specialties of spiritual and moral values by means of fiction are determined. Theoretical analysis of the problem proved that the spiritual and moral formation of future specialists should outline axiological, hermeneutical, differentiated, dialogic, competence, cultural, personal approaches. The main direction of the educational process should be the attraction of the students to the assimilation of universal spiritual values developed by humanity, the creation of social, pedagogical, psychological conditions for the realization of their own potential in the education of spiritual consciousness, the manifestation of moral feelings, the implementation of spiritual and moral actions. During the analysis of scientific papers, we found that today the order for effective educational technologies and methods of spiritual and moral education of future specialists is formed. Among a number of factors that determine the need to develop this problem is an increase in the role of fiction both in the system of cultures of modern society, and in the moral face of each individual; the growth of society's requirements for the future specialist, his moral development and moral competence; the powerful influence of modern trends aimed at destroying moral values or replacing them with others. The author determines psychologically-pedagogical conditions for forming spiritual and moral values: 1) creation of axiologically directed educational space and involvement of students in activity on mastering of spiritual and moral values in it; 2) reliance on the value potential of fiction as a means of educating spiritual and moral values; 3) promoting comfortable communication, interaction, cooperation and co-creation in the educational process; 4) organization of the process of education on the basis of the developed course «Fiction as a factor in the formation of spiritual and moral personality of the student», which provides for the creation of situations for constant dialogue as a form of interaction between participants; 5) systematic introduction into the educational process of the idea of humanism, achievements of national and world fiction, on the basis of which the worldview of the student's personality is formed. Methodical materials in the form of the program of a special course on education of spiritual and moral values of students of humanitarian specialties are developed. Key words: spirituality, morality, values, spiritual and moral values, valuehermeneutic approach, fiction, spiritual and moral personality, humanities student.  \f"},"1":{"filename":"dis.doc","text":" МІНІСТЕРСТВО ОСВІТИ І НАУКИ УКРАЇНИ СХІДНОУКРАЇНСЬКИЙ НАЦІОНАЛЬНИЙ УНІВЕРСИТЕТ імені Володимира Даля Кваліфікаційна наукова праця на правах рукопису ГУРОВ СЕРГІЙ ЮРІЙОВИЧ УДК 372.461(73) «19»«20» ДИСЕРТАЦІЯ ФОРМУВАННЯ ДУХОВНО-МОРАЛЬНИХ ЦІННОСТЕЙ СТУДЕНТІВ ГУМАНІТАРНИХ СПЕЦІАЛЬНОСТЕЙ ЗАСОБАМИ ХУДОЖНЬОЇ ЛІТЕРАТУРИ 13.00.07 – теорія та методика виховання Галузь знань 01 – Освіта\/Педагогіка (011 – Освітні, педагогічні науки) Подається на здобуття наукового ступеня доктора пeдaгoгiчниx наук Дисертація містить результати власних досліджень. Використання ідей, результатів і текстів інших авторів мають посилання на відповідне джерело ________________ С.Ю. Гуров (підпис, ініціали та прізвище здобувача)  Науковий консультант: ШЕВЧЕНКО Галина Павлівна доктор педагогічних наук, професор, дійсний член НАПН України  Київ – 2021  \f2 АНОТАЦІЯ Гуров С.Ю. Формування духовно-моральних цінностей студентів гуманітарних  спеціальностей  засобами  художньої  літератури.  –  Кваліфікаційна наукова праця на правах рукопису. Дисертація на здобуття наукового ступеня доктора педагогічних наук за спеціальністю 13.00.07 «Теорія та методика виховання» (011 – Освітні, педагогічні науки). – Східноукраїнський національний університет імені Володимира Даля Міністерствa освіти і науки України, Київ, 2021. У дисертаційному дослідженні представлено теоретичний аналіз проблеми формування духовно-моральних цінностей особистості майбутніх фахівців, представлено основні підходи до формування у духовноморальному напрямку – акмеологічний, аксіологічний, андрагогічний, антропологічний,  гендерний,  (полісуб’єктний),  діяльнісний,  диференційований, індивідуалізований  інтегрований,  компетентнісний,  особистісний,  парадігмальний,  діалогічний  (персоналістичний),  комплексний, професіографічний,  культурологічний, процесуальний,  середовищний, системний, цивілізаційний тощо. Теоретичний аналіз проблеми довів, що духовно-моральне формування у майбутніх фахівців має окреслювати аксіологічний, герменевтичний, диференційований,  діалогічний,  компетентнісний,  культурологічний,  особистісний підходи і основним напрямком виховного процесу має бути залучення студентів до засвоєння вироблених людством універсальних духовних цінностей, створення соціальних, педагогічних, психологічних умов для реалізації власного потенціалу у формуванні духовної свідомості, прояву моральних почуттів, здійсненні духовно-моральних вчинків. Під час аналізу наукових праць ми виявили, що сьогодні замовлення на ефективні виховні технології та методики духовно-морального виховання майбутніх фахівців є сформованим. Серед ряду факторів, що зумовлюють необхідність розробки цієї проблеми є підвищення ролі художньої літератури як у системі культур сучасного суспільства, так і в моральному обличчі  \f3 кожної особистості; зростання вимог суспільства до майбутнього фахівця, його морального розвитку та моральної компетентності; могутній вплив сучасних течій, спрямованих на знищення моральних цінностей або їх заміну на інші. Аналіз розвитку духовно-морального виховання студентської молоді показав, що на сучасному етапі важливими є такі тенденції, як: орієнтація національної системи виховання на розвиток сутнісних сил особистості, що спонукає багатьох вчених до переосмислення ролі, мети, змісту духовноморального виховання; розуміння процесу виховання особистості як формування її ціннісного ставлення до себе та оточення. Художня література, з якою найбільше стикаються студенти гуманітарних спеціальностей, – потужна рушійна сила  у формуванні  духовно-моральних  цінностей  особистості, оскільки вона не лише передає інформацію від автора до читача, а й слугує могутнім виховним чинником у суспільстві загалом. У дисертації уточнено сутність та зміст цінностей, притаманних майбутньому фахівцю (відповідальність та обов’язок, честь і гідність, справедливість,  авторитет,  любов),  визначено  вікові  характеристики  майбутніх фахівців, що мають ураховуватися у процесі духовно-морального формування. Обґрунтовано духовно-моральних  ціннісно-герменевтичний цінностей  майбутніх  підхід  до  фахівців  формування гуманітарних  спеціальностей, визначено зміст і структуру формування духовно-моральних цінностей. Так, поняття «формування» у дослідженні ми використовуємо як базовий термін педагогічної науки і при цьому вважаємо, що у закладі вищої освіти виховання майбутніх фахівців гуманітарних спеціальностей є процесом залучення до цінностей професії, створення сприятливих умов для реалізації внутрішнього потенціалу, що має бути спрямованим на здійснення духовно-морального вчинку. Враховуючи ціннісно-герменевтичний підхід до формування духовноморальних цінностей студентів, термін «мораль» (від лат. «moralis» – норов,  \f4 характер, стан душі, звичка; від лат. «mores» – звичаї, мода, поведінка) ми розглядаємо у сполученні із терміном «духовність» що зумовлено їхньою взаємопов’язаністю. У  дисертаційному дослідженні  підкреслено,  що  для  належної  організації формування духовно-моральних цінностей у майбутніх фахівців гуманітарних спеціальностей потрібно: 1) цілісно  представити  майбутнім  фахівцям  гуманітарних  спеціальностей необхідність формування в процесі професійної підготовки духовно-моральних цінностей, розкрити їхню унікальну фундаментальну основу; забезпечити позитивну мотивацію до самовдосконалення, здійснення моральних вчинків; 2) показати,  використовуючи  цікаві  й нетривіальні  приклади  з  художньої літератури, вплив духовно-моральних цінностей на розвиток суспільства й окремої особистості та сформувати в майбутніх фахівців гуманітарних спеціальностей настанову на неприйняття аморальних явищ у всіх формах і виявах; 3) виявити за допомогою діагностики та самодіагностики позицію кожної особистості щодо усвідомлення нею значущості процесу формування духовно-моральних цінностей; уміння розрізняти категорії «добро» і «зло», що  можуть  виражатися  в завуальованих  формах;  готовність  до  самовиховання й самовдосконалення протягом життя; 4) вибрати оптимальні форми і методи для побудови індивідуальних програм формування духовно-моральних цінностей і здійснення моральних учинків та розробити методичні рекомендації для різних видів аудиторної роботи. Обґрунтовано загальні та конкретні принципи формування духовноморальних цінностей, виділено ефективні форми і методи, спроектовано технологію організації виховного процесу, що має формуватися у вигляді системи взаємопов’язаних етапів, представлено сучасний стан організації та  \f5 управління процесом формування духовно-моральних цінностей, виділено основні проблеми та окреслено перспективи. Підкреслено, що найбільшим змінам мають підлягати організаційнометодичні фактори за рахунок введення спецкурсів і вдосконалення змісту навчальних дисциплін шляхом дидактичної обробки навчального матеріалу, вибору форм і методів виховної діяльності, зміщення акцентів у керівництві вихованням студентів до співробітництва з ними, застосування не лише методів контролю й оцінювання виховного процесу, результатів їх моральної діяльності з боку викладачів, а й методів самоконтролю і взаємоконтролю студентів. Представлено модель формування духовно-моральних цінностей студентів гуманітарних спеціальностей, яка є органічно взаємопов’язаною із всією системою виховання у закладі вищої освіти, і передбачає єдність цільових, теоретико-методологічних, технологічно-процесуальних складових та передбачає результат. Розглянуто доцільність використання стимулюючих матеріалів, їх структура, вимоги до їх розробки, наголошено на введенні до навчальновиховного процесу спецкурсу «Художня література як чинник становлення духовно-моральної особистості студента». В основі спецкурсу покладено роботу зі студентами гуманітарних спеціальностей над усвідомленням мети і змісту формування власних духовно-моральних цінностей за допомогою художньої літератури; побудова системи духовно-моральних відносин у навчально-виховному процесі, установка на читання «корисної літератури», яка веде до самовдосконалення, самопізнання і самовиховання. На основі аналізу програм представлено літературно-методичне забезпечення для формування духовно-моральних цінностей студентів гуманітарних спеціальностей у аудиторних та позааудиторних формах професійної підготовки. Доведено, що передумовою формування духовноморальних цінностей студентів гуманітарних спеціальностей є глибоке  \f6 усвідомлення  значень  духовно-моральних  понять,  духовно-моральних  цінностей, потенціалу художньої літератури у вихованні цих цінностей. Основний  напрям методичного  забезпечення  підвищення  рівня  духовно-моральних цінностей у вищих навчальних закладах, де здійснюється підготовка  фахівців  гуманітарних  спеціальностей,  має  визначатися  специфічним впливом викладачів на всі критерії рівня духовно-моральної культури особистості та забезпечуватись педагогічним спостереженням за змінами, що відбуваються у духовно-моральній діяльності студентів тощо. Запропонована головна методична умова у вихованні духовноморальних цінностей розроблена із урахуванням забезпечення педагогічно доцільної відповідності теоретичної та практичної підготовки студентів гуманітарних  спеціальностей.  Головними  умовами  до  проведення  різноманітних методик, вправ є побудова на варіюванні та поступовому ускладненні видів педагогічної діяльності, створенні сприятливих психологопедагогічних умов: 1) створення аксіологічно спрямованого освітньо-виховного простору і залучення студентів у діяльність із засвоєння духовно-моральних цінностей у ньому; 2) опора на ціннісний потенціал художньої літератури як засобу формування духовно-моральних цінностей; 3) сприяння  комфортному  спілкуванню,  взаємодії,  співпраці  і  співтворчості у навчально-виховному-процесі; 4) організація процесу виховання на основі розробленого спецкурсу «Художня література як чинник становлення духовно-моральної особистості студента», в якому передбачено створення ситуацій для постійного діалогу як форми взаємодії між учасниками; 5) системне  впровадження  у  навчально-виховний  процес  ідеї  гуманізму, досягнень національної та світової художньої літератури, на засадах яких формується світогляд особистості студента.  \f7 Представлено психолого-педагогічну діагностичну роботу, що потрібна для виявлення особливостей мотивації майбутніх фахівців гуманітарних спеціальностей до самовдосконалення та для складання методичних рекомендацій щодо проведення їхньої роботи над самовдосконаленням. Запропоновано під час роботи оцінювати показники та критерії рівня вихованості духовно-моральних цінностей за допомогою різних запитань, завдань та вправ, тестових завдань, що можна варіювати у відповідності від ситуації та профілю предмета. Відповідні дані запропоновано заповнювати у діагностичні карти відповідних блоків із орієнтацією на методи спостереження і експертної оцінки за відповідними проявами показників. Наведено результати експериментальної роботи, що складалася з декількох етапів та передбачала відповідні напрями діяльності: мотивація студентів до виховного процесу, представлення методик діагностикокорекційної  роботи, визначення  рівнів духовно-моральних цінностей  студентів, самооцінка тощо; формування системи знань про духовноморальні  цінності,  основи  організації  виховного  процесу,  підбір  і  використання стимулюючого матеріалу, рефлексія; розкриття технологічних можливостей інформації, технологічна ефективність організації виховного процесу, використання навчально-методичних комплексів тощо, досвід виховної роботи. Під час експериментальної роботи використано різноманітні методи і форми навчання, спрямовані на оволодіння студентами теоретичних основ з проблеми формування духовно-моральних цінностей та їх практичне використання: розв’язування відповідних завдань і ситуацій духовноморального характеру, проведення багатофункціональних ділових ігор; заданого протоколювання й індивідуального аналізу результатів діяльності. Ключові слова: духовність, мораль, цінності, духовно-моральні цінності, ціннісно-герменевтичний підхід, художня література, духовноморальна особистість, студенти-гуманітарії.  \f8 ABSTRACT Gurov S.Yu. Formation of spiritual and moral values of students of humanitarian specialties by means of fiction. – Qualifying scientific work as a manuscript. Thesis for a Doctor’s Degree in Pedagogy, specialty 13.00.07 ‒ Theory and a technique of education. – Volodymyr Dahl East Ukrainian National University, Kyiv, 2021. The dissertation research presents a theoretical analysis of the problem of forming spiritual and moral values of the personality of future specialists, outlines the main approaches to formation in the spiritual and moral directionacmeological, axiological, andragogical, anthropological, gender, differentiated, dialogic (polysubject), individualized (personalistic), integrated, competence, complex,  cultural,  personal,  paradigm,  professionographic,  procedural,  environmental, systematic, civilizational and the like. Theoretical analysis of the problem proved that the spiritual and moral formation of future specialists should outline axiological, hermeneutical, differentiated, dialogic, competence, cultural, personal approaches. The main direction of the educational process should be the attraction of the students to the assimilation of universal spiritual values developed by humanity, the creation of social, pedagogical, psychological conditions for the realization of their own potential in the formation of spiritual consciousness, the manifestation of moral feelings, the implementation of spiritual and moral actions. During the analysis of scientific papers, we found that today the order for effective educational technologies and methods of spiritual and moral education of future specialists is formed. Among a number of factors that determine the need to develop this problem is an increase in the role of fiction both in the system of cultures of modern society, and in the moral face of each individual; the growth of society's requirements for the future specialist, his moral development and moral competence; the powerful influence of modern trends aimed at destroying moral values or replacing them with others.  \f9 Analysis of the development of spiritual and moral education has shown that at the present stage, the following trends are important: changing traditional ideas for the goals of spiritual and moral education and ethical values in the training of specialists; orientation of the national system of education of students to the development of essential forces of personality, which encourages many scientists to rethink the role, purpose, content of spiritual and moral education of students; understanding the process of education of the individual as the formation of its value attitude to itself and to the environment. The dissertation clarifies the essence and content of values inherent in a future specialist (responsibility and duty, honor and dignity, justice, authority, love), defines the age characteristics of future specialists that should be taken into account in the process of spiritual and moral formation. The value-hermeneutical approach to the education of spiritual and moral values of future specialists in the humanities is substantiated, the content and structure of the education of spiritual and moral values is determined. Thus, the concept of «formation» in the study we use as a basic term of pedagogical science and at the same time we believe that in a higher education institution, the education of future specialists in the humanities is a process of attracting to the values of the profession, creating favorable conditions for the realization of internal potential, which should be aimed at the implementation of a spiritual and moral act. Taking into account the value-hermeneutical approach to the formation of spiritual and moral values of students, the term «morality» (from Latin «moralis» – temper, character, state of mind, habit; from Latin «mores» – customs, fashion, behavior) is considered in conjunction with the term \"spirituality\" due to their interconnectedness. The dissertation research emphasizes that for the proper organization of the formation of spiritual and moral values of future specialists, it is necessary to: 1) holistically present to future specialists of humanitarian specialties the need to form and educate spiritual and moral values, in the process of professional  \f10 training, reveal their unique fundamental basis; provide positive motivation for self-improvement, implementation of moral actions; 2) reflect with the help of traditional and innovative methods in the process of professional training the influence of spiritual and moral values on the development of society and each individual and to form the attitude of future specialists in the humanities to the rejection of immoral phenomena in all forms and manifestations that lead to regressive processes-the confrontation of cultures, humiliation of spiritual values, antisocial actions, etc. 3) with the help of diagnostics and self-diagnostics to identify the position of each individual regarding the awareness of the significance of the process of education of spiritual and moral values; the ability to distinguish between the categories of «good» and «evil», which can be expressed in veiled forms; readiness for self-education and self-improvement during life; 4) make a choice of optimal forms and methods for building individual programs for the education of spiritual and moral values and provide methodological recommendations on the choice of moral actions for various types of classroom work. There are substantiated the general and specific principles of the formation of spiritual and moral values. The effective forms and methods are identified, the technology of organizing the educational process is designed, which should be formed in the form of a system of interrelated stages, the current state of the organization and management of the process of educating spiritual and moral values is presented, the main problems and prospects are highlighted. It is emphasized that organizational and methodological factors should be subjected to the greatest changes due to the introduction of special courses and improvement of the content of academic disciplines through didactic processing of educational material, the choice of forms and methods of educational activity, the shift of emphasis in the management of students’ education to cooperate with them, the use of not only methods of monitoring and evaluating the educational  \f11 process, the results of their moral activity on the part of teachers, but also methods of self-control and mutual control of students. The model of education of spiritual and moral values of students of humanitarian specialties is presented, which is organically interrelated with the entire system of education in a higher education institution, and provides for the unity of target, theoretical, methodological, technological and procedural components and provides for the result. The expediency of using stimulating materials, their structure, requirements for their development are considered, and the introduction of the special course «Fiction as a factor in the formation of a student's spiritual and moral personality» is noted. The special course is based on working with students of humanitarian specialties on awareness of the purpose and content of forming their own spiritual and moral values through fiction; building a system of spiritual and moral relations in the educational process, setting for reading «useful literature» that leads to selfimprovement, self-knowledge and self-education. It is presented literary and methodological support for the education of spiritual and moral values of students of humanitarian specialties in classroom and extracurricular forms of professional training is presented, based on the analysis of the programs. It is proved that the prerequisite for the education of spiritual and moral values of students of Humanities specialties is a deep awareness of the meanings of spiritual and moral concepts, spiritual and moral values, and the potential of fiction in the education of these values. The main direction of methodological support for improving the level of spiritual and moral values in higher educational institutions, where specialists in the humanities are trained, should be determined by the specific influence of teachers on all criteria of the level of spiritual and moral culture of the individual and it also should be provided with pedagogical observation of changes occurring in the spiritual and moral activities of students, etc.  \f  The proposed main methodological condition for the education of spiritual and moral values is developed taking into account ensuring pedagogically appropriate compliance with the theoretical and practical training of students of humanitarian specialties. The main conditions for conducting various methods and exercises are to build on the variation and gradual complication of types of pedagogical activity, creating favorable pedagogical conditions: 1) creation of axiologically directed educational space and involvement of students in activity on mastering of spiritual and moral values in it; 2) reliance on the value potential of fiction as a means of educating spiritual and moral values; 3) promoting comfortable communication, interaction, cooperation and cocreation in the educational process; 4) organization of the process of education on the basis of the developed interactive course «Fiction as a factor in the formation of spiritual and moral personality of the student», which provides for the creation of situations for constant dialogue as a form of interaction between participants; 5) systematic introduction into the educational process of the idea of humanism, achievements of national and world fiction, on the basis of which the worldview of the student’s personality is formed. Psychological and pedagogical diagnostic work is presented, which is necessary to identify the features of motivation of future specialists of humanitarian specialties for self-improvement and to draw up methodological recommendations for their work on self-improvement. It is proposed to evaluate indicators and criteria of the level of education of spiritual and moral values using various questions, tasks and exercises, test tasks, which can vary depending on the situation and profile of the subject. It is proposed to fill in the relevant data in the diagnostic maps of the corresponding blocks with a focus on methods of observation and expert assessment of the corresponding manifestations of indicators.  \f13 It is presented the results of experimental work, which consisted of several stages and provided for the corresponding areas of activity: motivation of students to the educational process, presentation of methods of diagnostic and correctional work, determination of levels of spiritual and moral values of students, selfassessment, etc.; formation of a system of knowledge about spiritual and moral values, the basis for organizing the educational process, selection and use of stimulating material, reflection; disclosure of technological capabilities of information, technological efficiency of the organization of the educational process, the use of educational and methodological complexes, etc., experience in educational work. During the experimental work, various methods and forms of training were used, aimed at mastering the theoretical foundations of the problem of education of spiritual and moral values and their practical use: solving appropriate tasks and situations of a spiritual and moral nature, conducting multifunctional business games; a given recording and individual analysis of performance results. Keywords: spirituality, morality, values, spiritual and moral values, valuehermeneutical approach, fiction, spiritual and moral personality, students of humanitarian specialties.  \f14 СПИСОК ОПУБЛІКОВАНИХ ПРАЦЬ ЗА ТЕМОЮ ДИСЕРТАЦІЇ Наукові праці, у яких опубліковані основні наукові результати дисертації Монографії 1. Гуров С. Ю.  Проблеми  вдосконалення  духовно-ціннісної  сфери  студентів гуманітарних спеціальностей: теоретичні та методичні аспекти: монографія. Мелітополь: ФОП Однорог Т. В., 2020. 366 с. Статті в наукових фахових виданнях (зокрема ті, які індексуються в наукометричних базах) 2. Гуров С. Ю. Зміст та структура педагогічної практики майбутнього вчителя англійської мови і літератури. Проблеми сучасної педагогічної освіти. Сер.: Педагогіка і психологія: зб. статей. Ялта: РВВ КГУ, 2009. Вип. 23. Ч. 1. С. 70–78. 3. Гуров С. Ю. Об’єктивні чинники формування художнього смаку майбутнього вчителя англійської мови та літератури в процесі професійної підготовки. Проблеми сучасної педагогічної освіти. Сер.: Педагогіка і психологія: зб. статей: Ялта: РВВ КГУ, 2010. Вип. 27. Ч. 1. С. 89–95. 4. Гуров C. Ю.  Аналіз  освітньо-кваліфікаційних  характеристик  у студентів гуманітарних спеціальностей з метою формування духовноморальних цінностей засобами літературного мистецтва. Наукові записки Бердянського державного педагогічного університету. Філологічні науки. 2016. Вип. 10. С. 116– 3. 5. Гуров С. Ю. особистості.  Аспекти  Гуманітарний  формування вісник  духовно-моральних  ДВНЗ  цінностей  «Переяслав-Хмельницький  державний педагогічний університет імені Г. Сковороди». Додаток 1 до Вип. 31. Т. 8(50): Тематичний вип. «Вища освіта України у контексті  \f15 інтеграції до європейського освітнього простору». Київ: Гнозис, 2014. С. 133–143. 6. Гуров С. Ю. Відображення системи цінностей в англійській художній літературі. Науковий вісник Мелітопольського державного педагогічного університету імені Богдана Хмельницького. Серія: Педагогіка. 2020. Вип. 1(24). С. 6–10. 7. Гуров С. Ю. Духовне вдосконалення студентської молоді засобами художньої літератури. Духовність особистості: методологія, теорія і практика: зб. наук. праць. Сєверодонецьк: Вид-во СНУ ім. В. Даля, 2019. Вип. 3(90). Ч. 2. С. 72–83. 8. Гуров С. Ю. Духовно-ціннісне вдосконалення студентів гуманітарних спеціальностей  засобами  художньої  літератури  Науковий  вісник  Мелітопольського державного педагогічного університету імені Богдана Хмельницького. Серія: Педагогіка. 2019. Вип. 2(23). С. 23–28. 9. Гуров С. Ю.  Еволюція  духовно-моральних  цінностей  в античній  літературі. Духовність особистості: методологія, теорія і практика: зб. наук. праць. Сєверодонецьк: Вид-во СНУ ім. В. Даля, 2019. Вип. 4(91). С. 72–83. 10. Гуров С. Ю. Закони, закономірності, форми та методи формування духовно-моральних цінностей у студентів гуманітарних спеціальностей засобами літературного мистецтва. Науковий вісник Мелітопольського державного педагогічного університету імені Богдана Хмельницького. Серія: Педагогіка. 2017. Вип. 1(18). С. 73–80. 11. Гуров С. Ю.  Методичні  основи  формування  духовно-моральних  цінностей особистості. Науковий вісник Мелітопольського державного педагогічного університету імені Богдана Хмельницького. Серія: Педагогіка. 2013. Вип. 1(11). С. 110–116.  . Гуров С. Ю. Моделювання процесу формування духовно-моральних цінностей у студентів гуманітарних спеціальностей. Молодь і ринок : наук.пед. журнал. Дрогобич, 2018. № 4 (160). С. 57–63.  \f16 13. Гуров С. Ю. Педагогічна діагностика рівнів вихованості духовноморальних цінностей студентів гуманітарних спеціальностей. Педагогіка формування творчої особистості у вищій і загальноосвітній школах: зб. наук. праць. Запоріжжя: Класичний приватний університет, 2019. № 67. Т. 1. С. 173–178. 14. Гуров С. Ю. Розвиток літературного мистецтва як форми вираження духовно-моральних цінностей у період до XVIII ст. Науковий вісник Мелітопольського державного педагогічного університету імені Богдана Хмельницького. Серія: Педагогіка. 2014. Вип. 1(13). С. 39–44. 15. Гуров С. Ю. Розвиток літературного мистецтва як форми вираження духовно-моральних цінностей (ХVIII – початок ХХІ ст.). Науковий вісник Мелітопольського державного педагогічного університету імені Богдана Хмельницького. Серія: Педагогіка. 2015. Вип. 2(15). С. 9–14. 16. Гуров С.Ю. Сутність духовно-моральних цінностей особистості у філософсько-педагогічному дискурсі Молодь і ринок : наук.-пед. журнал. Дрогобич, 2018. № 6 (161). С. 85–89. 17. Гуров С. Ю. Сутність і проблеми формування духовно-моральних цінностей. Збірник наукових праць Уманського державного педагогічного університету. 2019. № 4. С. 33–41. 18. Гуров С. Ю. Теоретичний аналіз різних типологій і класифікацій студентів для реалізації програм, спрямованих на формування духовноморальних цінностей майбутніх фахівців. Науковий вісник Мелітопольського державного педагогічного університету імені Богдана Хмельницького. Серія: Педагогіка. 2015. Вип. 1(14). С. 184–190. 19. Гуров С. Ю. зі студентами  Технологія  гуманітарних  проведення  спеціальностей  діагностичної для  підвищення  роботи рівня  вихованості духовно-моральних цінностей. Психолого-педагогічні проблеми сучасної школи. 2020. № 1(3). Ч. 1. С. 49–58. 20. Гуров С.Ю. Формування у студентів гуманітарних спеціальностей духовно-моральних цінностей засобами художньої літератури на заняттях  \f17 з культурології, етики та естетики, філософії й релігієзнавства. Науковий вісник Мелітопольського державного педагогічного університету імені Богдана Хмельницького. Серія: Педагогіка. 2017. Вип. 2(19). С. 100–104. 21. Гуров С. Ю. майбутнього  Характеристика  вчителя,  професійно  підготовленого  до  значущих  особистісно  якостей  орієнтованого  викладання англійської мови. Педагогіка формування творчої особистості у вищій і загальноосвітній школах: зб. наук. праць. Запоріжжя: Класичний приватний університет, 2010. Вип. 9(62). С. 288–292. Статті в зарубіжних наукових виданнях 22. Гуров С. Ю.  Исторический  аспект  формирования  личности  в обществе. Scientific letters of academic society of Michal Baludansky. 2013. Vol 1(4). P. 60–63. 23. Moskalyova L., Gurov S., Gurova T. The religious ethics impact as evaluative element of culture on the personality development of the future teacher: the person measurement approach. American Journal of Educational Research. 2014. Vol 2(1). URL: http:\/\/pubs.sciepub.com\/education\/2\/1\/4\/index.html. DOI: 10. 691\/ education-2-1-4. 24. Gurova T., Gurov S., Moskalyova L. Innovative Technologies in The Formation of Future English Teachers’ Intercultural Communicative Competence. Science  and  Education.  2017.  Вип. 6.  С. 44–50.  URL:  http:\/\/scienceandeducation.pdpu.edu.ua\/uk\/articles\/2017-6-doc\/2017-6-st7 Web of Science. 25. Гуров С. Ю. Conceptual theses of literature impact on education of students' spiritual and moral values. Освіта і суспільство – IV: міжнар. зб. наук. праць. Бердянський державний педагогічний університет; Вид-во Вищої технічної школи в Катовіце, Польща, 2019. C. 93–100. ISBN 978-83-952000-9-0.  \f18 26. Pomytkina L., Moskalyova L., Podkopaieva Y., Gurov S., Podplota S., Zlahodukh V. Empirical studies of socio-psychological conditions of formation of ideas about the spiritual ideal in primary school children. International Journal of Children’s Spirituality. 2019. Vol. 24. Issue 4. URL:https:\/\/www.tandfonline.com. DOI: abs\/10.1080\/1364436X.2019.1672626 Scopus, Web of Science. 27. Moskalyova L., Maksymov O., Gurov S., Gurova T., Yakovleva V. Pedagogy of argumentation: Teaching the skills of argumentation to older teens. Tarih Kultur Sanat arastirmalari Dergisi-Journal Of History Culture and Art Research.  2019.  Vol. 9.  Issue 1.  P. 156–171.  URL:  http:\/\/kutaksam.karabuk.edu.tr\/index.php\/ilk \/article\/view\/2402\/1721 Web of Science. 28. Maksymov O.,  Fedorova O.,  Yakovleva V.,  Gurov S.,  Fedorov M.,  Dubiaga S. Tutors’ psychological readiness for professional activity in Ukraine. Journal of organizational behavior research. 2020. Vol. 5. Issue 1, Р. 1–8. URL: http:\/\/apps.webofknowledge.com\/full_record.do?product=WOS&search_mode=Ge neralSearch&qid=1&SID=C6HurQhFBMi28NVVfZH&page=5&doc=43 Scopus, Web of Science.  Наукові праці, які засвідчують апробацію матеріалів дисертації 29. Гуров С. Ю. «Християнська етика в історії України і сучасний діалог світоглядно-духовних  ідентичностей»  (Мелітополь,  2014).  Сертифікат  виданий 28.11.2014 р. 30. Гурова Т. Ю.,  Гуров С. Ю.  Тарасенко Т. В.,  Журавльова Л. С.  Использование образовательной технологии Б. Блума для формирования ИКТ-компетентности будущих учителей. Коммуникация в образовании – сегодня и завтра : материалы ХIII междунар. конф. (г. Седльце, Польша, 2015 г.). С. 101–110.  \f19 31. Гуров С. Ю. Всеукраїнська науково-практична конференція студентів і молодих учених «Роль освіти у формуванні життєвих цінностей молоді» (Мелітополь, 2015). Сертифікат виданий 30.10.2015 р. 32. Гуров С. Ю.  ІІІ міжнародна  науково-практична  конференція  «Актуальні проблеми функціонування мови і літератури в сучасному поліетнічному  суспільстві»  (Мелітополь,  2016).  Сертифікат  виданий  30.10.2016 р. 33. Гуров С. Ю. Науково-практичний семінар «Побудова інклюзивного простору у системі освіти: теорія та практика» (Мелітополь, 2017). Сертифікат виданий 07.11.2017 р. 34. Гуров С. Ю. тьюторської  Науково-методичний  діяльності»  (Мелітополь,  семінар 2017).  «Практичні  аспекти  Сертифікат  виданий  18. .2017 р. 35. Гуров С. Ю. Формування духовно-моральних цінностей студентів гуманітарних спеціальностей як педагогічна проблема. Інновації в сучасній освіті: український та світовий контекст : матеріали міжнар. наук.-практ. інтернет-конф. (Умань, 2018). Сертифікат виданий 28.09.2018 р. 36. Гуров С. Ю. Міжнародна науково-практична конференція «Актуальні проблеми функціонування мови і літератури в сучасному полікультурному суспільстві» (Мелітополь, 2018). Сертифікат виданий 28.09.2018 р. 37. Гуров С. Ю. Міжнародна науково-практична конференція «Актуальні проблеми функціонування мови і літератури в сучасному полікультурному суспільстві» (Мелітополь, 2020). Сертифікат виданий 26.09.2020 р. Методичні рекомендації 38. Гуров С. Ю.  Лінгвостилістичний  аналіз  методичні рекомендації. Мелітополь, 2013. 50 с.  англомовного  тексту:  \f20 ЗМІСТ АННОТАЦІЯ........................................................................................................ 2 ВСТУП ................................................................................................................... 22 Розділ І.  ТЕОРЕТИКО-МЕТОДОЛОГІЧНІ  ФОРМУВАННЯ  ДУХОВНО-МОРАЛЬНИХ  ОСОБИСТОСТІ  МАЙБУТНІХ  ФАХІВЦІВ  ЗАСАДИ ЦІННОСТЕЙ  ГУМАНІТАРНИХ  СПЕЦІАЛЬНОСТЕЙ 1.1. Формування духовно-моральних цінностей особистості як наукова проблема....................................................................................................... …38 1.2. Художня література як засіб формування духовно-моральних цінностей студентів гуманітарних спеціальностей…………………….…55 1.3. Вікові характеристики у формуванні духовно-моральних цінностей студентів гуманітарних спеціальностей………………………………….101 Висновки до першого розділу ............................................................................  1 Розділ  ІІ.  ОРГАНІЗАЦІЇ  ТЕОРЕТИКО-МЕТОДИЧНЕ ПРОЦЕСУ  ГУМАНІТАРНИХ МОРАЛЬНИХ  ОБҐРУНТУВАННЯ  ФОРМУВАННЯ  СПЕЦІАЛЬНОСТЕЙ ЦІННОСТЕЙ  ЗАСОБАМИ  У  СТУДЕНТІВ ДУХОВНОХУДОЖНЬОЇ  ЛІТЕРАТУРИ 2.1. Концептуальні положення теорії організації формування у студентів гуманітарних  спеціальностей  духовно-моральних  цінностей  засобами  художньої літератури ........................................................................................  4 2.2. Мета, завдання, принципи та психолого-педагогічні умови формування у студентів  гуманітарних  спеціальностей  духовно-моральних  цінностей  засобами художньої літератури ....................................................................... 149 2.3. Проблеми та перспективи управління процесом формування у студентів гуманітарних  спеціальностей  духовно-моральних  цінностей  засобами  художньої літератури ........................................................................................ 177  \f21 Висновки до другого розділу ........................................................................... 227 Розділ  III.  НАУКОВО-МЕТОДИЧНЕ  ФОРМУВАННЯ  У  СПЕЦІАЛЬНОСТЕЙ  СТУДЕНТІВ  ЗАБЕЗПЕЧЕННЯ ГУМАНІТАРНИХ  ДУХОВНО-МОРАЛЬНИХ  ЦІННОСТЕЙ  ЗАСОБАМИ ХУДОЖНЬОЇ ЛІТЕРАТУРИ 3.1. Модель  формування  духовно-моральних  цінностей  у  студентів  гуманітарних спеціальностей засобами художньої літератури .................... 230 3.2. Змістові компоненти, критерії, показники і рівні сформованості духовноморальних цінностей особистості ................................................................... 242 3.3. Літературно-методичне забезпечення підвищення рівня сформованості духовно-моральних цінностей студентів гуманітарних спеціальностей .... 276 Висновки до ІІІ розділу .................................................................................... 311 Розділ IV. ЕКСПЕРИМЕНТАЛЬНА РОБОТА З ФОРМУВАННЯ ДУХОВНО-МОРАЛЬНИХ  ЦІННОСТЕЙ  СТУДЕНТІВ  ГУМАНІТАРНИХ СПЕЦІАЛЬНОСТЕЙ 4.1. Психолого-педагогічна діагностика сформованості духовно-моральних цінностей студентів гуманітарних спеціальностей в сучасних умовах роботи вищих навчальних закладів .............................................................................. 314 4.2. Технологія  проведення  діагностичної  роботи  зі  студентами  гуманітарних спеціальностей для підвищення рівня сформованності духовноморальних цінностей ........................................................................................ 344 4.3. Підсумки результатів експериментального дослідження формування духовно-моральних цінностей засобами художньої літератури .................. 356 Висновки до четвертого розділу ...................................................................... 377 ЗАГАЛЬНІ ВИСНОВКИ................................................................................ 381 СПИСОК ВИКОРИСТАННИХ ДЖЕРЕЛ ................................................. 386 ДОДАТКИ ......................................................................................................... 431  \f22 ВСТУП Актуальність дослідження. На сучасному етапі розвитку України, коли суспільство все більше стає споживацьким, технократичним, а матеріальні цінності в ньому переважають над духовними, суттєво зростає роль виховання в процесі становлення духовної особистості. Особливої значущості ця проблема набуває під час підготовки майбутніх фахівців із високоморальною свідомістю, творчим мисленням, національно-культурною ідентичністю,  громадянською  відповідальністю,  духовно-моральними  якостями та ідеалами, які виявляються в повсякденній діяльності та культурі вчинку. Духовність – важлива ознака громадянської зрілості, критерій художньо-естетичних і духовно-моральних цінностей студентської молоді. З огляду на це, виникає нагальна потреба виховання у сучасних студентів життєстверджувальної сили духовно-моральних цінностей та культури, що допомагає жити в гармонії з оточенням, з природою, з іншими культурами, бути гуманними, людиноцентрованими, творчими, альтруїстичними. На процес формування духовно-моральних цінностей студентської молоді значний вплив має мистецтво, яке за допомогою художнього образу прищеплює молоді любов до прекрасного, створює ідеал позитивної, духовної, гармонійної, висококультурної, патріотичної особистості. Твори мистецтва дивують красою ідеальних художніх образів, фантазійністю, пробуджують почуття піднесеного, прекрасного й засуджують потворне та огидне. З огляду на це, постає необхідність використання різних видів мистецтва як художньо-естетичного засобу формування духовно-моральних цінностей студентської молоді. Тож на сьогодні проблема формування духовно-моральних цінностей студентської молоді засобами художньої літератури, у якій всебічно висвітлені різні аспекти людського життя в площині ідеальних зразків і життєвих колізій, набуває особливої гостроти.  \f23 Майбутній фахівець має бути людиною з чіткою світоглядною позицією, глибокою культурою та духовністю, зі сформованими ідеалами. Аналіз наукової літератури, державних документів, рішень та постанов, нормативно-правових актів дав змогу визначити пріоритетні напрями діяльності у сфері вищої освіти і науки: європейський рівень якості та доступності освіти, духовна зорієнтованість освіти, демократизація освіти, соціальний захист викладачів і студентів, розвиток суспільства на основі нових знань. На сучасному етапі найважливішим завданням для науковопедагогічної та всієї освітянської громадськості є реалізація нової стратегії національної освіти України, в основі якої – духовне відродження нації. Щоб виробити основи нового світогляду, що ґрунтується на загальнолюдських цінностях,  необхідно  актуалізувати  процес  виховання  духовності  студентської молоді. Ці завдання знайшли своє підтвердження в Законах України «Про освіту», «Про вищу освіту», у Концепції виховання особистості  в умовах  розвитку  української  державності,  Концепції  національного виховання студентської молоді, у Стратегії національнопатріотичного виховання дітей та молоді, де основною метою розвитку системи  виховання  визнано  духовне  вдосконалювання  особистості,  формування її інтелектуального і культурного потенціалу як вищої цінності нації. Для розв’язання цієї важливої національної проблеми вагомого значення  набувають  психолого-педагогічні  дослідження,  провідним  завданням яких є оцінка багатого педагогічного досвіду формування духовності. Прагнення імплементації наукових підходів до вивчення різноманітних засобів виховання відповідає потребам сучасного суспільства, зорієнтованого на взаємоінтеграцію українських і світових творчих новацій. Це підтверджує актуальність дисертаційної роботи, що визначається потребою в глибокому психолого-педагогічному аналізі нових напрямів розвитку духовності особистості, у виявленні тенденцій та закономірностей її духовного поступу, у необхідності дослідження умов та обґрунтування  \f24 засобу художньої літератури, що не лише має пізнавальне значення, а й виступає цінністю її духовної сутності. Вивчення філософської, мистецтвознавчої, психолого-педагогічної літератури дає підстави твердити, що останнім часом предметом наукових досліджень стала професійна підготовка студентської молоді з високим рівнем  духовно-моральної  культури.  Однак,  попри  фундаментальне  опрацювання проблеми духовності, педагогічний аналіз досвіду формування духовно-моральних цінностей студентської молоді засобами художньої літератури представлений у доробках науковців лише фрагментарно, а загалом  порушена  проблема  спеціально  не розглядалась.  Водночас  теоретико-методологічне розроблення сутності духовності та особливості духовно-моральних цінностей знайшли відображення в наукових працях як зарубіжних, так і українських учених. Теоретико-методологічну  значущість  для  розв’язання  проблеми  розвитку духовності та духовно-моральних цінностей мають фундаментальні наукові  дослідження  І. Александрова,  А. Алексєєнко,  В. Андрущенка,  Т. Антоненко, О. Базалука, І. Беха, Л. Буєвої, В. Воронкової, Л. Губерського, А. Гусейнова, А. Запесоцького, М. Кагана, В. Кременя, С. Кримського, В. Кутирьова,  В. Онищенка,  С. Пролєєва,  Е. Помиткіна,  І. Силуянова,  В. Табачківського, Г. Шевченко та ін. Цінний внесок у теорію духовно-морального розвитку зроблений такими науковцями, як Л. Байкова, В. Безрукова, С. Гончаренко, І. Зязюн, Д. Колесов,  Г. Курмишев,  В. Оржеховська,  Н. Маслова,  І. Подласий,  Н. Миропольська,  Г. Пономарьова,  О. Олексюк,  М. Роганова,  Г. Сагач,  М. Чурсін та ін. Взаємозв’язок Л. Альохіної,  моральності  Л. Бутенко,  та  мистецтва  Л. Кунчевої,  розкрито  Д. Лихачова,  в працях  В. Разумного,  О. Шкуріна, Г. Шевченко та ін., формування духовно-моральних цінностей засобами художньої літератури представлено в роботах Ф. Узунколова, В. Кутирьова, Н. Богатирьової та ін.  \f25 Актуальність  теми  посилюється  потребою  подолання  таких  суперечностей: – між потребою держави у створенні нової духовної реальності на тлі розгортання українського і світового ментального простору та вимушеним конформізмом у культурному житті суспільства; – між поширенням тенденції щодо проведення міждисциплінарних досліджень, що декларують ставлення до людини як до найвищої цінності, та браком різноманітних методологій, завдяки яким з’являється можливість розроблення цілісної теорії та ефективної методики формування духовноморальних цінностей особистості засобами художньої літератури; – між необхідністю розкриття невичерпного духовно-морального потенціалу майбутніх фахівців, що є запорукою духовної безпеки, захищеності,  самозбереження  недостатньою  й подальшого  розробленістю  положень  розвитку  теорії  суспільства,  організації  та  процесу  формування духовно-моральних цінностей у закладах вищої освіти; – між соціальним замовленням суспільства на якісну професійну підготовку конкурентоспроможного фахівця вищої школи та відсутністю оновленої виховної системи закладів вищої освіти, здатної підготувати такого фахівця; – між  новими  у вихованні  вимогами  духовно-моральних  до  науково-педагогічних  цінностей  майбутнього  працівників фахівця  та  нагальною потребою в розробленні моделі формування духовно-моральних цінностей, яка стане соціально активною в наступні десятиліття й буде придатною для використання в процесі викладання гуманітарних дисциплін. Потреба  в подоланні  окреслених  суперечностей  і необхідність  розв’язання складних питань формування духовно-моральних цінностей студентів гуманітарних спеціальностей дають змогу сформулювати проблему нашого дослідження, яка полягає у вивченні теоретичних і методичних засад виховання у студентів гуманітарних спеціальностей духовно-моральних цінностей, а також розробити його понятійний апарат. Це сприятиме  \f26 оптимізації та якісному вдосконаленню процесу виховання студентів гуманітарних спеціальностей в Україні, спрямуванню його на забезпечення високого рівня вихованості духовно-моральних цінностей особистості, акцентуванню на феноменальному явищі резервуару духовності людства, що наповнюється шедеврами світової та української художньої літератури. З огляду на вищезазначене, було сформульовано тему дисертаційного дослідження – «Формування духовно-моральних цінностей студентів гуманітарних спеціальностей засобами художньої літератури». Зв’язок роботи з науковими програмами, планами, темами. Дисертаційну роботу виконано відповідно до тематичних планів науководослідної роботи кафедри педагогіки Східноукраїнського національного університету імені Володимира Даля в межах комплексної теми «Духовний розвиток особистості: методологія, теорія і практика (№ 0105U000264). Тему дисертації затверджено на засіданні вченої ради Східноукраїнського національного університету імені Володимира Даля (протокол № 9 від 27.05.2016 р.). Мета дослідження полягає в обґрунтуванні теоретичних і методичних засад формування духовно-моральних цінностей студентів гуманітарних спеціальностей і розробленні теоретико-методичної моделі формування духовно-моральних  цінностей  студентів  гуманітарних  спеціальностей  засобами художньої літератури. Об’єкт  дослідження –  процес  формування  духовно-моральних  цінностей студентів гуманітарних спеціальностей. Предмет дослідження – теоретичні й методичні засади формування духовно-моральних цінностей студентів гуманітарних спеціальностей у закладах вищої освіти засобами художньої літератури. Відповідно до мети, об’єкта і предмета було визначено такі завдання дослідження: 1. Визначити методологічні підходи до духовно-морального виховання студентської молоді засобами художньої літератури.  \f27 2. Розкрити виховний потенціал художньої літератури як засобу формування духовно-моральних цінностей. 3. Обґрунтувати  концептуальні  положення  процесу  формування  духовно-моральних цінностей у студентів гуманітарних спеціальностей засобами художньої літератури. 4. Розробити й теоретично обґрунтувати теоретико-методичну модель формування  духовно-моральних  цінностей  у  студентів  гуманітарних  спеціальностей, здійснити її експериментальну перевірку у виховному процесі закладів вищої освіти. 5. Визначити критерії та показники рівнів сформованості духовноморальних цінностей у студентів гуманітарних спеціальностей. 6. Обґрунтувати психолого-педагогічні умови процесу формування у студентів гуманітарних спеціальностей духовно-моральних цінностей засобами художньої літератури. 7. Розробити програму спецкурсу з формування духовно-моральних цінностей у студентів гуманітарних спеціальностей. Концептуальною ідеєю дисертаційної роботи є положення про те, що духовно-моральні цінності – це компоненти світогляду людини, що являє собою духовне інтегральне утворення. Духовність виявляється в прагненні людини будувати свої відносини з навколишнім світом на основі гармонійного  єднання  Добра,  Істини,  Краси.  Провідними  якостями  духовності є совість, віра, любов. Формування духовно-моральних цінностей особистості має спрямовуватися на вдосконалення свідомості особистості, збагачення  її  духовно-моральних  почуттів,  конструювання  системи  моральних учинків у єдину лінію поведінки, що базується на моральноестетичних ідеалах нашого народу. Теоретичний концепт дослідження передбачає: концепцію, модель, технологію, критерії та показники рівнів сформованості духовно-моральних цінностей, психолого-педагогічні умови їх виховання. Розроблення й упровадження психолого-педагогічної діагностики як  \f28 діяльності, спрямованої на визначення рівнів сформованості духовноморальних цінностей у студентів гуманітарних спеціальностей, дають змогу відмовитися від трафаретних рішень та виявити наявні недоліки, провести відповідну  корекцію,  спрогнозувавши  психолого-педагогічні  умови  і здійснивши їх апробацію. Здійснення методологічної рефлексії сутності процесу духовноморального виховання студентів гуманітарних спеціальностей засобами художньої літератури дало змогу визнати ціннісно-герменевтичний підхід одним з провідних у дослідженні й окреслити основу, на якій базується виховна діяльність науково-педагогічних працівників у закладах вищої освіти, застосувавши систему принципів виховання людини духовної і специфічний спосіб організації мисленнєвої діяльності символічними образами, що живляться значеннєво-смисловими інваріантами зі скарбниці духовної культури людства. Сутність ціннісно-герменевтичного підходу полягає в сприйнятті художньої літератури як світу цінностей, складної ієрархії ідеалів і смислів, які є вагомими для суспільства й людини. Цей підхід не може бути нав’язаний студентам ззовні, оскільки він зумовлений внутрішньо і постає як шлях відтворення у власних вчинках повноцінних ідей, систематизованих для досягнення мети, що відкидає ознаки вторинності та є продуктом духовно-моральної ціннісної самосвідомості особистості. Ціннісно-герменевтичний компонент змісту освіти імпліцитно наявний у всіх дисциплінах,  які  вивчають  студенти  гуманітарних  спеціальностей.  Герменевтика (від лат. hermeneutica) розглядається як спосіб діяльності, метод тлумачення, інтерпретації, розуміння основних смислів літературного твору й того, на що вони спрямовані. Герменевтика, що вивчається студентами гуманітарних спеціальностей як мистецтво тлумачення текстів, у нашому дослідженні постає механізмом, придатним для формування ціннісних орієнтацій, адже в процесі його вивчення відбувається метасинтез специфічної комунікативної діяльності, функційна взаємодія з текстом, ультрасучасний діалог – з літературним твором. Об’єктом герменевтичного  \f29 розуміння та інтерпретації є літературні твори з усією сукупністю експресивних засобів вираження, використаних у них. Авторська концепція дослідження ґрунтується на таких положеннях: 1. Духовно-моральне виховання формує стрижень особистості, впливає на всі сторони і форми взаємовідносин людини зі світом: на її етичний і естетичний  розвиток,  на моральні  судження, світоглядну систему,  громадянську позицію, патріотичну та сімейну орієнтацію, інтелектуальний потенціал, емоційний стан, загальний фізичний і психічний розвиток. 2. Методологічною основою формування духовно-моральних цінностей є норми і традиції художньої літератури, що спираються на національні звичаї  та приклади  з української  та  світової  історії  і культури  й розкриваються в різних аспектах: у контексті пошуку літературним героєм сенсу буття, розуміння ним мети життя й смислу стосунків з іншими людьми, його погляду на події. 3. Реалізація формування духовно-моральних цінностей студентів гуманітарних  спеціальностей  передбачає  розроблення  теоретико-  методичнної моделі та її впровадження у виховний процес закладу вищої освіти. Модель охоплює такі елементи: цільові (мета та завдання формування духовно-моральних цінностей у студентів гуманітарних спеціальностей), теоретико-методологічні засади формування духовно-моральних цінностей, концептуальні положення теорії організації процесу формування духовноморальних цінностей, загальні та конкретні принципи виховної роботи); технологічно-процесуальні компоненти (діагностика, аналіз і самоаналіз рівнів сформованості духовно-моральних цінностей, планування виховної роботи, вибір виховних програм, організація та корегування процесу формування духовно-моральних цінностей засобами художньої літератури, оцінка його результативності) та передбачає результат (позитивна мотивація до підвищення рівня духовно-моральних цінностей, сукупність спеціальних знань і умінь, що допоможуть обрати правильну позицію, готовність до здійснення духовно-моральних учинків).  \f30 4. Процес формування духовно-моральних цінностей здійснюється поетапно (установчий, теоретичний, практичний етапи). Це відображається в цільовому, змістовому, організаційному, оцінювально-результативному компонентах системи виховання й передбачає: підвищення мотивації студентів до здобуття знань про духовно-моральні цінності, активне застосування методик діагностико-корекційної роботи, визначення рівнів сформованості духовно-моральних цінностей у студентів, їхньої самооцінки; створення цілісної системи знань про теоретичні та методичні аспекти формування духовно-моральних цінностей, основи організації виховного процесу, розроблення й використання миследіяльнісного інструментарію для виконання завдань виховання з урахуванням його специфічних функцій. Загальну методологію дослідження становлять такі наукові підходи щодо формування духовно-моральних цінностей: аксіологічний (С. Анісімов, І. Бех,  О. Дробницький,  А. Кирьякова,  В. Краєвський  та  ін.);  культурологічний (І. Балхарова, Л. Виготський, О. Лурія, Є. Баллер, В. Біблер, І. Зязюн, М. Каган, І. Колмолгорова О. Леонтьєв, В. Тушев та ін.); герменевтичний (Х.-Г. Гадамер, Д. Назаров, Н. Чепелєва); синергетичний (О. Бочкарьов, В. Виненко, С. Клепко, В. Кушнір, В. Маткін, Л. Сурчалова, Ю. Талагаєв, М. Федорова та ін.); філософсько-культурологічні положення про єдність і цілісність процесів та явищ об’єктивної дійсності, їх діалектичний  взаємозв’язок,  взаємообумовленість,  взаємовплив;  концептуальні положення педагогічної науки про гуманні цінності духовноморального виховання; принципи гуманізації та демократизації; осмислення категорій «духовність», «мораль», «цінність», «особистість», сучасні наукові положення про формування духовно-моральних цінностей. Теоретичну основу дослідження становлять наукові праці в галузі освіти та виховання. Значний внесок у розроблення теоретичних основ цієї проблеми  зробили:  М. Бердяєв,  І. Ільїн,  Г. Сковорода,  В. Соловйов,  А. Швейцер та ін. (філософія проблеми духовності); І. Бех, М. Боришевський, Т. Власова, У. Віртц, Р. Еммонс, О. Зеліченко, Б. Лихачов, О. Леонтьєв,  \f31 Г. Ноумен, О. Олексюк, Е. Помиткін, С. Рубінштейн, М. Савчин, Д. Соммер, В. Сухомлинський, Т. Флоренська, Дж. Фішер, Дж. Хочхеймер, Г. Шевченко, Ж. Юзвак (психологія та педагогіка духовності особистості); І. Андрущенко, Л. Буєва,  В. Кремінь,  В. Кутирьов,  Л. Губерський,  С. Пролєєв,  Г. Сагач,  А. Комарова, П. Симонов,  С. Кримський, В. Табачківський,  А. Титаренко та ін. (духовно-моральні цінності); Т. Антоненко, Т. Білоус, Г. Блазій, Г. Васянович, Ю. Пелех, М. Роганова, В. Шадриков, Г. Шевченко та ін. (проблеми духовно-морального виховання); В. Баранівський, Л. Геник, І. Мищишин, М. Стельмахович, Л. Сохань, Ю. Щербяк та ін. (формування духовно-моральних В. Бойко,  цінностей  М. Булатов,  молоді);  А. Лапутін,  О. Баранов, С. Лещенко,  В. Бондаровська, Н. Миропольська,  В. Платонов та ін. (формування морально-естетичного ідеалу особистості); Є. Бажин,  К. Карпинський,  Г. Пономарьова,  М. Рокич,  Л. Карпушина, І. Сенін,  С. Мааді,  О. Фанталова,  Г. Олпорт,  Ш. Шварц  та ін.  (теоретико-методичні засади діагностики ціннісної сфери студентів). Для реалізації поставлених завдань використовувалися такі методи дослідження: аналітичні: історико-логічний – для з’ясування теоретичних основ проблеми дослідження; теоретичні: (класифікаційний аналіз, синтез, індукція та дедукція, порівняння, систематизація, зіставлення, аналогія) – для визначення  вихідних  теоретико-методологічних  позицій  дослідження;  емпіричні: вивчення виховного досвіду закладів вищої освіти в реальному процесі  підготовки  майбутніх  фахівців  (анкетування,  опитування,  тестування, бесіди, інтерв’ю, тренінг, спостереження за духовно-моральною діяльністю студентів, експертна оцінка) – для збирання емпіричного матеріалу; констатувальний та формувальний експерименти;  методи  математичної статистики – для кількісного (комплекс програмного забезпечення для прогностичної аналітики PASW Statistics) та якісного аналізу емпіричних даних. Наукова новизна і теоретичне значення одержаних результатів полягає в тому, що:  \f32 уперше обґрунтовано теоретичні й методичні засади виховання у студентів  гуманітарних  спеціальностей  духовно-моральних  цінностей;  розроблено концептуальні положення теорії організації процесу формування духовно-моральних  цінностей  студентів  гуманітарних  спеціальностей  засобами художньої літератури в закладах вищої освіти; обґрунтовано застосування ціннісно-герменевтичного підходу до формування духовноморальних цінностей студентів гуманітарних спеціальностей засобами художньої літератури; розроблено й теоретично обґрунтовано теоретикометодичну модель формування духовно-моральних цінностей; визначено систему критеріїв і відповідних показників рівнів сформованості духовноморальних цінностей у студентів гуманітарних спеціальностей засобами художньої літератури; визначено психолого-педагогічні умови формування духовно-моральних цінностей студентів; уточнено зміст ціннісно-герменевтичного підходу до формування духовно-моральних цінностей у студентів гуманітарних спеціальностей; удосконалено зміст виховного процесу в закладах вищої освіти в частині оновлення виховних програм, навчальних дисциплін для студентів гуманітарних спеціальностей, у межах яких відбувається формування духовно-моральних цінностей особистості; подальшого розвитку набули форми, методи і прийоми духовноморального виховання студентів гуманітарних спеціальностей засобами художньої літератури в процесі вивчення ними дисциплін, у позанавчальній діяльності тощо. Практичне значення результатів дослідження полягає в розробленні навчально-методичних матеріалів для підвищення рівня сформованості духовно-моральних  цінностей  майбутніх  фахівців  гуманітарних  спеціальностей, у розробленні програми спецкурсу «Художня література як чинник  становлення  духовно-моральної  особистості  студента»,  у впровадженні виховної компоненти в зміст лекційних та семінарських занять для студентів.  \f33 Основні положення, результати й висновки дисертаційної роботи можна використовувати в дослідженнях з теорії і методики виховання, у виховній діяльності установ професійної освіти для студентів гуманітарних спеціальностей з метою гуманізації освітньо-виховного простору, інтеграції виховання  в культуру,  вивчення  динамічних  змін  професійних  та особистісних якостей студентів. Напрацьовані автором матеріали можуть бути використані під час викладання таких дисциплін, як «Історія України», «Вступ до спеціальності», «Загальна психологія», «Загальна педагогіка», «Теорія та історія соціального виховання», «Філософія», «Культурологія», «Історія педагогіки», «Методика виховної роботи», «Літературознавство», «Зарубіжна література», «Сучасна українська література», «Етика та естетика», «Педагогіка», «Етнопедагогіка», «Вікова психологія», «Релігієзнавство», «Основи педагогічної майстерності», «Педагогічна психологія» та ін. Результати дослідження можуть слугувати основою  для  розроблення  інноваційних  виховних  методик  для  позааудиторної роботи зі студентами. Публікації. Основний зміст та результати дисертації висвітлено в 38 наукових та науково-методичних працях (33 – одноосібні), серед яких: 1 монографія, 1 методичні рекомендації, 20 статей у фахових збірниках наукових праць, 7 статей у зарубіжних наукових виданнях (4 з яких – у наукометричних базах Scopus та Web of Science), 9 – у журналах, матеріалах і тезах конференцій (зокрема 1 стаття в електронному науковоосвітньому журналі, 1 тези, розміщені на інтернет-сайті). Особистий внесок автора. Дисертаційна робота є самостійно виконаною науковою працею. У статті «The religious ethics impact as evaluative element of culture on the personality development of the future teacher: the person measurement approach» (у співавторстві з Л. Москальовою та Т. Гуровою) особистий внесок автора полягає у виокремленні методу обчислення рівня духовного розвитку (SQ) та наданні характеристики рівнів духовного розвитку особистості; у статті «Innovative Technologies in The  \f34 Formation of Future English Teachers’ Intercultural Communicative Competence» (у співавторстві презентація  з Л. Москальовою  інноваційних  та  Т. Гуровою)  технологій  автору  формування  належить  компетентності  майбутнього вчителя англійської мови; у статті «Pedagogy of argumentation: Teaching the skills of argumentation to older teens» (у співавторстві з Т. Гуровою, Л. Москальовою, О. Максимовим, В. Яковлевою) автором визначені  етичні  норми  аргументації  (моральні  судження),  що  застосовуються у виховній роботі, і розмежовані морально-етичні цінності в процесі навчання педагогіки аргументації. У статті «Использование образовательной компетентности  технологии будущих  Б. Блума  учителей»  для  формирования  (у співавторстві  з  ИКТ-  Т. Гуровою,  Т. Тарасенко, Л. Журавльовою) автору належить опис засадничого принципу комунікаційної  технології,  необхідної  для  набуття  ІКТ-компетенцій  майбутніми вчителями; у статті «Empirical studies of socio-psychological conditions of formation of ideas about the spiritual ideal in primary school children»  (у співавторстві  з Л. Помиткіною,  Л. Москальовою,  Ю. Подкопаєвою, С. Подпльотою, В. Злагодух) автором розкрите значення духовного ідеалу особистості; у статті «Tutors’ psychological readiness for professional  activity  in  Ukraine»  (у співавторстві  з О. Максимовим,  О. Федоровою, В. Яковлевою, М. Федоровим, С. Дубягою) автору належить опис методології та методів саморозвитку особистості. Результати дослідження впроваджено в навчально-виховний процес Полтавського  національного  педагогічного  університету  імені  В. Г. Короленка (акт про впровадження результатів дисертації № 1319\/0160\/54 від 07.05.2019 р.), Харківської гуманітарно-педагогічної академії (акт про впровадження результатів дисертації № 01-13\/ 282 від 24.04.2019 р.), Національного педагогічного університету імені М. П. Драгоманова (акт про впровадження  результатів  дисертації  № 07-10\/865  від  19.04.2019 р.),  Східноєвропейського національного університету імені Лесі Українки (акт про впровадження результатів дисертації № 03-28\/02\/1427 від 25.06.2019 р.),  \f35 Донецького національного технічного університету (акт про впровадження результатів дисертації № 9 від 19.04.2019 р.), а також Центру післядипломної освіти  та  доуніверситетської  підготовки  Дрогобицького  державного  педагогічного університету імені Івана Франка (акт про впровадження результатів дисертації № 63 від 23.04.2019 р.). Апробація результатів дослідження. Основні теоретичні положення та  практичні  конференціях,  результати  роботи  симпозіумах,  доповідалися  семінарах  й обговорювалися  різного  рівня,  а  на  саме:  на Всеукраїнській науково-практичній конференції «Християнська етика в історії України і сучасний діалог світоглядно-духовних ідентичностей» (Мелітополь, 2014), науково-практичній конференції «Preset winter school for developing teaching skills» (Київ, 2015), ХIII міжнародній конференції «Комунікація в освіті – сьогодні та завтра» (м. Седльце, Польща, 2015), Всеукраїнській науково-практичній конференції студентів і молодих учених «Роль освіти у формуванні життєвих цінностей молоді» (Мелітополь, 2015), ІІІ міжнародній науково-практичній конференції «Актуальні проблеми функціонування мови і літератури в сучасному поліетнічному суспільстві» (Мелітополь, 2016), науково-практичній конференції «Preset winter school for developing  teaching  skills»  (Львів,  2016),  міжвузівському  науково-  практичному семінарі «Мова і література в контексті сучасної освіти» (Мелітополь, 2016), Всеукраїнській науково-практичній сесії «Preset summer school for developing teaching skills» (Рахів, 2016), І міжнародній науковій конференції  Української  асоціації  дослідників  освіти  «Емпіричні  дослідження для реформування освіти в Україні» (Київ, 2017), науковопрактичному семінарі «Побудова інклюзивного простору у системі освіти: теорія та практика» (Мелітополь, 2017), Міжнародній науково-практичній конференції «Preset winter school for developing teaching skills» (Львів, 2017), науково-методичному семінарі «Практичні аспекти тьюторської діяльності» (Мелітополь, 2017), студентському науково-практичному форумі «Сучасна філологія: наукові проблеми та їх дослідження» (Мелітополь, 2017),  \f36 ІV міжнародній науково-практичній конференції «Актуальні проблеми функціонування мови і літератури в сучасному полікультурному суспільстві» (Мелітополь, 2018), науково-практичних діалогах «Методична майстерня вчителя Нової української школи» (Мелітополь, 2018), Міжнародній науково-практичній  інтернет-конференції  «Інновації  в сучасній  освіті:  український та світовий контекст» (Умань, 2018), Всеукраїнській науковопрактичній конференції з міжнародною участю «Особистісно-професійний розвиток учителя Нової української школи: світові освітні практики, український контекст» (Мелітополь, 2019), Міжнародній науково-практичній конференції «Preset winter school for developing teaching skills» (Львів, 2019), VІІІ міжнародній заочній науковій конференції «Концептуальні проблеми функціонування мови в полікультурному просторі» (Мелітополь, 2019), V міжнародній  науково-практичній  конференції  «Актуальні  проблеми  функціонування мови і літератури в сучасному полікультурному суспільстві» (Мелітополь, 2020). Про хід та результати дисертаційного дослідження доповідалося на засіданнях  кафедри  педагогіки  Східноукраїнського  національного  університету імені Володимира Даля (2016–2019). Кандидатська  дисертація  «Формування  художнього  смаку  майбутнього вчителя музики у процесі професійної підготовки» за спеціальністю  13.00.04  була  захищена  в 2008 році  у Вінницькому  державному педагогічному університеті імені Михайла Коцюбинського. Матеріали  кандидатської  дисертації  для  докторської  роботи  не  використовувалися. Структура та обсяг дисертації. Дисертаційна робота складається зі вступу, чотирьох розділів, висновків до розділів, загальних висновків, списку використаних дисертації –  джерел,  7 додатків  472 сторінки,  основна  на  76 сторінках. частина –  Загальний  367 сторінок.  обсяг Список  використаних джерел містить 474 найменувань (з них 38 – роботи автора;  \f37 37 джерел – іноземними мовами). У роботі 32 таблиці на 11 сторінках, 7 ілюстрацій на 6 сторінках.  \f38 РОЗДІЛ I ТЕОРЕТИКО-МЕТОДОЛОГІЧНІ ЗАСАДИ ФОРМУВАННЯ ДУХОВНО-МОРАЛЬНИХ ЦІННОСТЕЙ ОСОБИСТОСТІ МАЙБУТНІХ ФАХІВЦІВ ГУМАНІТАРНИХ СПЕЦІАЛЬНОСТЕЙ  1.1.  Формування духовно-моральних цінностей особистості як  наукова проблема Сьогодні актуальним є питання духовного відродження українського суспільства. Важливою стає переоцінка того, наскільки необхідною є визначена система цінностей для кожної людини, для нашого суспільства і держави. Вона є тією основою, яка допомагає налагоджувати міжособистісні взаємини, відносини усередині держави і зі світом у цілому. Проблема духовно-морального  виховання  особистості  –  це,  насамперед,  взаємовідносини між людьми, які визначаються ідеологією, духовністю і мораллю суспільства. Наукові  доробки  багатьох  вчених  підтверджують  актуальність  проблеми духовності. Вивчення проблеми формування духовно-моральних цінностей хвилювало людство як в історичному так і в культурноморальному аспекті. Не дарма духовно-моральні цінності виділяються вченими в особливу групу цінностей (Л. Столович [377], М. Каган [191], А. Здравомислов [170]). На сучасному етапі розвитку нашого суспільства особливе значення має виховання студентської молоді як високодуховної особистості громадянина України, що підштовхує до пошуку нових шляхів духовно-морального виховання особистості, які базуються на основі суспільно-історичного досвіду і культурно-педагогічних надбань людства. Важливого значення у вихованні людини має процес формування ціннісного ставлення до різних явищ дійсності, а також побудова ієрархії цінностей особистості, що визначають її ставлення до навколишнього світу і  \f39 поведінки в суспільстві. Формування духовно-моральних цінностей є тривалим і складним процесом, зумовленим впливом родини, окремими соціальними інститутами і групами, засобами масової інформації і суспільством. Важлива роль у цьому процесі належить системі освіти, насамперед вищій школі, основне покликання якої полягає у створенні умов, в яких усі позитивні цінності освіти стали би надбанням особистості, яка навчається, її внутрішніми орієнтирами діяльності. З огляду на це перед вищою школою постає завдання розробки цілісної організації освітнього простору, яка створювала би умови для наповнення внутрішнього світу студентської молоді ціннісним змістом. Слід зазначити, що духовні цінності можуть стати основою системи ціннісних орієнтацій молоді, а також центром системи духовно-морального виховання у вищій школі, коли вони виявлені, структуровані, дидактично опрацьовані й прийняті педагогом як власна система цінностей. Однією з найважливіших умов успішного виконання завдань освіти є вдосконалення системи виховання. Реформування системи виховання передбачає, перш за все, формування духовно-моральних цінностей студентської молоді у процесі професійної підготовки. Така підготовка не лише пов’язана з високопрофесійними компетенціями, а й залежить від внутрішніх якостей особистості. Теоретичний  аналіз  проблеми  формування  духовно-моральних  цінностей особистості здійснювався відповідно до вимог принципів науковості,  структурності,  поліфункціональності,  багатоаспектності.  Важливим для дослідження є: - виявлення сучасних тенденцій у формуванні духовно-моральних цінностей особистості майбутнього фахівця; - розгляд  проблеми  формування  духовно-моральних  цінностей  студентів гуманітарних спеціальностей засобами художньої літератури у зв’язку з рівнями реалізації виховного процесу у вищих навчальних закладах  \f40 (інтраперсональний,  міжособистісний,  соціально-груповий,  інституціональний, соцієнтарний); - визначення чинників, умов, специфічних особливостей у формуванні духовно-моральних  цінностей  студентів  гуманітарних  спеціальностей  засобами художньої літератури. Логіка нашого дослідження потребує при науковому вивченні проблеми  формування  духовно-моральних  цінностей  враховувати  історичний, культурний, соціальний, особистісно-суб’єктний досвід. Ми також маємо слідувати у своєму дослідженні відповідно природним ресурсам індивідуальності та педагогічної діяльності як чинникам виховання, що дозволяє  у  сукупності  використовувати  етичні  надбання  минулого,  виокремити закономірності у сучасному вихованні духовно-моральних цінностей та, що найважливіше, синтезувати все необхідне для підвищення рівня сформованості духовно-моральних цінностей майбутніх фахівців. Вважаємо за необхідне зазначити основні підходи, до вирішення проблем різних напрямів виховання, у тому числі і духовно-морального. Серед провідних підходів сьогодні, як у теоретичному, так і у практичному плані найвідомішими є такі: акмеологічний, аксіологічний (ціннісний), андрагогічний, антропологічний, гендерний, герменевтичний, гуманістичний, диференційований,  діалогічний  (полісуб’єктний),  діяльнісний,  індивідуалізований або персоналістичний, інтегрований, компетентнісний, комплексний, культурологічний, особистісний, парадігмальний, проблемноцільовий, професіографічний, процесуальний, середовищний, синергетичний, системний,  соціальний,  формувальний,  цивілізаційний,  еко-  психотерапевтичний підходи. Звідси, очевидним стає той факт, що на сьогодні у теорії та практиці духовно-морального виховання накопичений величезний досвід, який надає можливість поглиблення і систематизації наявних теоретичних положень зазначених підходів для розв’язання проблеми духовно-моральних цінностей майбутніх фахівців.  \f41 Ураховуючи всі підходи, необхідно зазначити, що досі тривають пошуки єдиного підходу до формування духовно-моральних цінностей. Учені знаходяться в пошуку такого підходу, який би не викликав заперечень і протистоянь як у науковій спільноті, так і у практичній роботі викладачів в нашій державі. Сьогодні маємо багато ефективних прикладів виховної роботи  у  напрямку  формування  духовно-моральних  цінностей,  запровадження концептуальних та нормативних документів, що окреслюють основний напрямок виховання – формування особистості, яка усвідомлює свою належність до українського народу, а також необхідність духовного зростання для збереження і продовження традицій та звичаїв. Процес виховання сьогодні визначається як цілеспрямований вплив на становлення сутнісних сил особистості, що відбувається у процесі її залучення до створеної людством системи цінностей. Поняття «виховання» використано  в  дослідженні  як  базовий  термін  педагогічної  науки  (В. Андрущенко [8], C. Анісімов [9], І. Бех [29], Є. Бондаревська [37], І. Зязюн [176], В. Кремень [233], С. Кримський [234], Б. Лихачов [255], О. Олексюк [304], Г. Пономарьова [325], Г. Шевченко [434] та ін.). Із урахуванням позицій (І. Бех [29], Б. Лихачов [255], О. Олексюк [304], Г. Шевченко [434]) у закладі вищої освіти під вихованням студентів гуманітарних спеціальностей слід розуміти процес залучення їх до цінностей, втілених у художньому задумі, створення сприятливих умов для реалізації внутрішнього потенціалу, що має бути спрямованим на здійснення духовно-морального вчинку. У Національній програмі є визначення поняття «виховання», яке описує виховання дітей та учнівської молоді в Україні. Так, там зазначається, що виховання є процесом залучення особистості до засвоєння вироблених людством цінностей, створення сприятливих умов для реалізації свого природного потенціалу та творчого ставлення до життя, спрямований на утвердження суспільно значущих норм і правил поведінки особистості» [301, с. 201].  \f42 Наразі у теорії виховання все швидше трансформуються новітні виховні  технології, набувають поширення  нові  виховні  впливи на  особистість, у той самий час ми бачимо, що рівновага як в інформаційному, так і в духовно-моральному плані особистості порушена. Це означає, що через нестримне зростання інформаційних потоків, виникає потреба в якісній інформації, саме це вимагає пошуку нових підходів до виховання, відмови від застарілих або, навпаки, декалькування іноземних, прагматичних підходів без  урахування  етнічних  особливостей  народу,  природних  нахилів  особистості, її глибинних бажань. Зазначимо, що критеріїв класифікації різних підходів до виховання майже стільки ж, скільки вказаних нами вище підходів. Вважаємо, що класифікувати їх можна і за значенням, і за результативністю, і за мірою функціональності, і з урахуванням традиційності, і з урахуванням їх тривалості і за тим, у яких умовах вони виявляються найефективнішими і за тим, якою є їх фактична мета, на який рівень вони орієнтовані тощо. З метою пошуку єдиного підходу до формування духовно-моральних цінностей схарактеризуємо особливості та можливості вищеозначених підходів для з’ясування сукупності ефективних засобів та прийомів виховання. Для формування духовно-моральних цінностей особистості можливим є вивчення специфічних умов, що допомагають дійти до вершин розвитку («акмеологія» – від грець. аkme – вершина), типових для дорослої людини. Так, на засадах акмеологічного підходу (В. Гладкова [77], А. Деркач і В. Зазикін [138] та ін.) для формування духовно-моральних цінностей можливим є вивчення специфічних умов, що допомагають дійти до вершин розвитку, типових для дорослої людини. Зазначимо, що для формування духовно-моральних цінностей цей підхід не може виступати як теоретично обґрунтований напрям через традиційно сформовану організацію навчальновиховного процесу.  \f43 Аксіологічний Н. Ганнусенко,  (ціннісний)  К. Чорна  [32],  підхід  (В. Баришніков  Г. Васянович  [57],  [22],  І. Бех,  М. Даніленко,  І. Мельніченко [136], В. Дряпіка [150], П. Ігнатенко [184], Г. Кардаш [205], А. Кір’якова [213], В. Приходько, М. Приходько [330], О. Сухомлинська [383], Н. Щуркова [444] та ін.), відповідно до якого виховання будується як процес засвоєння цінностей, який має наступні етапи: подання цінності в реальних умовах виховання; первинне оцінювання та забезпечення емоційно позитивного відгуку до цієї цінності; виявлення сенсу цінності та її змісту; прийняття усвідомленої цінності; закріплення ціннісного ставлення в діяльності та поведінці вихованців. Важливим є те, як забезпечується ціннісний результат, а саме: засвоєння цінностей йде через усвідомлення; ступінь засвоєння цінностей; результат  виховання  пов’язаний  з  ціннісним  ставленням,  яке  має  трикомпонентну структуру: когнітивний компонент (поняття і уявлення); емоційно-оцінний компонент (переживання, оцінка явища) і поведінковий компонент (досвід дії, вміння, навички, поведінкова готовність до певних дій). Таким чином, аксіологічний підхід до проблеми формування духовноморальних цінностей має широкий діапазон для використання і може бути представлений у контексті розробки навчальних дисциплін, спецкурсів, мети і завдань різноманітних виховних програм. З позицій аксіологічного підходу сутність діяльності педагога вищої школи має постати в іншому вигляді, що, у свою чергу, має відбитися у реформах освітнього процесу вищої школи. Однак умови для такої реформи не створені в сучасних педагогічних університетах через декілька причин: соціально-економічні негаразди, суперечки  щодо  впровадження  інноваційних  виховних  технологій,  орієнтацію багатьох навчальних дисциплін не на майбутнє, а на минуле. Можна додати ще й те, що процес запровадження інноваційних реформ у сферу виховання завжди пов’язаний із загрозою ризику, оскільки будь-яке інноваційне рішення може бути помилковим, а педагогам, які вже давно  \f44 працюють у системі вищої освіти, набагато спокійніше спиратися на усталені традиції та авторитетні рекомендації, перевірені часом. Цей підхід є методологічним підґрунтям для створення теоретико-методичної моделі формування  духовно-моральних  цінностей  в  майбутніх  фахівців  гуманітарних спеціальностей. Андрагогічний підхід (М. Громкова [97], С. Змєєв [175], О. Кукуєв [238], Д. Трушніков [392], П. Червоний [426] та ін.) розкриває специфічні закономірності виховання дорослих суб’єктів навчально-виховної діяльності, а також особливості управління цією діяльністю з боку педагога. Для формування духовно-моральних цінностей студентів необхідно виділити цінність  андрагогічного  спрямованість  на  підходу,  поступове  але  його  досягнення  специфічність,  конкретних  загальна  академічних  і  професійних цілей освіти, не дозволяє вибрати його як єдиний підхід до формування духовно-моральних цінностей молоді. Процес досягнення високого рівня сформованості духовно-моральних цінностей, на відміну від досягнення освітніх цілей, на наш погляд, не завжди може бути поступовим, а, навпаки, характеризуватися частими відступами від вихідної прогресивної лінії й протікати як у міжособистісних, так і внутрішньо особистісних конфліктах. Антропологічний підхід (Ш. Амонашвілі [6], І. Аносов [10], С. Гессен [76], Л. Леві-Брюль [245], В. Максакова [274], Т. Троїцька [391] та ін.); полягає в розумінні людини як творчої істоти, де виховання розглядається як природний процес, що відповідає природі особистості, і є розвитком її індивідуальних здібностей, властивих від народження. Цей підхід декларує єдність розумової, емоційної, вольової, моральної і фізичної сторін розвитку особистості, і його система виховання будується з урахуванням таких умов: - гуманістичні цілі як моральні добродії (людяність, довіра, вдячність, терпимість); особлива увага щодо здоров’я особистості, виховання здорового образу життя;  \f45 - постійна діагностика та вивчення природних задатків особистості з урахуванням специфіки провідних видів діяльності в кожному віковому періоді; забезпечення самовизначення особистості у виховній діяльності. Аналіз сутності антропологічного підходу дозволяє нам зробити висновок про те, що формування духовно-моральних цінностей майбутніх фахівців, за умови використання цього підходу, може бути представлено не тільки в освітньому середовищі, а й в інших товариствах і субкультурах, що, відповідно, значно розширило б і розмило межі виховного впливу викладачів вищих навчальних закладів. Таким чином, зазначене вище не дозволяє нам обрати антропологічний підхід як єдину основу для вирішення проблеми формування духовно-моральних цінностей студентів. Гендерний  підхід  (Т. Говорун,  В. Кравець,  О. Кікінеджі  [80],  Д. Елштайн [157], І. Мунтян [293], Л. Новікова [303], О. Плахотник [322] та ін.) розглядається як напрямок дослідження, згідно з яким всі аспекти соціальності і культури можуть мати гендерний вимір. Базисом гендерного підходу виступає уявлення про те, що майже всі традиційні «природні» відмінності між статями мають під собою не тільки біологічні, а й соціальні підстави. Також вважаємо необхідним виявити суперечності у планах виховної роботи, що розраховані на прийняття особистістю певної позиції – чоловічої статі – до домінуючої, жіночої – до підпорядкованої. Так, у дослідженнях, присвячених взаєминам статей ([410, с. 147–148]) вказується, що такі особистісні риси, як здатність до проявів любові, схильність до впливів, почуття відповідальності, вважаються позитивними, але, у той час виступають захисною реакцією на підпорядкування, що перешкоджає жіночій самореалізації. При цьому відмінні риси, що пов’язані з уявленням про духовно-моральну поведінку чоловіка або жінки, на наш погляд, традиційно виділялися у вітчизняній культурі як такі, що сприяють розвитку суспільства. Герменевтичний  підхід  (А. Закірова  [162],  В. Зінченко  [286]  Н. Чепелєва [425]) – є зверненням до психічного досвіду особистості, який  \f46 проявляється як переживання. Важливими рисами виховного процесу стають пісні, вірші, есе, автобіографічні записки, щоденники, листи, художні фільми, художня література, твори живопису та ін. Ці творчі продукти повинні бути прийняті як особистісна цінність, таким чином визнаючи особливу важливість системи цінностей особистості. Герменевтичний підхід є розглядом ціннісно-смислової сфери особистості майбутніх студентів гуманітарних спеціальностей у контексті ціннісних категорій. Він більш націлений на ідентифікацію цінностей, тому важливий для формування ціннісного ставлення до особистості. Гуманістичний  підхід  (Ш. Амонашвілі,  В. Загвязинський  [6],  В. Сухомлинський [382]) закріплений Законом України «Про освіту» (гл.1, ст.2), базується на повазі до особистості, яка має право на свободу, щастя, гідне життя. Для реалізації гуманістичного підходу необхідно, щоб ціннісні орієнтації більше наближалися до людських якостей, властивостей, почуттів. Пріоритетним має стати виховання духовно і фізично здорової особистості: громадянина, патріота, працьовитої людини, творчої особистості. У процесі реалізації гуманістичного підходу основними завданнями є наступні: формування наукового світогляду у вихованців, основами якого є освіченість,  громадянськість,  моральність,  професіоналізм;  розвиток  позитивної мотивації до трудової діяльності; всебічно гармонійний розвиток кожної людини; засвоєння загальнолюдських цінностей, історичного досвіду і  патріотичних  традицій  Вітчизни;  становлення  культури  безпеки  життєдіяльності особистості; активізація ролі виховання як механізму прискорення і коректування процесу соціалізації особистості [167]. З позицій гуманістичного підходу, (Ш. Амонашвілі, В. Загвязинский) виділяють наступні ціннісні пріоритети: гуманістична спрямованість, пріоритет екологічного над техногенним, творчого над репродуктивним, ціннісного над інформаційним [6, с. 11]. Диференційований підхід (Х. Боташєва [44], І. Кон [221] та ін.) передбачає використання різних методів і прийомів виховання, різних вправ  \f47 в залежності від особливості особистостей. Диференційований підхід у вихованні враховує як гендерні, вікові особливості студентів, так і їхні індивідуально-психологічні якості, припускає можливість для розробки діагностики рівнів сформованості духовно-моральних цінностей, а у методичному плані – організовувати формування духовно-моральних цінностей майбутніх фахівців у групах для виконання специфічних завдань. Діалогічний (полісуб’єктний) підхід (М. Бахтін [23], В. Біблер [33], А. Брушлінський [47], А. Єрмоленко [155], І. Глазкова [78], Т. Іванова [178], М. Савіна [347], В. Паркер [467] та ін.) передбачає перетворення позиції педагога і вихованця в особистісно-рівноправні позиції. Таке перетворення пов’язане із зміною ролей і функцій учасників педагогічного процесу. Педагог не виховує, а актуалізує, створює умови, стимулює прагнення учнів до саморозвитку, вивчає їх активність. При цьому особливе значення мають професійно-ціннісні орієнтації педагога, пов’язані з його ставленням до учнів. Ідея  діалогічного  підходу  для  формування  духовно-моральних  цінностей пояснює розуміння суперечності позицій у діалозі, зіткнення й розуміння у різних культурах критеріїв істинності категорій добра й зла, а також пояснює процес винаходу різних форм духовної діяльності, серед яких – створення етичних кодексів та настанов для сучасної студентської молоді. Тому, вважаємо необхідним використовувати цей підхід у створенні творчих завдань, семінарів та ін. Діяльнісний підхід (М. Головко [82], О. Горчакова [91], О. Дубасенюк [151], С. Єлканов [156], В. Краєвський [230], Н. Мойсеюк [289], І. Харламов [416], Н. Яремчук [452] та ін.) в якому діяльність особистості зорієнтована на активізацію мотиваційно-потребуючої, процесуальної та змістовної сторін. При цьому цілі виконують орієнтовну і регулювальну функції. Вони повинні бути реальними, враховувати вікові та індивідуальні особливості, бути особистісно та суспільно значущими, а також відповідати гуманістичним  \f48 уявленням про людину. Тому під метою виховання розуміється якийсь ідеал, який повинен бути досягнутий в результаті виховання. Індивідуалізований  або  персоналістичний  підхід  (О. Гребенюк,  Т. Гребенюк [92], О. Леванова, Г. Романенчук [244], О. Пєхота [320] та ін.) опирається не на свободу й автономність особистості, а на усвідомлення розвитку потреб, бажань, нахилів, імпульсів тощо. Людина сама має опанувати своє виховання, використовуючи власні внутрішні потенції. Інтегрований підхід (С. Броуді та Дж. Уіліс [457], Н. Чернуха [428] та ін.) виходить з загальної об’єктивної цілісності світу і припускає цілісність особистості, цілісність всього процесу навчання. У поняття інтегрованого підходу входить взаємозв'язок процесів викладання та навчання, єдність змістовної  і  процесуальної  сторін  навчання,  міжпредметні  зв'язки,  взаємозв’язок навчальної та позанавчальної діяльності. Однак інтегративний підхід є більше зорієнтованим на соцієнтарний, інституціональний та соціально-груповий рівні у формуванні духовно-моральних цінностей, тоді як  для  нашого  дослідження  важливими  є  і  інтраперсональний,  і  міжособистісний рівні реалізації виховного процесу. Компетентнісний підхід (М. Васильєва [55], В. Гриньова [95], І. Зимня [174], В. Лозова і Г. Троцко [260], Л. Хоружа [420] та ін.), це інтегральний підхід, який об’єднує цілий ряд інших підходів, в якому розуміється не тільки наявність предметних знань, а й надпредметних соціальних, комунікативних, когнітивних, інформаційних компетентностей, тобто вмінь користуватися предметними та метапредметними знаннями. До принципів компетентнісного підходу належать: орієнтація на досягнення результату, який  проявляється  в  поведінці  і  мисленні;  комплексність,  міждисциплінарність – облік як освітніх, так і зовнішніх факторів середовища і впливів; багатофункціональність: компетентність не може бути охарактеризована одним умінням і властивістю, це здатність до вирішення сукупності завдань.  \f49 Використання компетентнісного підходу для формування духовноморальних цінностей дозволяє зосередитися на формуванні духовноморальної компетентності, що припускає не збільшення обсягу знань про мораль, етику, культуру та цінності особистості, а набуття досвіду духовноморальної діяльності через моральні вчинки. Також важливою особливістю компетентнісного підходу для формування духовно-моральних цінностей є підготовка фахівця, що оперує не набором фактів про духовність, моральні норми, а й технологіями виховання й самовиховання. Комплексний підхід (О. Кошелівська [229], Т. Старченко [374] та ін.) у сфері виховання зорієнтований на знаходження й використання комплексу умов для поліпшення якостей особистості в цілому, та вдосконалення процесу виховання. Для формування духовно-моральних цінностей студентів пропонується використання таких форм, як лекція, бесіда, диспут, в яких є прояви заперечення нових інтерпретацій і технологій у виховній роботі, недопущення різних точок зору й підпорядкованість духовно-моральних цінностей політичним поглядам і переконанням окремих груп правлячого класу. Культурологічний підхід (М. Алдошина [3], Ш. Амонашвілі [6], В. Біблер [34], Є. Бондаревська, [37], Р. Гришкова [96], Т. Іванова [178], Л. Ілларіонова [180], М. Лещенко [250], Л. Хомич [418], О. Шевченко [436], Н. Щуркова [444] та ін.) базується на ідеї інтеграції особистості в світову культуру і полягає в опорі на таку закономірність: виховання особистості стане більш ефективним, за умови інтеграції в контекст культури. Він визначає культурологічні проблеми освіти, особливо ті, що засновані на людиноцентричній картині світу, ідеях розвитку виховання ціннісного ідеалу в контексті культури, гуманізації освіти та виховання. Культурологічний підхід до формування духовно-моральних цінностей спрямовує педагога на те, що саме художня література має стати основою виховного процесу з орієнтацією на духовно-моральні цінності.  \f50 Особистісний підхід (Є. Бондаревська [38], В. Вербець [61], А. Донцов [147], К. Дубич [152], Л. Зязюн [176], С. Максименко [275], Н. Миропольська [287], А. Мудрик [292] та ін.) розглядає механізми формування особистості (системи відносин і якостей особистості), де особистість при цьому відіграє пріоритетну системоутворювальну роль. В особистісному підході виховання спирається на індивідуальні особливості особистості, де головне – її особистий духовний досвід, і оскільки особистісний підхід спирається на індивідуальні запити і особливості особистості, він передбачає її ретельне вивчення. Одним з найважливіших вимог особистісного підходу є суб’єктсуб’єктні відносини викладача і студента, тому є активним пошуком найрезультативніших виховних впливів на кожного студента. Парадігмальний підхід (О. Вознюк [67], Н. Іордаки [190], А. Орлов [309], М. Романенко [342] та ін.) зразок, що характеризує процес виховання у рамках певної моделі освітньої системи. В Законі України «Про освіту» [167], та «Про вищу освіту» [166] зазначено, що педагогічні працівники повинні «настановою та особистим прикладом стверджувати повагу до принципів загальнолюдської моралі: правди, стриманості, працелюбності, помірності, інших чеснот; виховувати у дітей і молоді повагу до батьків, жінки, старших за віком, до народних традицій та звичаїв, національних, історичних, культурних цінностей України, її державного і соціального устрою, дбайливе ставлення до історично-культурного та природного середовища України. Тому, вважаємо даний підхід може бути використаний у нашому досліджені для формування загальних цілей студентів та розвитку їхнього духовного потенціалу. Проблемно-цільовий підхід (М. Васильєва [55], Л. Рувінський [344]) як спосіб структуризації, застосовується при розв’язуванні задач комплексного планування та управління процесом виховання в групі. Він передбачає об’єднання цілей, термінів, управління у складі цілісного процесу, спрямованого на сприйняття духовно-моральних цінностей;  \f51 Професіографічний  підхід  (Т. Гомонова  [83],  П. Мусінов  [294],  О. Спірін [372], Л. Хісматулліна, М. Зоткін [417] та ін.) є проектуванням цілей духовно-морального виховання, змісту виховного процесу, виховних технологій на основі еталонної моделі фахівця, в яку входять духовноморальні цінності, необхідні для виконання певного виду діяльності. Процесуальний  підхід  (Д. Мацумото  [284],  І. Надольний  [296],  Н. Рибакова [346], О. Титаренко, Б. Ніколаічев [387] та ін.) розглядає виховання як процес, що представляє собою сукупність взаємопов’язаних безперервних видів діяльності (дій та операцій). Види діяльності учасників процесу називають функціями (наприклад, управлінськими). Кожна функція також представляє процес, оскільки вона в свою чергу складається з серії взаємопов’язаних  дій.  Виділяють  декілька  функцій  освіти:  цільова,  дескриптивна, прескриптивна, реалізаційна і ретроспективна. Цільова функція  передбачає  усвідомлення  проблеми  і  формування  мети.  Дескриптивна функція полягає в тому, що відбувається збір та обробка інформації, необхідної для досягнення мети. Прескриптивна функція реалізує переклад описує інформації в командну. Реалізаційна функція полягає в організації виконання команди. Ретроспективна функція здійснює аналіз, узагальнення,  оцінювання  використання  цього  досягнутих  результатів.  На  нашу  думку,  підходу в нашому дослідженні за допомогою  перелічених функцій надасть можливість проаналізувати та визначити рівні сформованості духовно-моральних цінностей студентів та виявити недоліки в процесі формування духовно-моральних цінностей. Середовищний підхід (К. Дубич [152], Н. Чернуха [428] та ін.) орієнтує виховний процес на створення системи необхідних умов, серед яких постає культивування духовно-моральних цінностей у певному просторі – статичній одиниці (творча студія, гуртки, клуби та ін.), або у динамічній одиниці – стихії. Однак, у процесі виховання студентів необхідно враховувати, що на визначення духовно-моральних цінностей особистості середовищні умови діють із меншою силою, ніж сукупність генетичних, природних чинників і  \f52 особиста  мотивація  до  прагнення  сформованості  духовно-моральних  цінностей. Синергетичний Н. Таланчук  підхід  (В. Ігнатова  відстоює  [385])  [179],  значимість  С. Кульневич  внутрішнього  [237],  потенціалу  особистості, який зобов’язаний враховуватися в процесі педагогічного впливу. Синергетичний підхід уможливлює розвиток креативності й гнучкості мислення студентської молоді, адже саме креативність і гнучкість мислення  забезпечує  адаптацію  до  постійної  змінності,  якою  характеризується сучасний етап суспільного розвитку. Головні тенденції зміни особистості виникають у сфері цінностей і моральних установок. Синергетичний підхід до виховання означає опору на внутрішній потенціал особистості, зосередженість виховних зусиль на формуванні духовноморальних цінностей. Системний підхід (В. Вербець [61], О. Гордійчук [89], І. Грязнов [98], Т. Єрмолаєва [159], В. Кагерманьян [192], С. Карпенчук [209], Л. Хомич [418], Ю. Щербяк [437] та ін.) є методологічною орієнтацією в діяльності, при  якій  об’єкт  пізнається  як  система  –  впорядкована  множина  взаємопов’язаних компонентів, взаємодія яких сприяє розвитку особистості в освітньому закладі. Системний підхід в організації процесу формування духовно-моральних цінностей особистості повинен мати ознаки не сталої системи, а системи динамічної, процесуальної, що базується на цінностях професії та використовує методи і технології виховної роботи, максимально наближеної до індивідуальних потреб особистості. Соціальний підхід (М. Галагузова [74], А. Мудрик [292], М. Шакурова [432], В. Р. Ясницька [452]) сприяє вихованню підростаючого покоління в соціумі, спрямовує процес формування соціально значущих якостей особистості, необхідних для успішної соціалізації, педагогічно організовує придбання вихованцями особистісного життєвого досвіду, досвіду поведінки в діяльності, освоєння особистістю норм, цінностей, установок, прийнятих у суспільстві та підтримує творчу самореалізацію особистості в соціумі.  \f53 Формувальний підхід (І. Глікман [79], А. Кочетов [228], Б. Лихачов [256]) відрізняє переконання, що виховання залежить від виховного впливу словом, прикладом та справою. Технологічно виховання на основі формувального підходу організується в поведінкові моделі: «показати зразок» – «пояснити» – «вправляти». Ця технологія дозволяє управляти поведінкою особистості через заохочення соціально позитивних дій і обмеження  соціально  неприйнятних.  В  основі  моделі  лежить  біхевіористичний погляд на особистість. Цивілізаційний підхід (Л. Ваховський [58], М. Данілевський [135], І. Кононова [226], С. Крапивенський, Н. Омельченко, А. Стризоє [424] та ін., М. Мамардашвілі [276], Н. Скотна [364] та ін.), за яким виховний процес розглядається в рамках сукупності всіх форм життєдіяльності людини тієї чи іншої нації – матеріальної, політичної, культурної тощо. Зазначимо, що цивілізаційний підхід дозволяє у дослідженні проблеми формування духовно-моральних  цінностей  перебороти  однолінійність,  властиву  формаційному уявленню про процес та розвиток духовно-моральних цінностей в історичному контексті. Виходячи з цього вивчення процесу формування духовно-моральних цінностей особистості у теоретичному плані стає багаторівневим, що дозволяє порівнювати духовно-моральні традиції та звичаї у різних країнах, цивілізаціях, знаходити спільне та відмінне у духовно-моральних цінностях різних регіонів та представників різних етносів тощо. Отже, цивілізаційний підхід для вирішення проблеми формування духовно-моральних цінностей студентів принципово не може претендувати на основу побудови нашої концепції, оскільки не охоплює все поле духовноморальної культури, як ціннісного явища. Еко-психотерапевтичний підхід (C. Капустін [196], В. Кащенко [210], Б. Лихачов [256]) в якому виховання розглядається як надання допомоги людині, і націлювання її на духовне оздоровлення за допомогою свідомих методів а також і несвідомих, сугестивних методів. Так, Б. Лихачов визначав  \f54 величезну роль несвідомого в житті людини і вказував, що «виховання і навчання ... повинні бути процесом не тільки зовнішнього впливу, але й поступового самовладання, руху від себе зовнішнього до пізнання себе внутрішнього, до узгодження усвідомлених вчинків і несвідомих мотивів» [256, 23 c.]. До цього підходу належить і арт-терапія, яка впливає на особистість і допомагає їй зняти психічне і фізичне напруження, позбутися страхів і сором’язливості. Таким чином, концепція духовно-морального розвитку і виховання особистості може бути переосмислена в контексті кожного з педагогічних підходів. Аналіз основних можливостей для формування духовно-моральних цінностей особистості в означених підходах сприяв виникненню мислесхем для виявлення основних суперечностей. Це дало змогу зауважити, що кожний з цих підходів охоплює істотну частину дійсності, але загалом не відображає потребу всього суспільства в підготовці фахівця, здатного насамперед здійснювати духовно-моральні вчинки, змінювати якість життя завдяки  створенню  та  апробації  новітніх  методик  і  технологій  самовиховання. Аналіз провідних підходів до розв’язання проблеми формування духовно-моральних  цінностей  молоді,  а  саме  аксіологічний,  культурологічний, герменевтичний та синергетичний показав, що вони сприяють задоволенню вимог суспільства до підготовки особистості майбутнього фахівця гуманітарних спеціальностей, здатного здійснювати духовно-моральні вчинки, виокремлювати смисли та приховані резерви, що криються в художній літературі, а основним напрямком цього процесу має стати залучення студентів до засвоєння вироблених людством універсальних духовних цінностей, створення психолого-педагогічних умов для реалізації власного потенціалу в розвитку духовної свідомості, символізації у виявленні моральних почуттів, здійсненні духовно-моральних вчинків. Новий підхід, що матиме суттєвий вплив на формування у студентів духовно-моральних цінностей, має спиратися на їх сукупність як на основу  \f55 процесу становлення особистості. Необхідно, на наш погляд, брати до уваги те дієве, те ефективне, завдяки чому при розробці теоретико-методичної моделі, технології й методики формування духовно-моральних цінностей майбутніх  фахівців  засобами  художньої  літератури  можна  досягти  ефективних результатів. Отже, теоретичний аналіз проблеми формування духовно-моральних цінностей особистості призводить до висновку, що їх розвиток не набуває ознак стабільності, оскільки на них впливають різноманітні чинники – соціальні, економічні, політичні тощо. Це зумовлює необхідність побудови нового підходу до проблеми формування духовно-моральних цінностей особистості, що дозволить нам спостерігати позитивні зміни зуміє надати ефективний результат.  1.2. Художня література як засіб формування духовно-моральних цінностей студентів гуманітарних спеціальностей  Прийняття духовно-моральних цінностей – це засвоєння знань про моральність, проведених через особистий досвід. Для того, щоб знання стали невід’ємною частиною особистості, її переконаннями і принципами, зміст освіти повинен мати ціннісну спрямованість, а засвоєння змісту відбуватися в різних навчальних закладах з використанням різноманітних форм діяльності. Для цього, з точки зору Т. Жарковського, необхідне дотримання двох основних  умов:  створення  предметно-інформаційного  середовища  (сукупність матеріальних засобів та умов для організації педагогічного процесу) і створення соціального середовища (як сукупності людських відносин за Л. С. Виготським). Для дотримання першої умови (створення предметно-інформаційного середовища) недостатньо лише здобуття знань, оскільки жодна наука не здатна замінити любов, віру, совість, співчуття. Ще Піфагор казав, що  \f56 неприпустимо  вчити  людину фундаментальних  наук  без  духовного  фундаменту, без уміння керувати своїми почуттями та думками [70]. Тому, вважаємо що в процесі освіти потрібні концептуальні зміни. В умовах, коли кожна людина щодня зустрічається з безкінечним потоком інформації, часто руйнівного характеру, дослідницький підхід стає дуже важливим у навчально-виховному процесі. Формування наукової картини світу не в змозі забезпечити всі предмети, тому пріоритетним завданням має бути не об’єм засвоюваної інформації, а набуття навичок оцінювання цієї інформації. З цього приводу виникає питання про джерела, форми, засоби, суб’єкти створення предметно-інформаційного середовища. Різні форми пізнання взаємопов’язані, а іноді автономні, де жодна з них не має першості перед іншими. В. Соловйов стверджував, що істина «пізнається в потрійному акті віри, уяви і творчості» [368, 49-53]. Так, апологети християнської етики вважають що основним джерелом формування духовно-моральної свідомості та цінностей особистості є Біблія, яка містить у собі матеріал, що стосується давньої історії людства, і об’єктивний підхід до її вивчення передбачає врахування цього матеріалу і його освітлення. Ідею про те, що потрібен спеціальний предмет про духовність, висловлює і С. Маслов, який стверджує, що сьогодні існує необхідність виділення освітньої галузі «Духовно-моральна культура» в окремий предмет, де до форм і засобів реалізації духовно-моральних традицій вітчизняної культури він відносить тексти, завдання, вправи, ілюстрації. Пріоритетними на його думку повинні бути тексти двох типів: ціннісно-орієнтовані і емоціогенні. Основною функцією ціннісно-орієнтованих текстів є залучення до  традиційних  духовно-моральних  цінностей.  Події,  явища,  факти  подаються тут у відповідності з прийнятими нормами та ідеалами. Емоціогенні тексти націлені на пробудження моральних емоцій і почуттів. Як вказував В. Зеньковський, образи художніх творів, оповідань, віршів, малюнків, музика є нібито центром для виховання почуттів, а  \f57 особливе місце повинні займати ілюстрації, які несуть у собі, поряд із змістовним, моральний та естетичний початок. Для дотримання другої умови (створення соціального середовища) для духовно-морального розвитку особистості та формування її духовноморальних цінностей необхідні гармонійні відносини, перш за все, з найближчими людьми в родині. Протягом тривалого періоду життя розвиток особистості залежить від «значущих дорослих», де основними показниками цих «значущих дорослих» є: показник кровного споріднення («ріднийчужий») і духовної близькості («близький-чужий»), адже основою і головним критерієм близькості двох людей – є стійкий духовний зв’язок [173, 33-39]. Однак, за обставин брехні, лицемірства, подвійної моралі і прямої агресії важко розраховувати на виховання духовності у підростаючого покоління, В. Слободчіков вважає, що для виправлення сьогоднішньої ситуації щодо формування духовно-моральних цінностей необхідна розробка інноваційних освітніх програм, які «покликані вирішувати, в першу чергу, такі завдання: 1) формувати духовно осмислені і морально виправдані уклади життя і діяльності людей в певному культурно-історичному просторі, долаючи тим самим його сьогоднішню безрідність і бездомність; 2) вирощувати життєздатні, соборні дитячо-дорослі спільності, які не залишають людину безпритульною і бездоглядною; 3) культивувати зустрічі поколінь в їхніх самоцінних образах і формах життя, не допускати егоцентричної примхливості між людьми і хамського релятивізму всередині вітчизняної культури» [366, 33-39]. Категорія «цінність» є предметом міждисциплінарного вивчення на стику ряду дисциплін – філософії, аксіології, соціології, соціальної психології, педагогіки а також численних напрямів і течій. Основою духовно-моральних цінностей є їхня спрямованість на життя, людину, традиції та принципи гуманізму. Формування духовно-моральних цінностей є основним компонентом виховання фахівця гуманітарних спеціальностей в сучасних умовах та  \f58 створення умов для інтеграції системи ціннісних уявлень у смисловий простір спеціаліста. Протягом століть людство жваво обговорює проблеми, пов’язані з процесом творення мистецьких цінностей та сприйняттям їх людиною.  Так,  Т. Буякас  вважає,  що  «проблема  утвердження  загальнолюдських цінностей в індивідуальній свідомості відноситься до числа фундаментальних проблем людської екзистенції, тому пошук шляхів і способів її рішення знаходиться в центрі уваги психологів, філософів, літературознавців» [52, с. 45]. В наш час існує багато визначень поняття «мистецтво», які по-різному висвітлюють його призначення та сутнісні риси. Так, наприклад словникове тлумачення поняття мистецтва є «творче відображення дійсності в художніх образах, творча художня діяльність». Відповідно, митець – це людина, яка творить: ліпить, малює, пише, співає, грає, але обов’язково вкладає при цьому й свою особистість. Виходячи з цього можна прийти до висновку, що сутність мистецтва є діяльність з метою самовираження у художньо-образній формі. Мистецтво, зокрема література є ідеальним втіленням морального досвіду людства. Методологічною основою виокремлення літератури  художньої  як одного з оптимальних способів формування духовно-  моральних цінностей особистості є положення про те, що саме в ньому так широко представлені моральні конфлікти епох, цивілізацій, духовноморальні почуття і поведінка людини. Літературний твір здатен створити ідеальний поетичний образ певного історичного часу з характерними для нього рисами, водночас відображаючи протилежні ідеали (анті ідеали). Теоретичною  основою  для  вивчення  взаємозв’язку  художньої  літератури і морального виховання особистості є концептуальні положення про взаємозв’язок етичного і естетичного у розвитку людини, взаємодії мистецтва і моралі в процесі духовно-морального розвитку. Так, про поєднання естетичного і морального ідеться в роботах В. Белінського, який відзначає, що естетичне почуття є основою добра,  \f59 основою моральності. І. Кант вважав, що естетичний смак в оцінці прекрасного можна називати моральністю у її зовнішньому прояві [194]. І. Гете був переконаний у єдності правди, добра і краси, він казав про те, що людину можна пізнати через мистецтво. Моральна і естетична цінність є відображенням в моральній і естетичній свідомості таких здібностей, які реалізуються в будь-якій сфері людської діяльності. Витоки єдності морального і естетичного знаходяться на перетині естетичного і морального способів пізнання світу. Особливо яскраво зв’язок етичного і естетичного проявляються у почутті піднесеного, яке так вміло відображено в творах художньої літератури. Естетичне переживання піднесеного, створеного майстрами художньої літератури, змушує читача дивуватися, пишатися, захоплюватися і відкривати у собі нові духовні сили. Людина здатна відчути добро як щось прекрасне тоді, коли ознайомлюється з літературним шедевром, вивчає особистість його творця й занурюється в розпочатий ним діалог. Саме тоді прекрасне асоціюється зі створенням,  наполегливою  письменницької  творчості.  працею, Здебільшого  шанобливим  ставленням  високохудожні  твори  до  мають  моральну й гуманістичну основу, оскільки в центрі їх – людина та її відносини з навколишнім світом. Мораль і художня література тісно пов’язані між собою, оскільки остання оспівує вічні цінності (добро, справедливість, чесність, відповідальність та обов’язок, честь, гідність та любов). Отже, художня література – це могутній засіб впливу на духовний світ людини, зокрема на її моральне виховання і становлення. Проблему взаємозв’язку художньої літератури і духовно-морального досвіду людини можна розглядати в трьох аспектах: теоретичному, який розкриває сутність стосунків в системі «духовно-моральні цінності – художня література»; історичному, який виявляє еволюцію цих стосунків; практичному, який висвітлює роль художньої літератури у становленні духовно-моральних цінностей особистості.  \f60 Проблема взаємозв’язку духовно-морального і естетичного у вихованні конкретної особистості була відомою з давніх-давен і в кожній епосі вона знаходила  власне  втілення,  зумовлене  економічними,  соціальними,  культурними умовами, які створювала епоха для формування особистості. Ціннісний підхід у світогляді дозволяв давнім мислителям усвідомлювати єдність етичного та естетичного [377]. Перші витвори художньої літератури з’явились ще у давніх шумерів, аккадів та єгиптян у бронзову добу. Проблема формування всесвітньої літератури у той час була в тому, що багато текстів було втрачено, деякі з ранніх творів зникли із загасненням культури, інші, такі, що були написані протиріч системі поглядів, навмисно зруйнували. Слід додати, що зникнення багатьох текстів у вогні першої бібліотеки в Олександрії не дає можливості більш точно вказати на конкретний час появи художньої літератури загалом. Перші ранні приклади, які ми можемо проаналізувати, це «Епос про Гільгамеша», (2000 р. до н.е.), Єгипетська Книга мертвих, яку було записано в папірусі Ані приблизно в  50 до н.е. Чимало текстів передавали в усній формі протягом століть, перш ніж вони були зафіксовані в письмовій формі, таким чином «Рігведи» датується 2-м тисячоліттям до н.е. «П’ятикнижжя» традиційно датується 15-го століттям. Деякі дослідники не погоджуються з приналежністю зазначених стародавніх текстів до художньої літератури через те, що не всі тексти відповідають певним критеріям, однак традиційно їх все ж таки відносять до літератури. «Іліада» та «Одисея» Гомера (8 ст. до н.е.) які були в усній традиції знаменують  початок  класичної  давнини.  Індійські  тексти  «Шруті»,  єврейський «Танах», збірник віршів Лао Цзи «Дао Де Цзін» були зафіксовані в письмовому вигляді набагато пізніше аніж створені. У період античності взяли початок грецька (Гесіод, Есхіл, Софокл, Еврипід, Аристофан, Менандр, Лукіан, Харітон, Лонг, Геліодор, Аполлоній Родоський, Плутарх та ін.), римська (Тит Макцій Плавт, Публій Теренцій Афр, Публій Овідій Назон, Луцій Анней Сенека, Луцій Апулей, Гай Арбітр Петроній та ін.), перська,  \f61 індійська (Ашвагхоша, Бхаса, Калідаса, Шудрака та ін.), єврейська, тюркська, китайська та японська літератури. «Старша Едда», збірка епічних творів ісландської літератури, записана у XII-XIII ст. і поєднує численні міфи й легенди скандинавського культурного простору часів Середньовіччя. Антична література близька сучасному читачеві своїм гуманістичним змістом. Поняття про цінність людини, гармонійний розвиток її духовних і фізичних сил, розуміння поєднання свободи людини і порядку в суспільстві, закон, який встановлює норми життя природи, людини і суспільства – всі ці поняття були створені європейською античністю. Пам’ятки античного мистецтва, що дійшли до нас, свідчать про художню майстерність античних митців, які шанували розум, уславлювати радість життя і незламність у горі. Одним з найвідоміших письменників того часу можна назвати Есхіла (525-456 рр. до н.е.), якого називають «батьком трагедії». Він – один із визначних володарів думок Еллади. Есхіл прославляв силу розуму, незламність людського духу, велич героїв, які повстають проти тиранів. Він жив за доби створення Афінської держави, становлення афінської рабовласницької демократії і захищав здобутки цивілізації від пережитків первісного варварства. У світову літературу Есхіл увійшов передусім як поет, що звеличив Прометея. Найбільш відомою є трагедія «Прометей закутий» (469 р. до н.е.). Скориставшись популярним в Елладі міфом, Есхіл створив узагальнений образ тираноборця. Есхілів Прометей (у перекладі «провісник») утілює розум і силу духу, волелюбність і велич подвигу в ім’я щастя людей. Головний герой прославляє творчі пошуки та цивілізацію. Титана показано як першовідкривача всіх досягнень людської культури. Читач дізнається, що колись Прометей допоміг Зевсові перемогти ворогів і захопити владу, але Зевс задумав винищити людей. Тоді Прометей їх урятував: подарував приреченим надію, навчив людей обробляти дерево і будувати будинки; збирати і використовувати лікарські рослини; запрягати биків, тим самим полегшив людям важку роботу, будувати кораблі, писати й  \f62 рахувати, навчив добувати і використовувати корисні копалини тощо. Герой говорить Океанідам: «Я наділив їх мужньою розважністю. \/…\/ Не знали ні теслярства, ні підсонячних \/ Домів із цегли, а в землі селилися. \/…\/ Я творчу дав їм пам’ять – цю праматір муз. \/ І в ярма першим уярмив тварини я. \/…\/ Від Прометея всі в людей умілості» За автором, Прометей передбачив свої муки, але не злякався страждань. Більш того, вже закутий, він володіє таємницею, яка скінчить його страждання: Прометей знає, що у Зевса народиться син, який позбавить бога влади, як це колись зробив сам Зевс. Щоб отримати свободу, Прометею необхідно лише назвати ім’я жінки, яка народить цього хлопчика. Та Прометей непорушний, хоча знає, що його чекають ще більші тортури: під рев стихії Зевс кидає Прометея у надра підземного царства. Таким чином, основа трагічного для Есхіла складається не з зіткнення героя з силою, яка уособлює несправедливість, а у виборі людської поведінки за екстремальних обставин. Есхіл декларує думку про те, що індивід несе відповідальність за рішення, яке прийняв одного разу. Іншим відомим міфотворцем того часу можно виділити Софокла (496 – 406 р. до н.е.) де у творі «Антігона» він відображає сюжет, де у злагоді з совістю живе Едіпова дочка Антігона – героїня однойменної трагедії Софокла. Вона віддає своє життя за те, що вважає своїм моральним обов’язком. Міф розповідає про боротьбу синів царя Едіта – Етеокла і Полініка – за трон. Полінік звернувся за допомогою до чужинців. Починається облога Фів. У двобої брати вбивають один одного. Трон посідає їхній дядько Креонт. Етеокла поховали як героя, а тіло Полініка кинули, щоб його склювали птахи: так наказав цар. За спробу порушити наказ – страта. Саме з цього й починається трагедія Софокла «Антігона». Головна думка твору лунає у таких словах: «Дивних багато у світі сил, та найдавніше з них – людина».  \f63 Антігона вирішує поховати брата-зрадника, хоча знає, що її чекає страшна кара. У розмові з сестрою Ісменою героїня говорить: «Брата поховаю я. \/ Обов’зок здійснивши …\/…\/ Безвинно погрішивши». Стражники заарештовують Антігону і приводять її до царя, де і виявляється моральна сила двох сторін: Креонт твердить про необхідність підкорення городян законам держави, які він ототожнює з волею правителя. Антігона протиставляє йому віками існуючі неписані закони, освячені богами: рідній сестрі Полініка не має діла до політичних міркувань, її обов’язок – поховати брата. Креонт засуджує Антігону на смерть. Замурована в печері, героїня і тут не відрікається від брата: «…за те, що поховала я \/ Тебе, мій Полініку, маю кару цю, \/ Хоча розумний всяк би похвалив мене. \/…\/ Тебе ушанувавши, я дотримала \/ Закон, Креонт же мовить – погрішила я, \/ Страшний вчинила злочин, о мій братику!» Герої «Антігони» – люди з яскраво вираженою індивідуальністю, і поведінка їх цілком обумовлена їх особистими якостями. Легко можна було б уявити загибель дочки Едіпа як здійснення родового прокляття, але про цей традиційний мотив Софокл згадує лише між іншим. Рушійними силами трагедії у Софокла служать людські характери. Однак наміри суб’єктивного характеру посідають другорядне місце; Софокл характеризує головних дійових осіб показом їхньої поведінки в конфлікті з важливими питаннями полісної етики. Софокл цілком на боці Антігони: героїня свідомо обирає шлях, який приводить її до загибелі, і поет схвалює цей вибір, показуючи, як смерть Антігони стає її перемогою і спричиняє поразку Креонта. На думку Аристотеля, Софокл твердив, що він зображував людей такими, якими вони повинні бути. Ідеальні герої – ось на чому треба виховувати громадян. Слід відзначити, що означені тексти мали більш інформативний характер, висвітлюючи скоріш історичний аспект, при цьому мали незначний  \f64 вплив на виховання людини і формування його ціннісних орієнтацій. Проте кожен твір в літературах різних країн, безперечно, мав певний вплив на свій народ,  висвітлював  традиції  та  обрядовість,  історичні  моменти,  віддзеркалював тогочасне світосприйняття тощо. Це дає змогу стверджувати що у той час почався вплив і формування цінностей може й не окремої особистості, але суспільства загалом. Вказані літературні твори так чи інакше формували духовні цінності, які ставали базовими для окремих культур. Антична література стала джерелом жанрових форм і стилістичних засобів, в якій взяли початок майже всі відомі на сьогодні жанри: епос, драма, мім, трагедія та ін. У цей період літературознавство було невід’ємною частиною філософії, що вважалось творчим відображенням життя. Отже, на європейську культуру стародавні тексти мали значний вплив і висвітлювали та оспівували такі цінності як: ідеал людини активної, закоханої в життя, одержимої жагою знання і творчості, готової самостійно приймати рішення і нести відповідальність за свої вчинки, і вищим сенсом життя було щастя людини на землі. Класичний ряд цінностей того часу був у вигляді своєрідної тріади: істина, добро, краса. Моральні якості в аспекті міри і гармонії розглядали Демокрит і Аристотель. Аристотель вважав, що моральне очищення у мистецтві відбувається тільки через потрясіння, яке неможливе без певної естетичної якості твору. Саме у Аристотеля ми знаходимо поняття «катарсис» у мистецтві (зокрема трагедія), відповідно до якого очищуються звичаї людини і вдосконалюється чеснота. На окрему увагу заслуговує «Євангеліє», яка стала початком нової, християнської  літератури,  так  поступово  відбувалася  християнізація  художнього слова стародавнього світу. Воно стало служити зовсім іншим, духовним цілям і завданням. Увійшовши в християнську культуру, Євангеліє перетворює вплив на особистість і суспільство. Краса слова, одухотворена християнськими істинами, здійснювала значний вплив на свідомість людини,  \f65 що стало не просто обслуговуванням потреби людини, а переродженням її для нового життя. Християнська література ставала різноманітною поступово, так в I столітті і першій половині II тисячоліття н.е. стали з’являтися такі жанри як літератури як: житійна, патерікова у вигляді оповідей, історична повість, космологія, гомілетична, богословська, гімнографічна з великою кількістю художніх образів і прийомів, і духовна поезія – причому не тільки написані класичними мовами, а й національними мовами, які стали інтенсивно розвиватися саме завдяки включенню нових народів в єдиний християнський світ. У період (V-XV ст.), знайшла бурхливого розвитку Ісламська література, яка була представлена такими релігійними творами як Коран, численні збірки хадисів (переказів про життя пророка Мухаммада) та художні тексти – «Тисяча і одна ніч» та ін. Розвиток ісламської літератури достатньо вплинув на розвиток європейської літератури, але треба визнати, що завершення середньовіччя Східної літератури відносять тільки до XVIII століття. Розвиток літератури різних народів, які населяли Близький схід зазнавав значного впливу ісламської літератури. Так, «Шах-наме» (Книга Царів), перського поету Абул-касим Фірдоусі, поеми Омара Хайяма (1048– 1 2) внесли значний вклад в розвиток перської літератури. Також  під  впливом  ісламської  літератури  в  період  династії  Альморавидів (1040-1147) свого розвитку знайшла й Марокканська література, яка була відображена такими мовами, як арабською, берберів, французькою та іспанською. У період раннього Середньовіччя індійська література представлена розквітом санскритської драми, класичної санскритської поезії. Серед основних творів середньовічної індійської літератури слід виділити Веди та Упанішади, епоси Рамаяна і Махабхарата, а також Пурани і Агами. Основним лейтмотивом цих священних книг було богоодкровення, яке було дано людству через святих мудреців. У цих творах викладено гімни, молитви  \f66 та різні правила священних ритуалів, що давало змогу сформувати індійцями різні школи філософії та власне бачення світу. У період Середньовіччя протягом сьомого та восьмого століть в Палестині бурхливо розвивалась єврейська поезія в працях Йосе бен Йосе, Йаная, Єлезара Каліму. Крім поезії слід визначити також філософську, кабалістичну, етичну, правову літературу та коментарі до Біблії. Таким чином, бачимо, що у цей період вже з’являються літературні твори, метою яких є формування цінностей. Так, призначення етичної літератури (мусар) професори Ісая Тишбі та Йосип Дан описали точніше як «прозу, яка представлена для широкої громадської думки, ідеї і способи життя для того, щоб формувати повсякденну поведінку, думки і переконання цього суспільства» [464]. На думку авторів ця література на практиці зображує природу моральної та духовної досконалості, відображаючи складові частини ідеального та праведного способу життя. Серед творів, які мали найбільший вплив на подальшу середньовічну літературу були християнські Євангелія (I століття), релігійні гімни Амвросія Медіоланського (340-397), роботи Августина Блаженного («Сповідь», 400 рік; «Про град Божий», 410-428 рр.), переклад Біблії на латинську мову, здійснений Ієронімом (до 410 року). У цей час антична література була забута, але з’являється нова система естетичного мислення, яка зумовлена такими основними факторами як впливом античності, християнства та творчості «варварських» народів. Тобто, відбувається зміна афективної мотивації вчинків художніх героїв на більш складну – моральнопсихологічну Отже,  література  Середньовіччя  визнавала  містичну  красу  –  божественну, яка була верхом мислимої досконалості людини [204, с. 9]. Так, Фома Аквинський вважав, що краса є тотожньою до блага [377, с. 41]. Саме у період Середньовіччя затвердилася концепція про те, що мистецтво взагалі не може мати самостійного морального значення, воно є моральним лише в тому випадку, коли повністю підкорює себе божественній ідеї [46, с. 16].  \f67 Одним із найвидатніших представників середньовічної естетики був Фома Аквинський ( 25- 74), спроба якого поділити красу на вищу і нижчу привела до перших визначень критеріїв краси, ознаками якої він вважав цілісність, досконалість, пропорційність. Щодо духовної краси, на його думку, можна говорити тоді, коли поведінка людини відповідає духовній «якості розуму». Літературне мистецтво слов’янського світу також зазнавало свого розвитку і проголошувало певні цінності. Так, однією з перших слов’янських книг можна визначити «Велесову книгу» написану на дерев’яних дощечках (43 дошки) у V-IX сторіччі волхвами Русколані та Стародавнього Новгорода. Ця книга була священним писанням слов’ян, що містить міфологію, молитовні тексти, легенди і розповіді з давньослов’янської історії. Однак, розвиток літератури слов’янських племен, які вперше з’являються у візантійських письмових джерелах середини VI століття під ім’ям склавинів і антів, був переважно під культурним впливом Візантії. Зокрема твори християнських мислителів таких як Василій Великий, Григорій Богослов, Іоанн Златоуст та ін. мали великий вплив на розвиток слов’янської культури загалом. На відміну від слов’янського язичництва, основними світоглядними домінантами якого були антропоморфізм природи і натуралізація Людини, і еллінізму, де мірою всіх речей була героїчна і міфологізована людина, прийняття Київською Руссю християнства надало можливість формування нової концепції людини, і антропологічний напрям думки був одним з основних. В період раннього християнства Київської Русі притаманний пафос твердження про нову свідомість. Найбільш яскраво це було окреслено в творі «Слово про закон і благодать» Київського митрополита Іларіона, де людське серце є центром усіх духовних і фізичних сил особистості. На думку Д. Лихачова, в літературу Київської Русі разом з християнством прийшло нове художнє бачення світу, а історія отримала цілком певний світоглядний сенс і принесла порятунок людству [257].  \f68 У VІІІ–ІХ ст. у Франції інтенсивно розвивається героїчна поезія, головним епічним героєм якої став Карл Великий. Розквіт епосу романських народів охоплює Х–ХІІІ ст. З Х ст. коли відокремлюються романські мови, відбувається поступовий перехід від народної латини до старофранцузької мови. У змісті поеми відбилися важливі сторони життя Західної Європи VІІІ– ХІ ст. Французькі королі тривалий час вели боротьбу з мавританською експансією, яка загрожувала Європі. Ці війни сприяли формуванню патріотичної свідомості та розцінювались як «богоугодна справа». У такому патріотичному і релігійному настрої постає народно-героїчний зміст «Пісні про Роланда». У поемі відбилися протиріччя, типові для феодальних відносин Х–ХІ ст. Історично-прогресивна тенденція до об’єднання і централізації влади наштовхнулася на феодальну анархію і сепаратизм. Пафос  подвигу  в  ім’я  національної  незалежності  батьківщини  протиставлений феодальному егоїзмові та зрадництву (подібно до «Слова о полку Ігоревім», ХІІ ст.). Ця народна патріотична ідея з найбільшою повнотою розкривається в образі Роланда. Відважний лицар, він усією душею відданий своєму сеньйору-королю і «милій Франції». Наказ Карла прикрити відхід армії Роланд сприйняв не тільки як обов’язок, але і як почесне доручення в ім’я інтересів батьківщини. І він не шкодує сил, щоб виконати наказ гідно: «Пора б почать! \/ За край свій рідний мусим воювать! \/ Солдат повинен за вітчизну дбать, \/ І спеку, й холод мусим зневажать. \/…\/ Нехай завзято кожен б’ється з вас! \/ Пісень поганих не складуть про нас. \/ Ми праве діло вийшли захищать». Честь лицаря не дозволяє йому просити допомоги в бою. Під час нерівної битви з сарацинами в Ронсевалі друг Роланда Олів’єр тричі благає його засурмити в чудодійний ріг Оліфант, щоб покликати Карла на допомогу, і тричі одержує відмову. Гинуть Роланд, дванадцять перів і весь загін. Автор протиставляє дії друзів: Роланд хоробрий, Олів’єр розумний. І все ж не розсудливість Олів’єра, а сміливість Роланда і його подвиг вкрили славою  \f69 його ім’я і військо Франції. Духом героїчної людяності сповнені сцени прощання Роланда з товаришами, його думи про мертвих і живих, короля і Францію, про долю своєї бойової зброї. У творі читаємо: «І пригадав Роланд у смертну мить \/ І кожен край, де довелось ходить, \/ І всю рідню, і Франції блакить. \/ Її людей нікому не скорить!» Як бачимо, тут повністю розкривається мужність і духовна краса народного героя. У період (XI ст.-XIІІ ст.) з’являються такі твори як «Слово про закон і благодать», «Повість минулих років», «Повчання Володимира Мономаха», «Житіє Феодосія Печерського», «Сказання про Бориса і Гліба» (XI ст.), «Слово о полку Игореве», «Моління Данила Заточника», «Ходіння Богородиці по муках», «Девгеніево діяння», «Житіє преподобної Єфросинії Полоцької» (XIІ ст.), «Слово про погибель Руської землі», «Повість про розорення Рязані Батиєм», «Легенда про град Кітеж», «Повість про житіє Олександра Невського», «Олександрія», «Повість про взяття Царгорода хрестоносцями», «Києво-Печерський патерик», «Сказання про Індійське царство», «Повчання Тверського Єпископа Насіння» (XIІІ ст.). Більшість з цих творів мають історичний характер, але також відображають культурноісторичну спадщину слов’янських народів. Період Відродження позначився тим, що його філософи поєднали в людині етичний та естетичний початки. Альбрехт Дюрер відмічав, що «якщо обдарована до мистецтва людина є благочестивою і за характером доброю, то вона запобігає зла і творить добро. До того ж і служать мистецтва, щоб надати можливість пізнання добра і зла» [46, с. 19]. Гуманісти цієї епохи виявили неабияке зацікавлення античністю, де відродили багато забутих ідеалів еллінської доби. Так, вони відстоювали можливості людського розуму і свято вірили у його всеосяжність, захищали вільні почуття людини та прагнення особистості до пізнання навколишнього світу. Найвидатнішими представниками Відродження були Петрарка і Бокаччо, які написали значну кількість творів латиною, майже всі з них були пов’язані з міфологічними сюжетами. Всі твори переважно були науковими  \f70 трактатами, хоча у Петрарки зустрічаємо героїчну поему «Африка» і «Буколічні пісні». Форма «Декамерона» Бокаччо запозичене з Платонівських «Діалогів». Епоха Відродження робить людину центральним пунктом системи цінностей, що пов’язано з суспільно-політичним розвитком людського суспільства того часу. Класичний ряд духовних цінностей цього періоду поповнюється цінностями соціально-політичного порядку (ідеали рівності, свободи особистості, справедливості як необхідних компонентів гідного існування людини). Література у цей час виражає думки гармонійної, вільної, творчої, всебічно розвиненої особистості, тяжіє до «збігу протилежностей», особливо як форми вираження «живого духу» в цілому, де замість богів та міфічних героїв є людина, її характер, психологія, роздуми, поведінка, яка відображає прагнення до отримання особистої свободи духу та помислів. Для літератури раннього Відродження характерна новела, особливо комічна (Боккаччо, Ф. Саккеті, Т. Гуардаті, М. Наваррська, М. Банделло, Б. Деперье та ін.). Високе  Відродження  було  відзначено  розквітом  героїчної  поеми,  життєрадісно буффорної поеми Л. Пульчи, Ф. Берні, Т. Фоленго, казковогероїчної – М. Боярдо, Л. Аріосто (Італія); Відродження Іспанії та Португалії – «конкістадорська» поема «Араукана» А. Ерсільі-і-Суніга, і «Луїзіада» Л. Камоенса (Іспанія та Португалія); народно-казкової і філософсько-комічної форми в творі Рабле «Гаргантюа і Пантагрюель» [27]. З розповідей Боккаччо у новелах абсолютно очевидним стає, що для нього людина і її душевні переживання важливіші за становища цієї людини в суспільстві, а бути наділеними кращими моральними якостями можуть і люди різних соціальних станів, не тільки королі та вельможі, як вважалося раніше. Слід зазначити, що сучасники Боккаччо вдавалися в творах до зображення в своїх героях кращих якостей епохи середньовіччя – лицарства, доброчинності,  людяності.  У  «Декамероні»  Бокаччо  герої  помітно  вирізнялися – вони були розумними, натхненними та прагматичними, що  \f71 робило їх реальними, відповідало духу епохи, моральним принципам того часу. Так, в творі проголошується цінність людини, що є розумною, мужньою та інтелігентною, яка виявляється сильнішою за долю. У цей період, розвиваються пасторальні жанри роману і драми, у яких протиставляється дисгармонії цивілізованих звичаїв та мирного життя; народжуються сатиричний побутовий шахрайський роман з новим героєм «прозових авантюр» приватного життя. Вищий зліт Пізнього Відродження це драми  Шекспіра і  роман  Сервантеса, засновані на трагічних  або  трагікомічних конфліктах між героїчною особистістю і недостойною людини системою суспільного життя. Вони створили новий світогляд, який стверджує людину як найдосконаліший витвір Господа і природи, утверджує право людини на земне щастя і радощі, право досліджувати світ, розкривати його таємниці, право на вільну думку і пошук. В інших країнах Західної Європи у період Відродження (кінець XVXVI ст.) всесвітньої слави набувають такі представники як: Еразм Роттердамський, Сервантес, Рабле, Мор, Шекспір та ін. У їхніх творіннях зв'язок з античністю залишався надзвичайно міцним. Італійські гуманісти пізніших періодів Відродження, хоч і значно відрізнялися думками і поглядами від своїх уславлених попередників, продовжували їхні традиції, у них також багато ремінісценцій з античної літератури. Взагалі, література періоду Відродження характеризувалася проголошенням вічних цінностей: всеперемагаючої любові, прагнення протистояти несправедливості і злу, захищати бідних та знедолених, також лунали заклики до віри в силу та красу людської природи, повагу до його розуму, оспівувалися відважні справи та сміливі думки. В ХVІІ ст. українська поезія на прикладі віршу з книги 1608 р. «Україна, татарами терзана…» польсько-українського поета-козака Мартина Пашковського навчилася розрізняти справедливі та несправедливі війни. Автор назвав війни справедливими, що боронять свободу, а несправедливими ті, які прокляті народом. Образ героя визвольної війни – це селянин, «що за  \f72 плугом при зброї волів поганяє», та образ Матері-Вітчизни, яку мають рятувати «милії сини», і саме останній збагатив українську поезію того часу. Про зміни моральних цінностей того часу свідчить той факт, що героями літературних творів ХVІІ ст. були не тільки ченці, святі та християнські божества, а й видатні діячі, такі як князі, гетьмани, меценати, герої походів, помітні люди з селян і міщан. Так, руський шляхтич, церковний діяч і письменник-полеміст К. Сакович у своїх віршах пише, що Конашевич-Сагайдачний навчаючись в Острозькій школі вивчав науки, але потім знайшов себе у «рицарських діяльностях». У цих віршах також підкреслюється  мужність,  хоробрість,  бойова  сила  запорожців,  що  спрямована тільки на службу вітчизні, і де кожний із козаків «готовий вітчизні служити за вольність її і свой живот положити» [399, с. 21]. У літературі періоду Бароко з’являється підкреслене зображення складності і похмурості світу, заміна ренесансної тенденції до відтворення земної краси постає у негативних тонах. Розмитість художнього образу, відсутність межі між дійсним і уявним, ускладнена метафоричність і емблематизм, є основними вимогами до поетичної мови. На цьому етапі розвитку представлений новий зміст гуманізму, розуміння часу і простору як універсальних категорій, що панують над людиною, відмова від ренесансної ідеї гармонії між людиною і світом. Письменники та поети у цей час сприймають реальний світ як ілюзію та сон, в якому реалістичні описи були поєднані з їх алегоричним зображенням. Цей етап розвитку художньої літератури дає можливість заглянути у внутрішній світ людини, сформувати основні принципи та цінності, які насамперед стануть основою сучасних внутрішніх цінностей таких як чесність, порядність, милосердя, доброта, дружба та любов. Це період, коли художні митці починають більш глибоко занурюватися у висвітлення цих вищеозначених категорій. Ю.Ковалів зазначив, що період бароко в кожній культурі відрізнявся певним характером, в іспанській «філософськонапруженим пошуком», в німецькій «емоційно-афективним», в англійській  \f73 «метафізичним  та  теософським»,  в  французькій  «аналітично-  інтелектуальним», в українській – з’єднанням «козацтва та фольклору» зокрема зі сміховою культурою [259]. Яскравим доказом цього служать такі твори як: роман Л. Гевари «Кульгавий біс», п’єса Тірсо де Моліни «Севільський бешкетник або Кам'яний гість», драматургія Кальдерона «З коханням не жартують», «Даманевидимка». Трактування честі як споконвічного надбання людської душі виражено в драмах Кальдерона «Саламейський алькальд» та «Життя є сон». Такі літературні митці як іспанський драматург П. Кальдерон, німецький поет і драматург А. Грифиус, німецький поет-містик А. Сілезіус та ін. увійшли до золотого фонду світової літератури. Серед вітчизняних письменників цього періоду слід виділити філософа та письменника Григорія Сковороду. Його проблема щастя, мислиться ним через розкриття божественної суті людини, виявлення таланту, закладеного в неї Богом. Секуляризація церковної свідомості досягає свого вищого розвитку у творчості письменника. Він вперше заявляє про вільну християнську  філософію  кардіоцентричний  підхід  без як  розриву основу  з  церквою  та  визначає  духовно-морального  розвитку  особистості. Головним і найціннішим у людині Сковорода вважав серце, ... «всяк є те, яке серце в ньому – всьому в людині глава є серце – воно і є істинно людина» [362, с. 238]. В українській поезії того часу з’являється твір Семена Дівовича «Розмова Великоросії з Малоросією», 1762 р, де автор вважав, що, хоч козаки під час війни чинили іноді жорстокості, але сама жорстокість не була властива їх національному характеру. Його поема цікава ще й тим, що в ній зафіксовано останній ступінь мілітаризації української рицарської поезії й самого образу. Українські поети того часу оспівували героїчну і жертовну боротьбу народу із загарбниками і поневолювачами, але не криваву помсту українців полякам або татарам.  \f74 Ця поезія проголошує ту правду життя де частіше трапляються реалістичні деталі, живі батальні сцени, але були також поети, які оспівували мир і людяність. Тільки в 20-х роках ХVІІІ ст. починається процес лібералізації українського життя, відбуваються деякі зміни в уявленнях про життєві цінності. Так, Іван Орновський, який був цілком миролюбним поетом, в своїх роботах відтворив відразу до кровопролиття, війн та солдафонства. Лаврентій Крщонович та Лазарь Баранович також належали до числа тих людей, які вже в ХVІІ ст. розуміли, що тривалі війни та мілітаризація суспільної свідомості не сприяють розвитку культури, породжують ворожнечу та кровопролиття. Саме Лазарь Баранович пише вірші, які нагадують молитви за мир, та зображує Україну як човен, який потопає в морі крові. Можна стверджувати що українська література, де майже вісімдесят відсотків поезії становить духовна лірика, у цей період починає свій бурхливий розвиток щодо формування цінностей українського народу, формуючи таким чином національні та патріотичні. Так, на думку Д. Чижевського в епоху бароко на зміну літературної мови прийшла мова народна [429, с. 301]. Цей період також був розвитком української філологічної думки, де естетика знайшла своє місце у творах Феофана Прокоповича  («Поетика»  1705),  Митрофана  Довгалевського  («Сад  поетичний» 1736) та ін. Естетика бароко міцно прищепила на Україні переконання в цінності гарної форми: самостійне плекання формальних цінностей та внесення формальних прикрас в усі сфери літератури [429, с. 66]. У період просвітницького класицизму, в основі якого лежить ідея розумності та впорядкованості світу, найбільшого розвитку мав так званий веймарський класицизм, представниками якого були Гете і Шиллер. Вони вірили у виховну силу мистецтва, здатну сформувати гармонійно розвинену особистість, яка прагнутиме серед іншого і до ідеалу свободи. Яскравим прикладом є гімн «Прометей», написаний у формі монологу самого титана.  \f75 Гете зробив його символом протесту проти змертвілих традицій та авторитетів, символом справжньої любові до людей. Людина розуміється як істота насамперед розумна, а людське суспільство – як раціонально влаштований механізм. Серед англійських письменників того часу (Гілберт Кенна, Комптон Макензі, Лауренс), що залучають у цей час увагу англійського читача, також зачіпають найрізноманітніші теми, які зображують різні класи суспільства, критикують соціальні цінності, однак їх власний світогляд найчастіше зводиться до туманного гуманітаризму. У літературі класицизму людина є носієм важливішої ідеї, яка визначає його сутність. Саме тому в комедіях класицизму часто використовувалися «розмовні прізвища», які відразу визначають логіку характеру («Горе від розуму»  Грибоєдова,  комедії  Фонвізіна).  Розумність,  наочність  і  емблематичність культури класицизму породжувала і своєрідне рішення конфліктів улюбленому авторами класицизму, однак почуття зрештою виявлялося переможеним. Українські письменники цього часу (І. Котляревський, П. ГулакАртемовський, Є. Гребінка) у своїх творах висвітлювали різні сторони життя українського суспільства, створюють узагальнений образ Добрості як сукупності високих моральних якостей, надихались ідеями національного відродження, прагнули до утвердження таких цінностей як громадянської мужності, справедливості й доброчинності, віри в могутність людського розуму. Сентименталізм, існуючи паралельно з класицизмом, по суті був збудований на зовсім інших засадах. Для письменників-сентименталістів головною цінністю є світ почуттів та переживань, який сприймається досить вузько. Основною відзнакою сентименталізму став інтерес до внутрішнього життя звичайної людини з соціальної точки зору підкреслюючи глибину почуттів, а класицизм «середньою» людиною цікавився мало. У зв’язку з цим природа для сентименталістів – мірило всіх цінностей, у тому числі і самої  \f76 людини. Основними представниками сентименталізму були такі автори як О.Пушкін, М. Карамзин, С. Річардсон в творах яких була складена опозиція «природна людина – цивілізація», де, на відміну від бароко, під цивілізацією розумілось зло. Також великого значення мала філософія «природної людини», сформульована Руссо, який вважав цивілізацію ворогом людини, що вбиває все краще в неї. Тому інтерес до природи, до природних почуттів і природної поведінки яскраво був втілений в його роботах. Наступним етапом розвитку літератури був романтизм, який, в першу чергу, визнавав цінність людської особистості та її самодостатність. В період романтизму змінюється система координат, в опозиції «особистість – суспільство» акценти змістилися у бік особистості. Світ почуттів і думок окремої людини був визнаний найвищою цінністю. На цьому етапі в літературних творах все більш підкреслюється протистояння цивілізації та природи, віддаючи перевагу природній стихії, таким чином відзначаючи інтерес до екзотичних пейзажів, до сцен з сільського життя та ін. Ще однією особливістю естетики романтизму стало визнання того, що звичний соціальний світ не є єдиним і справжнім, реальний світ треба шукати. Представниками цього періоду в літературі стали: Дж. Г. Байрон, Шелли, Дж. Китс, У. Блейк, Шатобриан, Ж. Сталь, Ламартін, В. Гюго, Альфред де Віньї, Проспер Мериме, Жорж Санд, Н. Фосколо, А. Мандзоні, Адам Мицкевич, Юліуш Словацкий, Зігмунт Красиньский, Вашингтон Ирвинг, Фенимор Купер, Эдгар По, Натаниэль Готорн, Генри Лонгфелло, Герман Мелвилл, Ю. Лермонтов, М. Жуковський, О. Сомов, М. Маркевич, Є. Гребінка й М. Гоголь, А. Мальчевський, Б. Залєський й С. Ґощинський. Звеличення окремої людини, намагання пізнати сутність усього сущого через її внутрішнє «я» привели романтиків до значних ідейно-естетичних завоювань. Результати Французької революції, в умовах якої формувався і розвивався романтизм, уплинули на історичне сприйняття романтиками суспільного  процесу.  Революція  спонукала  до  осмислення  причин,  закономірностей, які призвели до бурхливого суспільно-політичного вибуху.  \f77 Цим пояснюється розробка романтиками історичних жанрів. Саме в такій ідеологічний атмосфері виник і розвивався історичний роман В.Скотта і Жорж Санд. Історизм художнього мислення виявляється в тому, наскільки правильно митець розуміє суть зображених ним соціально-історичних подій і відтворює закономірності суспільного розвитку. Історизм романтиків концентрував увагу на окремих націях, особливостях національної історії, національного побуту, минулого своєї батьківщини. У цьому минулому їх цікавили скарби народної творчості. Доля французької культури і зокрема літератури складалася під знаком  прийняття  або  неприйняття  великого  соціально-політичного  перевороту – Французької революції 1789-1794 рр. Ця проблема залишалася найважливішою  і  в  XIX  ст.,  увиразнюючи  гостроту  сприйняття  письменниками наступних революцій – 1830, 1848 і Паризької Комуни (1871 р.). Усі французькі письменники початку століття (незалежно від своїх політичних переконають) відчули історичний зв’язок долі окремої людини з історією, наполегливу потребу людини заглянути у глибини своєї душі, пояснити її протиріччя і складності. Яскравим представником не лише французького, а й європейського романтизму була Жорж Санд. Роман «Консуело» (1842 – 1843) писався авторкой у колі друзів – витонченого і ліричного Шопена, романтика Берліоза, натхненного Ліста, блискучої співачки Поліни Віардо. Це сформувало одне з основних завдань твору – показати соціальне обличчя мистецтва. Не випадково героїнею роману стала співачка та актриса Консуело  («розрада»)  –  талановита  дівчина,  представниця  народу  («…старанна й наполеглива, Консуело, для якої музика була такою ж рідною стихією, як повітря для птаха або вода для риби, любила переборювати труднощі й, немов дитина, не усвідомлювала при цьому значущості своїх досягнень; прагнучи побороти перешкоди й проникнути в тайники мистецтва з огляду на той самий інстинкт, який змушує паросток  \f78 пробиватися крізь землю до світла, вона належала до тих рідкісних щасливих натур, для яких праця – насолода, щирий відпочинок, необхідний, нормальний стан, а бездіяльність – важка, болісна, просто згубна, якщо вона взагалі можлива»), а головною темою – мистецтво та ставлення до нього суспільства. Консуело знайома як з класичною, так і з церковною музикою, яку їй викладав відомий італійський композитор і педагог Порпора. Пізніше героїня стає співачкою різних оперних театрів, прекрасне знання музики дає можливість Консуело цінувати в ній головне – простоту. У творі читаємо: «Консуело заспівала просто, невимушено, а під високим церковним склепінням залунав такий чистий прекрасний голос, який не лунав ще в цих стінах». Жорж Санд змогла пояснити і показати, що значить істинне служіння мистецтву. У цьому розумінні образ Консуело символічний: вона – уособлення музики. Консуело самовіддана у своєму служінні мистецтву, її не приваблюють ні слава, ні гроші, ні коштовності. На своєму шляху до високих ідеалів мистецтва вона долає багато спокус: відмовляється бути фавориткою різних титулованих осіб («Графа дивувало й дивно мучило його почуття до Консуело; у цієї світської людини була артистична душа, і Консуело вперше змусила затремтіти й заспівати її струни. Але й тепер цей вельможа не розумів, наскільки незначними й неспроможними були його способи здобути цю жінку, так мало схожу на тих, кого йому вдалося розбестити») і навіть короля Фрідріха. Вона – вільна і горда – із задоволенням співала як перед аристократами, так і перед бідняками. Тому лише Консуело змогла досягти найвищої мети у своєму мистецтві – викликати у слухачів високі почуття. На думку  проф.  Д.Наливайка,  Консуело  прекрасна  своїми  людськими  чеснотами, своїм альтруїзмом: її мистецтво – мистецтво для всіх. За Жорж Санд,  мистецтво  не  повинно  відмовлятися  від  моральних  оцінок  зображуваного, оскільки моральна оцінка – природна потреба людської душі.  \f79 Основу роману В. Гюго  «Знедолені» (1852) становить ідея  морального прогресу, до якої Гюго звертався постійно в пізній період творчості. Свій роман він назвав «епосом душі», маючи на увазі моральне удосконалення головного героя Жана Вальжана. А в образі єпископа Міріеля – він порядний, людяний, милосердний і справедливий до всіх, хто потребує допомоги, – втілилась одна з головних ідей письменника – вища моральність,  заснована  на  принципах  християнського  милосердя.  Колишньому каторжанину Жану Вальжану Мірієль дає прихисток, а коли той, залишаючи гостинний дім, краде столове срібло і потрапляє до рук жандармів, єпископ говорить, що подарував срібло Вальжанові. Цей високогуманний вчинок священнослужителя назавжди навертає думки Жана на добро, в яке йому раніше важко було повірити, оскільки колись його засудили за те, що він украв хлібину для сімох помираючих від голоду дітей своєї сестри. Правдиво і переконливо автор зображує зустріч колишнього в’язня, від якого сахалися люди, і єпископа: – Я каторжник. Я злочинець. Мене тільки щойно випустили. Він дістав із кишені аркуш жовтого паперу й розгорнув його. — Ось мій паспорт. Він жовтий, як бачите. Через це мене женуть звідусіль, куди я поткнуся. Хочете глянути? Я й сам умію читати, навчився на каторзі. Там є школа для тих, хто хоче навчитися грамоти. Ось що написано в моєму паспорті: «Жан Вальжан, звільнений каторжник, народився… — Ну, це вам байдуже… — Перебував в ув’язненні дев’ятнадцять років. П’ять за крадіжку зі зломом. Чотирнадцять — за чотири спроби до втечі. Це людина дуже небезпечна…» Ось воно! Усі женуть мене геть. А ви пустите мене, так? Тут у вас заїзд? Ви дасте мені поїсти й переночувати? У вас є стайня? — Пані Маглуар, — сказав єпископ. — Постеліть чисті простирадла на ліжко в алькові. Єпископ обернувся до незнайомця.  \f80 — Добродію, — сказав він, — сідайте біля вогню і грійтеся. Зараз ми повечеряємо, а тим часом вам приготують постіль. Тільки тепер подорожній усе збагнув. На його доти похмурому обличчі з’явився вираз крайнього подиву, сумніву й радості. Він розгублено забелькотів: — Це правда? Ви не проганяєте мене? Адже я каторжник! Ви назвали мене добродієм! А всі кажуть мені: Геть звідси, собако! «Я думав, ви проженете мене. Через те й сказав одразу, хто я такий. О! Мені дадуть повечеряти! Я ляжу в постіль із матрацом і простирадлами? Як усі люди! Ось уже дев’ятнадцять років, як я не спав у ліжку. То ви пускаєте мене? Ви добрі люди. А втім, у мене є гроші. Я заплачу. Пане корчмар, я заплачу, скільки ви скажете. Ви славний чоловік. Тут у вас заїзд, правда? — Я священик, — сказав єпископ, — і це мій дім. — Священик! — вигукнув подорожній. — О, ви справжній священик!» За проф. Д.Наливайком, єпископ є носієм всеперемагаючої сили добра і морального піднесення людини. На долі головного героя Жана Вальжана перевіряється справедливість цієї ідеї, яка справдила себе: на наших очах перероджується колишній в’язень: «Коли Жан Вальжан вийшов від єпископа, він не розумів, що діється в його душі. Підсвідомо він з усієї сили опирався доброті й лагідним словам старого: «Ви обіцяли мені стати чесною людиною. Я купую вашу душу. Я забираю її в духа тьми і передаю Богові». Ці слова знову й знову лунали у його вухах. Він протиставляв небесній доброті єпископа гординю, яка в людині є оплотом зла. Він не хотів розлучатися зі своєю ненавистю до людей, яку виплекав за останні роки, бо ця ненависть дарувала йому гірку втіху, і він розумів, що почалася нещадна боротьба між його злобою і добротою єпископа, що тепер йому лишається одне з двох: або піднятись вище, ніж сам єпископ, або впасти нижче за каторжника. Іншого вибору не було. Проте навряд чи Жан Вальжан міг виразно збагнути, що з ним діється. Він скоріше відчував, ніж усвідомлював подібні думки, і вони сповнювали його нестерпною, майже болісною тривогою. Він зустрівся  \f81 з єпископом, тільки-но вибравшись зі страшної ями, яка зветься в’язницею, і сліпуче світло його праведної доброти відбилось у очах недавнього каторжника різким болем. Хто вийшов із темряви, той боїться яскравого світла… Як він житиме далі? Думаючи про це, Жан Вальжан тремтів від жаху. В одному тільки сумніву не було: після зустрічі з єпископом він став зовсім іншою людиною». Під упливом єпископа все наступне життя Вальжана – подвижництво в ім’я добра і милосердя. Головні персонажі соціально-психологічного роману О. де Бальзака «Батько Горіо» (1834), окрім Горіо, – його доньки Анастазі та Дельфіна, – які є матеріально забезпеченими, але такими, що втратили власну гідність. Вони після одруження не спромоглися залишитися Людьми у ставленні до найріднішої людини (хоча у дитинстві любили свого батька) у високому розумінні цього слова. У Горіо, окрім багатства, була велика пристрасть – ніжна любов до своїх дочок. Він дав їм чудову освіту, видав заміж за заможних чоловіків – графа де Ресто (Анастазі) та барона де Нусінгена (Дельфіну), залишивши собі лише щорічну ренту. Торговець Горіо усвідомлює, що дочки соромляться його. Світські насолоди захопили їх. Прагнення першості в колі аристократів поклало край і спілкуванню між сестрами. На думку баронеси де Босеан, «вони зреклися одна одну, як вони зреклися свого батька». Горіо не було місця в їхньому житті. Хоча він радів зустрічам із ними, але їм треба були лише гроші. Батько Горіо платив за їхніми рахунками. Коли ж у Горіо нічого не залишилося, він страждав від того, адже старий був щасливий своєю самозреченою любов’ю і бажанням віддавати. Він не засуджував своїх дочок. Він любив їх ніжно і самовіддано. Однак Дельфіна та Анастазі не прийшли навіть поховати його. Отже, доньки зруйнували сімейні стосунки заради насолоди і світських розваг, багатства і марнославства. Говорячи про долю Горіо, баронеса де Босеан зазначає: «Така доля всіх почуттів. Наше серце – скарбниця: вичерпайте її відразу – і ви злидар. Ми суворо ставимося до почуття, що витрачається до кінця, так само як і до  \f82 людини, в якої немає жодного су. Цей батько віддав усе. Він віддавав протягом двадцяти років свою душу, свою любов, а все майно віддав за один день. Вичавивши лимон, дочки викинули на вулицю скоринку». Після смерті батька графиня де Ресто усвідомила, що втратила в житті найголовніше – сімейні цінності. У